高等數(shù)學(xué)(下)-學(xué)習(xí)指南.doc

高等數(shù)學(xué) 下 高等數(shù)學(xué) 下 學(xué)習(xí)指南學(xué)習(xí)指南 一 選擇題一 選擇題 1 設(shè)直線(xiàn)與平面平行 則等于 34 xyy k 293100 xyz k A 2 B 6 C 8 D 10 參考答案 A 直線(xiàn)的方向向量為 平面的法向量為 3 4k 2 9 3 因?yàn)橹本€(xiàn)和平面平行 所以?xún)蓚€(gè)向量的內(nèi)積為 0 即 3 293 40k 得到 2k 2 若 則 2 2f x yxy 1 0 x f A 4 B 0 C 2 D 1 參考答案 A 因?yàn)?2 24 x x fx yxyx 所以 1 04 14 x f 3 和在點(diǎn)連續(xù)是在點(diǎn)可微分的 x fx y y fx y 00 xy f x y 00 xy A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 無(wú)關(guān)條件 參考答案 A 由定理直接得到 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù) 則 zf x y zz xy x y 函數(shù)在該點(diǎn)的全微分存在 4 設(shè)是矩形 則 D0 0 xayb D dxdy A B C D ab2ab k ab kab 參考答案 D 對(duì)單位 1 對(duì)于一個(gè)矩形區(qū)域進(jìn)行二重積分就是計(jì)算矩形區(qū)域的面積 由題意知 則 0 0 xayb 00 D dxdyabab 5 設(shè) D 是方形域 01 01xy D xyd A 1 B C D 1 2 1 3 1 4 參考答案 D 1 1 11 22 00 0 0 11 44 D xyddxxydyx y 6 微分方程的通解是 x y y A B C D 22 xyc 22 xyc 22 1xy xyc 參考答案 A 22 11 22 xdyx yydyxdxyxC ydxy 即 22 xyc 7 微分方程的通解是 3 dy xyx dx A B C D 3 4 xc x 3 2 x cx 3 2 x c 3 4 x cx 參考答案 B 32 dyy xyxyx dxx 令 1 p x x 2 q xx 由一階線(xiàn)性非齊次微分方程的公式有 2 3 1 2 p x dxp x dxp x dx yCeeq x edx Cxx xdx x x Cx 8 則 2 sin 01 D Iyxdxdy Dxy I A B C 0 D 2 3 2 3 2 3 參考答案 C 化二重積分為二次積分 1 22 0 1 sinsinsin0 3 D Iyxdxdydxyxdyxdx 9 如果在有界閉區(qū)域上連續(xù) 則在該域上 zf x y D A 只能取得一個(gè)最大值 B 只能取得一個(gè)最小值 C 至少存在一個(gè)最大值和最小值 D 至多存在一個(gè)最大值和一個(gè)最小值 參考答案 C 由定理知道函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù) 則必然存在極值 10 微分方程的一個(gè)特解形式為 2 4 4 x yyye A B C D 2x yae 2x yaxe 2x yaebx 22x yax e 參考答案 D 微分方程的特征函數(shù) 2 2 442 所以有一個(gè)重特征根 2 據(jù)此 微分方程的特解形式為 22x yax e 11 通過(guò)點(diǎn)且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為 1 2 3 231 213 xyy A B 231 123 xyz 123 123 xyz C D 123 213 xyz 2 1 2 3 3 0 xyz 參考答案 C 12 垂直于兩直線(xiàn)和的直線(xiàn)和方向數(shù) 5 112 xyz 842 321 xyz 為 A 1 1 2 B 3 2 1 C 4 3 3 D 3 5 1 參考答案 D 13 兩平面 的相互位置為 20 xyz 32xyz A 互相垂直 B 互相平行 C 不平行也不垂直 D 互相重合 參考答案 C 14 設(shè)直線(xiàn)與平面平行 則等于 34 xyy k 293100 xyz k A 2 B 6 C 8 D 10 參考答案 A 15 兩平行平面 的間距距離為 10 xyz 2223xyz A B C D 3 2 5 3 1 12 5 3 6 參考答案 D 16 函數(shù)的定義域是 222 2zxy A B C D 22 2xy 22 4xy 22 2xy 22 4xy 參考答案 B 17 則函數(shù)在點(diǎn)的值是 2 1 2 z xy 1 0 A B 1 C D 1 2 1 y 2 1 2x 參考答案 A 18 函數(shù)的定義域是 22 lnzxy A