動態(tài)幾何問題問題課件.doc

全國中小學個性化教育輔導專家 -佳績改變未來 中考數(shù)學專題 動態(tài)幾何問題真題精講【例1】如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設運動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為等腰三角形【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關系的。所以當題中設定MN/AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當、運動到秒時，如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形， （根據(jù)第一講我們說梯形內輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內，將動態(tài)問題轉化成平行時候的靜態(tài)問題） （這個比例關系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關鍵） 解得【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的，很多同學看到等腰三角形，理所當然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論： 當時，如圖作交于，則有即（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的性質），解得 當時，如圖，過作于H則， 當時， 則 綜上所述，當、或時，為等腰三角形【例2】在ABC中，ACB=45點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF（1）如果AB=AC如圖，且點D在線段BC上運動試判斷線段CF與BD之間的位置關系，并證明你的結論（2）如果ABAC，如圖，且點D在線段BC上運動（1）中結論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC，CD=，求線段CP的長（用含的式子表示） 【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們去分析由D運動產生的變化圖形當中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關系是不動的，于是利用角度的互余關系進行傳遞，就可以得解?！窘馕觥浚海?）結論：CF與BD位置關系是垂直； 證明如下：AB=AC ，ACB=45，ABC=45由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90即 CFBD【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。（2）CFBD(1)中結論成立 理由是：過點A作AGAC交BC于點G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD【思路分析3】這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關系即可求出CP.（3）過點A作AQBC交CB的延長線于點Q， 點D在線段BC上運動時，BCA=45，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易證AQDDCP， ， ， 點D在線段BC延長線上運動時，BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 過A作交CB延長線于點G，則 CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變設求與的函數(shù)關系式；ADCBPMQ60（3）在（2）中，當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什么東西是不變的。題目給定MPQ=60，這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩條線段的關系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關系.怎么證相似三角形呢? 當然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）證明：是等邊三角形是中點 梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， (這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣摩) (設元以后得出比例關系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求PQC形狀”的問題了。由已知的BC=4，自然看出P是中點，于是問題輕松求解。（3）解： 為直角三角形當取最小值時，是的中點，而以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關鍵就在于當動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.【例4】已知正方形中，為對角線上一點，過點作交于，連接，為中點，連接（1）直接寫出線段與的數(shù)量關系；（2）將圖1中繞點逆時針旋轉，如圖2所示，取中點，連接，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中繞點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（不要求證明）【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉題。從旋轉45到旋轉任意角度，要求考生討論其中的不動關系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將BEF旋轉45之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關系，如何構建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的方法，自然想到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。（1） （2）（1）中結論沒有發(fā)生變化，即證明：連接，過點作于，與的延長線交于點在與中， 在與中， 在矩形中， 在與中， 【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果BEF任意旋轉，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應該如何思考。建議有余力的同學自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點。可以延長一倍EG到H，從而構造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關系就可以得證了。（3）（1）中的結論仍然成立 【例5】已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將ABE沿直線AE翻折，點B落在點B 處（1）當=1 時，CF=_cm，（2）當=2 時，求sinDAB 的值；CADB（3）當= x 時（點C與點E不重合），請寫出ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關系式，（只要寫出結論，不要解題過程）【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉，翻折（就是軸對稱）也是一大熱點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏?！窘馕觥浚?）CF= 6 cm； （延長之后一眼看出，EAZY） （2） 如圖1，當點E在BC上時，延長AB交DC于點M，圖1 ABCF， ABEFCE， =2， CF=3 ABCF，BAE=F又BAE=B AE， B AE=F MA=MF設MA=MF=k，則MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA= DM=（設元求解是這類題型中比較重要的方法）圖2 sinDAB=； 如圖2，當點E在BC延長線上時，延長AD交B E于點N，同可得NA=NE設NA=NE=m，則B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）當點E在BC上時，y=； （所求A B E的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長）當點E在BC延長線上時，y= 【總結】 通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結這種問題的一般思路如下：第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關系，如何建立這種關系。第二、畫出圖形，進行分析，尤