高等代數(shù)：學習筆記.doc

.高等代數(shù)(上)：學習筆記這是我自學的筆記做成的電子檔，其中有許多注釋，盡量深入淺出，以供大家學習。有些筆誤也修正差不多了。課本和王德明老師的符號略有不同，但意思是一樣的，祝大家都能通過考試。第一章 行列式1.1 定義D=2314=24-31=5 A=23142314這是行列式（或寫為|D|） 這是矩陣，注意區(qū)別a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3這是三元線性方程組D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31代數(shù)和右下斜線為正左下斜線為負3階行列式偶排列，正號奇排列，負號1.2 逆序數(shù)逆序數(shù) j1,j2, ,jnn階排列，有n!個n階排列判斷逆序數(shù)的奇偶性1.3 n階行列式的代數(shù)和D=a11a12a1na21a22a2n an1an2ann=j1,j2, ,jn-1j1,j2, ,jna1j1a2j2anjn1.4 行列式性質1、行列式轉置值不變：DT=D2、k可以乘上某行(列)：kDrowi3、加法：某行之和 展開為兩行列式之和：Drow(a+b)=Drow(a)+Drow(b)4、互換兩行(列)：負號Drowirowk=-D5、兩行相同(成比例)：零值 Drowi=krowk=06、某行乘以k加到另一行：值不變 Dkrowi+rowk=D所在行列的和(同等于逆序數(shù))1.5 代數(shù)余子式余子式：刪去i, j所在的行與列后得到的n-1階行列式 Aij=(-1)i+jMij代數(shù)余子式n階行列式 |D|=ak1Ak1+ak2Ak2+aknAkn k=1, 2, , n即展開第k行(列)表示所有可能的差 ij如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)1.6 范德蒙行列式|D|=1111a1a2a3ana12a22a32an2a1n-1a2n-1a3n-1ann-1=1jin(ai-aj)第二章 線性方程組2.1 克萊姆法則系數(shù)行列式 (b在1列)D1=b1a12a13b2a22a23b3a32a33 D2、D3 類似左邊 解集：xi=DiD (D0)該解法適用于n階當D0時，方程組有唯一解：x1=D1D, x2=D2D, x3=D3D.(D0)只有當常數(shù)項b不全為零時，且s=n時才可用克萊姆法則2.2 消元法初等變換：反復對方程進行row變換，最后剩下一個上三角矩陣。如果線性方程組D0，則初等變換后的上三角矩陣，元首都不為0。2.3 數(shù)域 P：包含0、1且任意兩個數(shù)的基本運算仍屬于P。如實數(shù)R，有理數(shù)Q，復數(shù)Cn維基本向量組2.4 n維向量 =(a1, a2, a3, , an ) (1, 2, 3, 4, )=1000010000100001數(shù)量乘積：k零向量：0負向量：-行向量與列向量：row(column)2.5 線性相關rank=n，有唯一解rankn，有無窮多解線性組合 =k11+k22+kss由向量組 線性表出線性相關充要k有解充要可線性表出充要系數(shù)矩陣r=增廣矩陣r向量組等價：(1,2,n)互相線性表出(1,2,n)常數(shù)項為0的充要條件 k11+k22+kss=0線性相關有待更進一步補充線性無關K有解，且不全0K只有零解D0 D0 sns=n時不一定i都可被(1,2,n)線性表出i不能被(1,2,n)線性表出不可逆，因為分母不能為0可逆r0(半)負定矩陣：全()or02、其規(guī)范形的正慣性指數(shù)p=r3、有可逆矩陣C，使二次型A=CTC4、二次型的特征值 i0 注：這和第1點是同一個概念5、所有的主子式 |M|0 注： 有的書稱為順序主子式，即從a11aii所構成的行列式值正定矩陣：即i0所有的主子式|M|0負定矩陣：即i0所有的奇階主子式|M|0半正定矩陣：即i0半負定矩陣：即i0不定矩陣：即iort，則1,2,s線性相關如果1,2,s是線性無關，那么st10、在1,2,s中，部分向量組線性無關，但添加其余向量后線性相關，稱極大線性無關組11、1,2,s都可由部分向量組(線性無關)線性表出，后者稱極大線性無關組12、1,2,s中，每個i不能被1,2,i-1(即i前面向量組)線性表出，線性無關(i0且i2)13、向量組中，任一極大線性無關組等價原向量組等價另一個極大線性無關組14、線性無關組，其秩 r=s15、1,2,s可由1,2,t線性表出，則秩r()r()相等；向量組等價，則秩r相等；秩r相等且i可由1,2,t線性表出，則向量組等價。