B C D 22 1xy 22 0 xy 22 1xy 22 0 xy 參考答案 D 19 設(shè) 則 222 2f x y zxyzx 1 0 1f A B C D 2 2 22y 22 2 參考答案 C 20 二元函數(shù)的所有間斷點(diǎn)是 22 2x u xy A 點(diǎn) B 折線(xiàn) C D 與 0 0yx yx yx yx 參考答案 D 21 則 31zxy z x A B C D 33y 31y 3x 參考答案 A 22 函數(shù) 則 23 5f x yx y 0 0 x f A 0 B 5 C 1 D 10 參考答案 A 23 設(shè) 則 y zx 1e z x A B C 1 D 0e 1 e 參考答案 C 24 若 則 2 2f x yxy 1 0 x f A 4 B 0 C 2 D 1 參考答案 A 25 設(shè) 則 xy zxe z x A B C D xy xye 2xy x e xy e 1 xy xy e 參考答案 D 26 若 則 2 zxy dz A B C D dxdy 2 y dxxdy 2dxydy 2 22y dxydxydy 參考答案 C 27 若在點(diǎn)之某鄰域上確定且存在 f x y 00 xy 00 lim x yxy f x y 則 在點(diǎn)處 f x y 00 xy A 連續(xù) B 可微 C 間斷 D 不一定連續(xù) 參考答案 A 28 和在點(diǎn)連續(xù) 是在點(diǎn)處可微 x fx y y fx y 00 xy f x y 00 xy 的 A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 無(wú)關(guān)條件 參考答案 A 29 設(shè) 則 ln 1 x z y 1 1 dz A B C 0 D 11 xyy 11 dxdy xyy 1 2 dxdy 參考答案 D 30 在點(diǎn)可微是在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) f x y 00 xy f x y 00 xy 00 x fxy 和存在的 00 y fxy A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 無(wú)關(guān)條件 參考答案 A 31 是二元函數(shù)的駐點(diǎn) 則函數(shù)在該處 00 xy zf x y A 一定有極大值 B 一定有極小值 C 有極大值或極小值 D 不一定有極值 參考答案 D 32 設(shè) 則它在點(diǎn)處 22 2zxxy 1 0 A 取得最大值 B 無(wú)極值 C 取得極小值 D 無(wú)法判斷是否有極值 參考答案 B 33 若為之極值點(diǎn) 且在處可導(dǎo) 則為 00 xy f x yf 00 xy 00 xyf 的 A 最值點(diǎn) B 駐點(diǎn) C 連續(xù)點(diǎn) D 零點(diǎn) 參考答案 B 34 設(shè) 則是的 0000 0 xy fxyfxy 00 xy f x y A 零點(diǎn) B 極值點(diǎn) C 駐點(diǎn) D 最大值點(diǎn) 參考答案 C 35 函數(shù)在點(diǎn)為 22 3zxy 0 0 A 駐點(diǎn) B 極大值點(diǎn) C 極小值點(diǎn) D 間斷點(diǎn) 參考答案 A 36 設(shè)是一個(gè)正方體 而V01x 01y 01z 1 3 v xyz dvI 則 2 2 3 v xyz dvI A B C D 12 II 21 II 12 II 12 II 參考答案 A 37 若是由 圍城的矩形區(qū)域 則D1x 1x 1y 1y D dxdy A 0 B 1 C 4 D 2 參考答案 C 38 設(shè)是矩形域 則 Daxb cyd D d A B C D abcd abcd abdc badc 參考答案 D 39 設(shè)是矩形域 則 D0 xa 0yb D dxdy A B C D ab2ab k ab kab 參考答案 D 40 設(shè)由 圍成 Dyx 2yx 1y D dxdy A B C 1 D 1 2 1 4 3 2 參考答案 B 41 設(shè)是環(huán)形區(qū)域 則 D 22 14xy D d A B C D 4 2 3 參考答案 D 42 則 22 xy D ledxdy 22 4D xy l A B C D 4 1 2 e 4 21e 4 1e 4 e 參考答案 C 43 設(shè)是圓域 則 D 22 1xy D xd A B 1 3 00 sindrd 21 2 00 cosdrdr C D 1 2 00 cosdrd 1 2 00 sindrdr 參考答案 B 44 設(shè)區(qū)域由曲線(xiàn)與所圍成 則區(qū)域的面積為 D 2 1xy 0y D A B C D 1 00 ddx 1 2 0 2 drdr 21 00 drdr 21 