自主招生數(shù)學(xué)試題例講.doc

高校自主招生數(shù)學(xué)問(wèn)題講練全國(guó)重點(diǎn)大學(xué)自主招生考試是自年開(kāi)始的一個(gè)新的考試門類，目前，這種考試有三大聯(lián)盟：即，以清華為首的七校聯(lián)盟，簡(jiǎn)稱“華約”（清華、上海交大、西安交大、南京大學(xué)、浙江大學(xué)、中國(guó)科大、中國(guó)人大）；以北大為首的十三校聯(lián)盟，簡(jiǎn)稱“北約”（北大、北航、北師大、復(fù)旦、南開(kāi)、武大、廈大、川大、山東大學(xué)、蘭州大學(xué)、中山大學(xué)、華中科大、香港大學(xué)）（注：復(fù)旦、南開(kāi)兩校今年起退出北約單獨(dú)干）；以及以北京理工大學(xué)為首的九校聯(lián)盟，簡(jiǎn)稱“卓越聯(lián)盟”（北理工、大連理工、華南理工、天津大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)、重慶大學(xué)、東南大學(xué)、西北工大、哈爾濱工大）其試題特點(diǎn)是注重基礎(chǔ)，知識(shí)全面，強(qiáng)化應(yīng)用，突出能力，靈活多變，并與大學(xué)的知識(shí)內(nèi)容及思想方法有所銜接，部分試題具有一定的高等數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)競(jìng)賽背景自年起，自主招生試題已由各有關(guān)高校自行命題，改為由國(guó)家考試中心命題，目前還沒(méi)有制定考試大綱，今年仍然按三個(gè)聯(lián)盟分別命題，明年，或許又將合為一卷，這正如三國(guó)演義開(kāi)篇所說(shuō)：“話說(shuō)天下大勢(shì)，分久必合，合久必分”自主招生試題，包括中學(xué)所涉及的全部知識(shí)（而不單是按某個(gè)省的教材），內(nèi)容可能會(huì)有某些超越試題例講、對(duì)于數(shù)列：即正奇數(shù)有個(gè)，且按自小到大排列，是否存在整數(shù)，使得對(duì)于任意正整數(shù)，都有恒成立？（表示不超過(guò)的最大整數(shù)）（上海交大）解：對(duì)正整數(shù)分段，第一段個(gè)數(shù)，第二段個(gè)數(shù)，第三段個(gè)數(shù)，第段個(gè)數(shù)，而，于是當(dāng)時(shí)，的取值為第個(gè)奇數(shù)，即此時(shí)，由于，所以，據(jù)此，將此與題目要求相比較，可知即是適合條件的整數(shù)；（注：年南昌市賽及年江西預(yù)賽題：數(shù)列由全體正奇數(shù)自小到大排列而成，并且每個(gè)奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，如果這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（其中表示的整數(shù)部分，為整數(shù)），則 （答案：）.簡(jiǎn)解：由，即當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，于是，）同類問(wèn)題：數(shù)列數(shù)列：即正整數(shù)有個(gè)，自小到大排列而成，求及解：先對(duì)正整數(shù)分段，第一段個(gè)數(shù)，第二段個(gè)數(shù)，第三段個(gè)數(shù)，第段有個(gè)數(shù)，而前段項(xiàng)數(shù)和為，前段項(xiàng)數(shù)和為，如果，那么，于是，當(dāng)給定時(shí)，由此式解得，注意，于是等于的整數(shù)部分，即，也就是，由于數(shù)列第段由個(gè)組成，其和為，因此數(shù)列前段的總和為；由于位于第段的第個(gè)數(shù)，而這些項(xiàng)全是，因此，；其中、已知一無(wú)窮等差數(shù)列中有三項(xiàng)：，求證：為數(shù)列中的一項(xiàng)（北大）證：注意到，一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列任意截去前面一段后仍然是無(wú)窮等差數(shù)列，故可設(shè)此數(shù)列為，且，設(shè)公差為，則，所以，所以皆為整數(shù)，而，即是等差數(shù)列的第項(xiàng)、