八年級數(shù)學動點問題.docx

此文檔收集于網絡，如有侵權請聯(lián)系網站刪除八年級數(shù)學動點問題1（2012常德）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點，一動點P從B開始，沿射線BC運動，連接DP，作CNDP于點M，且交直線AB于點N，連接OP，ON（當P在線段BC上時，如圖1：當P在BC的延長線上時，如圖2）（1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結論：BN=CP；OP=ON，且OPON；（2）設AB=4，BP=x，試確定以O、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數(shù)關系解答：（1）證明：如圖1，四邊形ABCD為正方形，OC=OB，DC=BC，DCB=CBA=90，OCB=OBA=45，DOC=90，DCAB，DPCN，CMD=DOC=90，BCN+CPD=90，PCN+DCN=90，CPD=CNB，DCAB，DCN=CNB=CPD，在DCP和CBN中，DCPCBN（AAS），CP=BN，在OBN和OCP中，OBNOCP（SAS），ON=OP，BON=COP，BON+BOP=COP+BOP，即NOP=BOC=90，ONOP，即ON=OP，ONOP（2）解：AB=4，四邊形ABCD是正方形，O到BC邊的距離是2，圖1中，S四邊形OPBN=SOBN+SBOP，2已知正方形ABCD，點P是對角線AC所在直線上的動點，點E在DC邊所在直線上，且隨著點P的運動而運動，PE=PD總成立（1）如圖（1），當點P在對角線AC上時，請你通過測量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關系？（直接寫出結論不必證明）；（2）如圖（2），當點P運動到CA的延長線上時，（1）中猜想的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；（3）如圖（3），當點P運動到CA的反向延長線上時，請你利用圖（3）畫出滿足條件的圖形，并判斷此時PE與PB有怎樣的關系？（直接寫出結論不必證明）解答：（1）解：PE=PB，PEPB（2）解：（1）中的結論成立四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，CD=CB，ACD=ACB，又PC=PC，PDCPBC，PD=PB，PE=PD，PE=PB，：由，得PDCPBC，PDC=PBC（7分）又PE=PD，PDE=PEDPDE+PDC=PEC+PBC=180，EPB=360（PEC+PBC+DCB）=90，PEPB（3）解：如圖所示：結論：PE=PB，PEPB3已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O（1）如圖1，連接AF、CE求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿AFB和CDE各邊勻速運動一周即點P自AFBA停止，點Q自CDEC停止在運動過程中，已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關系式解答：解：（1）四邊形ABCD是矩形，ADBC，CAD=ACB，AEF=CFE，EF垂直平分AC，垂足為O，OA=OC，AOECOF，OE=OF，四邊形AFCE為平行四邊形，又EFAC，四邊形AFCE為菱形，設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8x）cm，在RtABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8x）2=x2，解得x=5，AF=5cm（2）顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構成平行四邊形，也不能構成平行四邊形因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，PC=5t，QA=124t，5t=124t，解得以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，秒由題意得，四邊形APCQ是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上分三種情況：i）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，AP=CQ，即a=12b，得a+b=12；ii）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，AQ=CP，即12b=a，得a+b=12；iii）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，AP=CQ，即12a=b，得a+b=12綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關系式是a+b=12（ab0）4、如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點P是x軸上一動點，以線段AP為一邊，在其一側作等邊三角形APQ當點P運動到原點O處時，記Q的位置為B（1）求點B的坐標；（2）求證：當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，ABQ為定值；（3）是否存在點P，使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由解答：（1）解：過點B作BCy軸于點C，A（0，2），AOB為等邊三角形，AB=OB=2，BAO=60，（2）證明：當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，不失一般性，PAQ=OAB=60，PAO=QAB，在APO和AQB中，APOAQB（SAS），ABQ=AOP=90總成立，當點P在x軸上運動（P不與O重合）時，ABQ為定值90；（3）解：由（2）可知，點Q總在過點B且與AB垂直的直線上，可見AO與BQ不平行當點P在x軸負半軸上時，點Q在點B的下方，此時，若ABOQ，四邊形AOQB即是梯形，當ABOQ時，BQO=90，BOQ=ABO=60當點P在x軸正半軸上時，點Q在B的上方，此時，若AQOB，四邊形AOBQ即是梯形，當AQOB時，ABQ=90，QAB=ABO=605如圖，在ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MNBC設MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F，連接AE、AF那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論解答：解：當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形證明：CE平分BCA，1=2，又MNBC，1=3，3=2，EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO，EO=FO，又OA=OC，四邊形AECF是平行四邊形，CF是BCA的外角平分線，4=5，又1=2，1+5=2+4，又1+5+2+4=180，2+4=90，平行四邊形AECF是矩形6正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P是DB所在直線上的一個動點，PEBC于E，PFDC于F（1）當點P與點O重合時（如圖），猜測AP與EF的數(shù)量及位置關系，并證明你的結論；（2）當點P在線段DB上（不與點D、O、B重合）時（如圖），探究（1）中的結論是否成立？