00 ddr 參考答案 B 45 則的值為 22 ln D Ixydxdy 22 1 1 4 Dxy I A 負(fù) B 零 C 正 D 以上三種都不是 參考答案 A 46 微分方程是 33 dy xyx y dx A 六階的 B 三階的 C 一階的 D 二階的 參考答案 C 47 微分方程的通解是 2 x ye A B C D 2 x yec 2 x yec 2 2 x yec 2 x yce 參考答案 C 48 微分方程的通解是 x y y A B C D 22 xyc 22 xyc 22 1xy xyc 參考答案 A 49 微分方程的通解是 2yx A B C D 2 yxc yx 2 yx 2 ycx 參考答案 A 50 微分方程的階數(shù)是 3 4 0 xyyx yy y A 3 B 4 C 5 D 2 參考答案 D 51 微分方程是 2 x yye A 二階微分方程 B 齊次微分方程 C 一階線(xiàn)性微分方程 D 可分離變量的微分方程 參考答案 C 52 微分方程滿(mǎn)足的解是 2 2 1yyy 01y A B C D 2 2 11xy 22 1xy 2 2 11xy 2 2 11xy 參考答案 B 53 微分方程是 2 20 xyyx y A 二階的 B 一階的 C 四階的 D 三階的 參考答案 D 54 微分方程有一個(gè)解是 2xyy A B C D 2 5yx 3 5yx 2yx 3 2yx 參考答案 A 55 微分方程的通解是 20yxy A B C D yx ycx 2 ycx 2 x yce 參考答案 D 56 微分方程的通解是 0 xyy A B C D 1 12 x ycc e 2 12 yc xc 1 12 x ycc e 12 x yc xc e 參考答案 B 57 微分方程的通解是 90yy A B 3 12 x ycc x e 3 12 x yx cc x e C D 33 12 xx yc ec e 12 cos3sin3ycxcx 參考答案 C 58 微分方程有一個(gè)解是 0yy A B C D lnyx 2 yx sinyx x ye 參考答案 C 59 微分方程的通解是 90yy A B 3 12 x ycc x e 3 12 x yx cc x e C D 33 12 xx yc ec e 12 cos3sin3ycxcx 參考答案 D 60 微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解是 yy 0 2 x y A B C D 1 x ye 2 x ye 2 2 x ye 2x ye 參考答案 B 二 填空題二 填空題 1 與兩直線(xiàn)及都平行 且過(guò)原點(diǎn)的平面方程 1 1 2 x yt zt 121 121 xyz 為 參考答案 0 xyz 有兩直線(xiàn)方程知其方向向量分別為 0 1 1 和 1 2 1 設(shè)平面方程為 法向量為 A B C 0AxByCzD 直線(xiàn)與平面平行 則法向量與方向向量?jī)?nèi)積為 0 平面又過(guò)原點(diǎn) 所以 求得 A 1 B 1 C 1 D 0 0000 0 110 1210 ABCD ABC ABC 綜上 所求平面的方程為 0 xyz 2 sin coszxyxy z x 參考答案 cos cos z yxyy x sincos coscos xyxy z yxyy xx 3 二元函數(shù) 則 2xy zyxe 1 2 z y 參考答案 2 1 2 1 z e y 2 22 1 2 1 2 1 2 1 xy xy yxe z xxee yy 4 函數(shù)的最小值點(diǎn)是 22 3 zxy 參考答案 00 0 0 xy 因?yàn)樵街?當(dāng)且僅當(dāng) x 0 時(shí) 取到極小值 0 2 0 x 同樣 當(dāng)且僅當(dāng) y 0 時(shí) 取到極小值 0 2 0y 所以 函數(shù)的極小值點(diǎn)位于 0 0 5 設(shè)域?yàn)?則 D 22 1xy D d 參考答案 因?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?一個(gè)半徑為 1 的圓 22 1xy 所以是求圓的面積 D d 6 設(shè)是曲線(xiàn)與所圍成 則 D 2 1yx 0y D xd 參考答案 0 2 1 11 24 10 1 11 0 24 x D xdxdxdyxx 7 設(shè)積分區(qū)域是 則 D 22 14xy D dxdy 參考答案 3 是一個(gè)外環(huán)半徑為 2 內(nèi)環(huán)半徑為 1 的圓環(huán) 積分式 22 14xy 是在圓環(huán)上單位 1 的二重積分 所以求的是圓環(huán)的面積 D dxdy 原式 22 413 8 設(shè) 其中 求 arctan zxy x ye dz dx 參考答案 2 1 x dzyxe dxxy 直接求微計(jì)算 2 2 2 arctan 1 1 1 1 1 x x dxy