寫出所有公差為的三項(xiàng)等差質(zhì)數(shù)數(shù)列，并證明之（清華大學(xué)理科）解：設(shè)三數(shù)為，其中為質(zhì)數(shù)；考慮模的余數(shù)，若，則，即，故是合數(shù)，不滿足條件；若，則，即，故是合數(shù)，不滿足條件；故只有，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)，只有，于是只有唯一解，即三數(shù)為、設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為；、求出；、求的值；、求（清華大學(xué)理科）解：、因?yàn)?，所以，；、；由于，則、已知，設(shè)數(shù)列滿足：，、證明數(shù)列是等比數(shù)列；、求數(shù)列的通項(xiàng)；、設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，有（華南理工大學(xué)）解：、由條件知，是方程的兩根，由，所以，；又由條件，所以，由，得，即，且，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；、據(jù)知，即 ，兩邊同除，（暫記）得，令，并求和得，所以，則；、利用數(shù)學(xué)歸納法，時(shí)，結(jié)論成立；若時(shí)結(jié)論成立，即有，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，結(jié)論也成立，于是結(jié)論得證、個(gè)圓至多將平面分成多少個(gè)部分？個(gè)球至多將空間分成多少個(gè)部分？（南京大學(xué)）解：設(shè)個(gè)兩兩相交的圓將平面分成部分，現(xiàn)加入圓，它與前個(gè)圓都相交，共得對(duì)交點(diǎn)，這對(duì)交點(diǎn)把的圓周分成段弧，每段弧穿過(guò)一個(gè)原先的區(qū)域，就將該區(qū)域一分為二（即增加一個(gè)區(qū)域），即增加圓后，新增加的區(qū)域數(shù)為，所以，即，又，于是再設(shè)個(gè)兩兩相交的球?qū)⑵矫娣殖刹糠?，現(xiàn)加入球，它與前個(gè)球都相交，這個(gè)球在的球面上交出個(gè)圓，據(jù)上述結(jié)論，球面被分成 個(gè)區(qū)域，則，且，解得、數(shù)列滿足：；、求和的關(guān)系；、若，證明；、若，證明 （中國(guó)科大）解：、由，相減得，所以，繼而有所以，即 、用數(shù)學(xué)歸納法，若，由得，據(jù)此，；若已有，由，因此在時(shí)結(jié)論也成立，故由數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)一切正整數(shù)，、由得 ，若，則由得，據(jù)歸納易見(jiàn)對(duì)一切，有，所以由，因此、設(shè)二次函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)，且滿足，而數(shù)列滿足，、確定的表達(dá)式；、證明：；、證明： （武漢大學(xué)）解：、設(shè)，由過(guò)，則，當(dāng)條件式兩邊都取等號(hào)時(shí)，由得，這時(shí)條件式成為，得，即，于是；又由，即，也即，此式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，所以有且判別式，即，于是，由此、，今用數(shù)學(xué)歸納法證明，時(shí)顯然，假若在時(shí)已有，則，因此對(duì)所有正整數(shù)皆有由于，所以，即、由，得，由知，所以，若令，則，即，故構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以有，因此，于是；由于當(dāng)時(shí)，恰有，而當(dāng)時(shí)，即對(duì)一切正整數(shù)，都有，故，所以、對(duì)于函數(shù)，如果存在函數(shù) ，使，則稱為函數(shù). 試確定：是否為函數(shù)？ 是否為函數(shù)？（上海交大）解：取，則，（或?。┮虼藶楹瘮?shù).不是函數(shù).反證法，若存在函數(shù)，使 .記 .則 ，四數(shù)必有一個(gè)不為零，據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè) ，由得， .