若成立寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）當點P在DB的長延長線上時，請將圖補充完整，并判斷（1）中的結論是否成立？若成立，直接寫出結論；若不成立，請寫出相應的結論解答：解：（1）AP=EF，APEF，理由如下：連接AC，則AC必過點O，延長FO交AB于M；OFCD，OEBC，且四邊形ABCD是正方形，四邊形OECF是正方形，OM=OF=OE=AM，MAO=OFE=45，AMO=EOF=90，AMOFOE（AAS），AO=EF，且AOM=OFE=FOC=45，即OCEF，故AP=EF，且APEF（2）題（1）的結論仍然成立，理由如下：延長AP交BC于N，延長FP交AB于M；PMAB，PEBC，MBE=90，且MBP=EBP=45，四邊形MBEP是正方形，MP=PE，AMP=FPE=90；又ABBM=AM，BCBE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，AM=PF，AMPFPE（SAS），AP=EF，APM=FPN=PEFPEF+PFE=90，F(xiàn)PN=PEF，F(xiàn)PN+PFE=90，即APEF，故AP=EF，且APEF（3）題（1）（2）的結論仍然成立；如右圖，延長AB交PF于H，證法與（2）完全相同7、如圖，一個直角三角形紙片的頂點A在MON的邊OM上移動，移動過程中始終保持ABON于點B，ACOM于點AMON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點（1）點A在移動的過程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由（2）點A在移動的過程中，若射線ON上始終存在一點F與點A關于OP所在的直線對稱，判斷并說明以A、D、F、E為頂點的四邊形是怎樣特殊的四邊形？（3）若MON=45，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關系，只寫出結果即可不用證明解答：解：（1）AE=AD理由如下：ABON，ACOM，AED=90MOP，ADE=ODB=90PON，而MOP=NOP，AED=ADEAD=AE（2）菱形理由：連接DF、EF，點F與點A關于直線OP對稱，E、D在OP上，AE=FE，AD=FD由（1）得AE=AD，AE=FE=AD=FD四邊形ADFE是菱形；（3）OC=AC+AD理由：四邊形ADFE是菱形，AEO=FEO，AOE=FOE，EFO=EAO，ACOM，OP平分MON，AE=EF，EFOC，EFO=90，AE=EF=AD，OA=OF，MON=45，ACO=AOC=45，OA=AC，F(xiàn)EC=FCE，EF=CF，CF=AE，OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD8如圖，ABC中，點P是邊AC上的一個動點，過P作直線MNBC，設MN交BCA的平分線于點E，交BCA的外角平分線于點F（1）求證：PE=PF；（2）當點P在邊AC上運動時，四邊形AECF可能是矩形嗎？說明理由；（3）若在AC邊上存在點P，使四邊形AECF是正方形，且求此時BAC的大小解答：（1）證明：CE平分BCA，BCE=ECP，又MNBC，BCE=CEP，ECP=CEP，PE=PC；同理PF=PC，PE=PF；（2）解：當點P運動到AC邊中點時，四邊形AECF是矩形理由如下：由（1）可知PE=PF，P是AC中點，AP=PC，四邊形AECF是平行四邊形CE、CF分別平分BCA、ACD，且BCA+ACD=180，平行四邊形AECF是矩形；（3）解：若四邊形AECF是正方形，則ACEF，AC=2APEFBC，ACBC，ABC是直角三角形，且ACB=90，BAC=309如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=6，BC=8， ，點M是BC的中點點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側點P，Q同時出發(fā)，當點P返回到點M時停止運動，點Q也隨之停止設點P，Q運動的時間是t秒（t0）（1）設PQ的長為y，在點P從點M向點B運動的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關系式（不必寫t的取值范圍）；（2）當BP=1時，求EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積；（3）隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由 解答：解：（1）y=MP+MQ=2t；（2）當BP=1時，有兩種情形：EPQ與梯形ABCD重疊部分就是EPQ，其面積為 若點P從點B向點M運動，由題意得t=5PQ=BM+MQBP=8，PC=7設PE與AD交于點F，QE與AD或AD的延長線交于點G，過點P作PHAD于點H，則HP=在RtHPF中，HPF=30，HF=3，PF=6FG=FE=2又FD=2，點G與點D重合，如圖2此時EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為 （3）能，此時，4t5過程如下：如圖，當t=4時，P點與B點重合，Q點運動到C點，此時被覆蓋線段的長度達到最大值，PEQ為等邊三角形，EPC=60，APE=30，AF=3，BF=6，EF=FG=2，GD=623=1，所以Q向右還可運動1秒，F(xiàn)G的長度不變，4t510（正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PFCD于點F如圖1，當點P與點O重合時，顯然有DF=CF（1）如圖2，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PEPB且PE交CD于點E求證：DF=EF；寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系，并證明你的結論；Nicolaus Copernicus 尼古拉?哥白尼（波蘭天文學家）（2）若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點E請完成圖3并判斷（1）中的結論、是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論（所寫結論均不必證明）bone n. 骨；骨頭解答：videophone n. 可視電話解：（1）如圖2，延長FP交AB于點Q，exist vi. 存在；生存AC是正方形ABCD對角線，QAP=APQ=45，AQ=PQ，AB=QF，protectfrom 保護不受（危害）BQ=PF，PEPB，constitution n. 憲法；章程QPB+FPE=90，n. 投票；選票；表決QBP+QPB=90，harvest n. & vt. & vi. 收獲；收割QBP=FPE，BQP=PFE=9