數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式對于一些與無限多個正整數(shù)相關(guān)的命題,如果不易用以前學(xué)習(xí)過的方法證明如果不易用以前學(xué)習(xí)過的方法證明,用數(shù)學(xué)歸納法可能會收到較好的效果用數(shù)學(xué)歸納法可能會收到較好的效果.),1(1x) (1)5,(2n)(sin sinn:n2+?+ 1、使用假設(shè) 2、構(gòu)造k+1的結(jié)論 1、使用假設(shè) 2、構(gòu)造k+1的結(jié)論)(sin sin.2+Nn nn例證明不等式例 1、使用假設(shè) 2、構(gòu)造k+1的結(jié)論 1、使用假設(shè) 2、構(gòu)造k+1的結(jié)論注事實上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實數(shù)仍有類似不等式成立.當(dāng)仍有類似不等式成立.當(dāng)是實數(shù),且01 (1)1x x+ (1)x?當(dāng)是實數(shù),且01?nx xnx xxn+?+?1)1(,1,0,1,:.3那么有的自然數(shù)為大于且是實數(shù)如果證明貝努利不等式例那么有的自然數(shù)為大于且是實數(shù)如果證明貝努利不等式例作用數(shù)值估計和放縮法證明不等式作用數(shù)值估計和放縮法證明不等式例4:如果(nn為正整數(shù))個正數(shù)12,na a a?的乘積121naa a=?,那么它們的和12na a a n+?.證明:當(dāng)1n=時,有11a=，命題成立.設(shè)當(dāng)，命題成立.設(shè)當(dāng)n k= (1)k時，命題成立，即若k個正數(shù)12,ka a a?的乘積121kaa a=?,那么它們的和12ka aa k+?.那么當(dāng).那么當(dāng)1n k=+時,已知1k+個正數(shù)121,k kaaaa+?滿足滿足1211k kaaaa+=?.若1k+個正數(shù)121,k kaaaa+?都相等,則它們都是1.其和為都相等,則它們都是1.其和為1k+,命題成立.若這1k+個正數(shù)121,k kaaaa+?不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)(否則與不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)(否則與1211k kaaaa+=?矛盾).不妨設(shè)121,1aaK個個有時為了達(dá)到證明的目的，需要用到比較法有時為了達(dá)到證明的目的，需要用到比較法證證: (1)當(dāng)n=1時,左邊=,右邊=,由于故不等式成立由于故不等式成立.215124+=13222?=53,42=2112122172.=當(dāng)時，不等式成立n2（）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即22n k=()111123kk+?則當(dāng)時，n k=+11111112311kk kk=+=+?左式 (1)1111111kkkkkkk kk+?+=+=+?+=+=+右式=+當(dāng)時，不等式成立。 n k1由