由、得，所以.由、得，記 ， 由得 ，由此知，皆不是零函數(shù). 因此有，使，則 .式化為， ，即.因此有 ，矛盾！、求所有的正整數(shù)，使得集合可以分拆成個(gè)四元子集：，對(duì)于每個(gè)集合， 而四數(shù)，其中的一數(shù)等于另外三數(shù)的算術(shù)平均（北大夏季）解：不妨設(shè)，每個(gè)子集中，是的算術(shù)平均，則有，所以，因此，另一方面，當(dāng)時(shí)，集確有滿足條件的劃分，為此，記，其中，則在中有，而在中有、在由若干南方球隊(duì)和北方球隊(duì)參加的排球單循環(huán)賽中，已知南方隊(duì)比北方隊(duì)多支，所有南方隊(duì)得分總和是所有北方隊(duì)得分總和的倍（每場(chǎng)比賽勝者得分，負(fù)者得分）證明：循環(huán)賽結(jié)束后，某支南方隊(duì)積分最高（年北京大學(xué)）證：設(shè)北方球隊(duì)有支，南方隊(duì)有支，其中，則比賽場(chǎng)數(shù)為，所以北方隊(duì)總分為，而南方隊(duì)總分為，因北方隊(duì)內(nèi)部比賽場(chǎng)，得分為分，所以北方隊(duì)在與南方隊(duì)比賽中共得分，這是一個(gè)正整數(shù)，故可令，即 有正整數(shù)解，故其判別式為平方數(shù)，即為平方數(shù)設(shè)，由此，的末位數(shù)字為，則的末位數(shù)字為或，只有或，于是對(duì)應(yīng)的或；當(dāng)，成為，解得正整數(shù)根，此時(shí)北方隊(duì)有支，南方隊(duì)有支；全部個(gè)隊(duì)總積分為分；今分析分?jǐn)?shù)構(gòu)成情況：北方隊(duì)總得分為，南方隊(duì)總得分為；南方隊(duì)之間“內(nèi)戰(zhàn)”分?jǐn)?shù)為分，于是南方隊(duì)從北方隊(duì)中獲得分而南、北隊(duì)間“對(duì)抗”分?jǐn)?shù)為分，因此南方隊(duì)只輸給北方隊(duì)兩場(chǎng)，所以北方的個(gè)隊(duì)中，最強(qiáng)的隊(duì)的得分不會(huì)超過(guò)分；而南方隊(duì)的得分平均值，所以得分最高的是南方某個(gè)隊(duì)；當(dāng)，成為，解得正整數(shù)根，此時(shí)北方隊(duì)有支，南方隊(duì)有支；全部個(gè)隊(duì)總積分為分；分?jǐn)?shù)構(gòu)成情況：北方隊(duì)總得分為，南方隊(duì)總得分為；南方隊(duì)之間“內(nèi)戰(zhàn)”分?jǐn)?shù)為分，于是南方隊(duì)從北方隊(duì)中獲得分而南、北隊(duì)間“對(duì)抗”分?jǐn)?shù)為分，因此南方隊(duì)只輸給北方隊(duì)場(chǎng)，所以北方的個(gè)隊(duì)中，最強(qiáng)的隊(duì)的得分不會(huì)超過(guò)分；而南方隊(duì)的得分平均值，所以得分最高的是南方某個(gè)隊(duì)、集合，集合是集合對(duì)于的補(bǔ)集；、證明：不存在無(wú)限項(xiàng)的等差數(shù)列，使得各項(xiàng)都在集合中；、是否存在滿足條件的等比數(shù)列？說(shuō)明理由（中國(guó)科大）證：、如果存在無(wú)限項(xiàng)的等差數(shù)列，使得其各項(xiàng)都在集合中，則的各項(xiàng)及公差皆為正整數(shù)，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，那么，據(jù)條件，對(duì)每個(gè)，不在中，今考慮集合中的個(gè)數(shù)，模的情況：由于每個(gè)，故皆不在集中，當(dāng)然也不是的項(xiàng)，所以；另一方面，由于，個(gè)正整數(shù)中，任一個(gè)都不是的倍數(shù)，即它們被除得的最小非負(fù)余數(shù)只有這種情況，其中必有兩個(gè)余數(shù)相同，設(shè)，即，于是由上式得，即，矛盾！