8.3 維數(shù)、基、坐標注：此定義雷似極大線性無關組n維線性空間：V中有n個向量線性無關，但當n+1個向量時線性相關無限維線性空間：V中有任意多個線性無關的向量零空間：維數(shù) n=0V是n維的條件：V中任意向量都可由1,2,n線性表出附加說明：對于這種常見的線性表出，已出現(xiàn)多次，它們的性質意義是一樣的，只是叫法不同，應該提升到一個規(guī)律性的認識。坐標 =a11+a22+ann基V的任意向量換個字母 為書寫簡便，定義符號：（自創(chuàng), 考試勿用）x 表示x1 x2 xn ，x 表示x1 x2 xn 矩陣表示 = x = x V中任意向量基坐標另組基另組坐標8.4 基變換與坐標變換基變換存在如下關系：過濾矩陣T另組基基1 =a111+a212+an1n2 =a121+a222+an2nn =a1n1+a2n2+annn 矩陣表示 1 2 3 =1 2 3 a11a12a1na21a22a2n as1as2asn = T-1推出 基變換公式簡寫 稱由基1 2 3 到另一組基1 2 3 的過渡矩陣T = T 詳見書P163-165例2坐標變換存在如下關系：x =T-1x 推出 x =Tx 坐標變換公式注意不是x T，不滿足交換律另組坐標過渡矩陣坐標性質總結：1、 = T ，則 = T-12、 = A 且 = B ，則 = AB詳見書P163-165例23、 = A 且 = B ，由 = A-1 ，得 = A-1B第九章 線性變換T+=T+T9.1 定義與性質證明等式左邊=右邊，則稱等式是一個線性變換Tk=kT線性變換加法向量系數(shù)數(shù)乘(, V , kP)推廣：當k=1,恒等變換; k=0,零變換E= 恒等變換k 數(shù)乘變換，記作kE(x,y)(x,y)xx=xcos-ysiny=xsin+ycosy0xyO=O 零變換(以原點旋轉度,如圖)T=cos-sinsincosxy=xy二維坐標變換Dfx=fx 求導數(shù)變換AX=AX 矩陣變換9.2 運算1、A+B=A+B2、A+B+=A+B+=A+B+A+B3、A+Bk=Ak+Bk=kA+B9.3 線性變換的矩陣Tx1,x2,xn=(f1,f2,fn) 線性變換表示公式，例：Tx1,x2,x3=(x1,2x2,x1+x3)注意轉置T1=a111+a212+an1nT2=a121+a222+an1nTn=a1n1+a2n2+annn 矩陣表示 T1T2Tn=1 2 3 a11a12a1na21a22a2n an1as2ann稱T在基1,2,n下的矩陣A注：寫成T =AT 也可以T在基下的矩陣A基線性變換 簡寫 T =T = A這是老師的寫法線變的表示矩陣例：T1 T2 T31 2 31 2 3T111110100=3-30-3-31333=111110001333-6-6-2651T在基下的矩陣A(同時也是過渡矩陣)基T的矩陣表示(同時也是另一組基)線性變換T1,2,3=22+3,1-42,1 推廣 A = -1T 高等代數(shù)的意義：1) 打好基礎 增進素質 高等代數(shù)的基礎理論和方法，不僅是學習代數(shù)后繼課程的基礎，而且也是學習微分方程，計算數(shù)學，數(shù)學模型，泛函分析，微分幾何，微分流形，一般拓撲，概率統(tǒng)計，線性規(guī)劃等基礎數(shù)學、計算數(shù)學、應用數(shù)學、隨機數(shù)學諸課程的基礎因此，理解高等代數(shù)的思想，掌握其基礎理論和方法，在學習中加強辯證思維、抽象思維和邏輯推理的訓練，大家不僅能夠打好基礎，而且還能增進自身的數(shù)學素質，使自己在將來成為一個名符其實的數(shù)學工作者2) 聯(lián)系中數(shù) 服務未來 高等代數(shù)與中學數(shù)學的聯(lián)系使得它的一些內容對中學數(shù)學教學有居高臨下的指導作用，中學數(shù)學中的某些原型對于克服代數(shù)概念抽象、證題難以入手等難點有時也頗有價值，在學習中要注意加強這方面的聯(lián)系，這對于大部分的同學將來從事中學數(shù)學教學工作是十分有益的3) 起飛平臺 開拓發(fā)展 人人關心數(shù)學教育的未來中有這么一句話：“大學數(shù)學為許多領域的專業(yè)提供堅實的起飛平臺”在21世紀，大學數(shù)學不再是純粹為培養(yǎng)未來數(shù)學家而設立的專業(yè)，更主要的是為培養(yǎng)各級各類數(shù)學教師和高層次人才打基礎的掌握大學數(shù)學的人，將在計算機、自動控制、系統(tǒng)規(guī)劃、現(xiàn)代經(jīng)濟管理等諸多領域發(fā)揮積極作用，隨著知識產(chǎn)業(yè)化的進程，高等代數(shù)的知識，數(shù)學的理論和方法將越來越顯示出強大