因此不存在無(wú)限項(xiàng)的等差數(shù)列，使得各項(xiàng)都在集合中；（這個(gè)問(wèn)題的另一說(shuō)法是，任一個(gè)各項(xiàng)為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列，必有某些項(xiàng)在集合中）【注】本題也可用構(gòu)造法來(lái)證，如果存在無(wú)限項(xiàng)的等差數(shù)列，使得其各項(xiàng)都在集合中，則的各項(xiàng)及公差皆為正整數(shù)，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，那么，取正整數(shù)，則，矛盾！、滿足條件的等比數(shù)列存在例如，取首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，（其中）；下面用反證法證明，該數(shù)列的任一項(xiàng)皆不在中（即：數(shù)列所有的項(xiàng)都在中）顯然皆不能表示成形式，當(dāng)時(shí)，設(shè)有某項(xiàng)，即有，使，也就是，由于，所以，這時(shí)與皆互質(zhì)，它不可能是的因數(shù)，矛盾！因此等比數(shù)列的任一項(xiàng)皆不在集中，故全在集合中【注】這種等比數(shù)列不是唯一的，例如也可取等比數(shù)列：，因?yàn)槿粲?，即存在，使得，即，由于左邊，則，故右邊的含有大于的奇因子，矛盾！因此的任一項(xiàng)皆在中、設(shè)都是有理數(shù)，并且也是有理數(shù)；證明：都是有理數(shù) （清華大學(xué)）證：分情況討論；若中至少兩個(gè)是，則顯然可得都是有理數(shù)；若中恰有一個(gè)是，不妨設(shè)， ，其中為有理數(shù)，由得，則為有理數(shù)，再由得為有理數(shù)，因此，都是有理數(shù)若中皆不為，設(shè)（此為正有理數(shù)）則由，平方得，即 ，則再平方得，由于，則為有理數(shù)，同理得為有理數(shù)、三個(gè)內(nèi)角的正切值皆為整數(shù)，如果將彼此相似的三角形只算作是同一種三角形，那么，全部合符條件的三角形的共有幾種？ 解：設(shè)，為非零整數(shù)，且其中至多有一個(gè)負(fù)數(shù)；由恒等式得即 ，以及 若其中有負(fù)整數(shù)，設(shè)，則為正整數(shù)，由，于是，得，矛盾所以皆為正整數(shù)，且其中必有一個(gè)等于，否則若皆，則由，又得矛盾設(shè)，則，由，得，即全部情況只有 即這種三角形只有一種【注】此題是年我們給中等數(shù)學(xué)第期所提供的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試卷的一道選擇題，后來(lái)被改編成年南京大學(xué)自主招生試題：求所有非，使得解：由于在非中有，則據(jù)條件得，因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)，有，即成立，于是，則，因此皆為整數(shù)，且其中至少有兩個(gè)正整數(shù)；不妨設(shè)都是正整數(shù)，則由，可知也是正整數(shù)，故只需求方程 的正整數(shù)解；不妨設(shè)，若，則，此時(shí)，與式矛盾！故只有，則由，得，所以；綜上，唯有三個(gè)內(nèi)角的正切值分別是的三角形滿足條件、設(shè)是方程 的根，是系數(shù)為有理數(shù)的二次多項(xiàng)式，且，求 （華約）解：因?yàn)榻圆皇欠匠痰母?，故方程沒(méi)有有理根，因此是無(wú)理數(shù)；設(shè)，其中為有理數(shù)，據(jù)條件，則，又由條件，；即 ，改記，為有理數(shù)，成為 ，因此， 即 ，因?yàn)槭菬o(wú)理數(shù)，則，若，由即，這與方程無(wú)有理根矛盾！因此，由，得，導(dǎo)致，于是，因此、九個(gè)連續(xù)正整數(shù)自小到大排成一個(gè)數(shù)列，若為一平方數(shù)，為一立方數(shù)，求這九個(gè)正整數(shù)之和的最小值解：設(shè)這九數(shù)為 ，則有，則，得 令，得，所以 ，再取，化為 ，取，可使左式成立，這時(shí)，、在中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個(gè)數(shù)？ （北京大學(xué)）解：首先，可以取個(gè)數(shù)（或者），其中任兩數(shù)之和不能被整除，而其差是的倍數(shù)；其次，將中的數(shù)自小到大按每三數(shù)一段，共分為段：；從中任取個(gè)數(shù)，必有兩數(shù)取自同一段，則或，注意與同奇偶，于是因此的最大值為.（注