dzdxy dxdxydx dy yx dx xy yxe xy yxe xy 9 微分方程的通解為 x yye y 參考答案 1 2 xx yece 對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性一階齊次方程是 x yye 0 x dydy ydxyCe dxy 結(jié)合原方程 等式右邊項(xiàng)含 x 所以通項(xiàng)公式為 x yC x e 將通項(xiàng)公式帶入原式 得到 xx dy Cx eC x e dx 代入 得到 x dy ye dx 2 1 2 xxx xx xx x Cx eC x eye Cx ee C xee dxC C xeC 最后得到 2 11 22 xxxx yeC eeCe 10 微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式是 2sinyyx 參考答案 sin cosyaxbxcxdx 原微分方程的特征函數(shù)是 2 10 1w 得到兩個(gè)無(wú)理根 i 即是特征根 iw 因此 特解的形式為 sin cosyaxbxcxdx 11 設(shè) 且滿(mǎn)足 則3a 5b 4c 0abc abbcca 參考答案 36 12 設(shè) 且 則 2 1 2a 4 1 10b cba ac 參考答案 23 13 設(shè)不全為 0 的實(shí)數(shù) 使 則三個(gè)向量 1 2 3 123 0abc a b c 具有 參考答案 共面 14 設(shè) 則 32aijk 2bijk 23ab 參考答案 18 15 點(diǎn)到平面的距離為 1 2 32z 參考答案 1 16 函數(shù)的間斷點(diǎn)是 22 1 1 z xy 參考答案 22 1xy 17 函數(shù)的定義域是 lnlnzxy 參考答案 0 0 x yxy 18 函數(shù)在 間斷 1 z xy 參考答案 0 xy 19 函數(shù)的定義域是 32zxy 參考答案 定義域是整個(gè)平面 20 設(shè) 則 ln 2 x f x yy y 2 1f 參考答案 ln2 21 設(shè) 則 lnzxxy 2z x y 參考答案 2 x xy 22 3 zxxy z y 參考答案 2 3x xxy 23 則 ln 2 y zx x z x 參考答案 2 41 2 x xyx 24 設(shè) 則 xy zxe z x 參考答案 1 xy xy e 25 則 33 zx yxy z x 參考答案 23 3x yy 26 設(shè) 則 222 20 xyzz 2 2 1x z y 參考答案 1 27 設(shè) 其中 求 2xy ze sinxt 3 yt dz dt 參考答案 22 cos6 xy tte 28 設(shè) 其中 求 arctanzxy x ye dz dt 參考答案 2 1 x yxe xy 29 設(shè) 其中 求 2 1 ax eyz u a sinyax coszx du dx 參考答案 2 cossin 1 ax eayazaxx a 30 設(shè) 其中 求 22 zuv uxy vxy z x 參考答案 22uv 22uv 31 二元函數(shù)的極大值點(diǎn)是 22 2zxy 參考答案 0 0 32 二元函數(shù)的最小值點(diǎn)是 22 3zxy 參考答案 0 0 33 二元函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)是 322 42zxxxyy 參考答案 0 0 1 1 34 二元函數(shù)的極大值點(diǎn)是 22 64zxxyy 參考答案 極大值 3 236f 35 二元函數(shù)的極小值點(diǎn)是 22 2 x zexyy 參考答案 極小值 1 1 22 e f 36 設(shè)是矩形區(qū)域 則 D 01 03x yxy D dxdy 參考答案 3 37 設(shè)域?yàn)?則 D 22 1xy D d 參考答案 38 若積分區(qū)域是 則 D 22 14xy D dxdy 參考答案 3 39 設(shè)為 與為頂點(diǎn)三角形區(qū)域 D 0 0O 1 0A 0 1B D f x y dxdy 參考答案 1 00 x dxf x y dy 40 設(shè)是曲線(xiàn)與所圍成 則 D 2 1yx 0y D xd 參考答案 0 41 設(shè)表示域 則 222 1xyz zdv 參考答案 0 42 設(shè)是由軸 軸及直線(xiàn)所圍城的區(qū)域 則的面積為Dxy1xy D 參考答案 11 00 x dxdy 43 則 2 sin D Iyxdxdy Dx 01y I 參考答案 0 44 設(shè)由 所確定 且Vxyzk 01x 01y 0z 7 4 v xdxdydz 則 k 參考答案 14 3 45 設(shè)由 所確定 則 V01x 01y 01z v dv 參考答案 1 46 由及所確定的立體的體積 222 2xyzz 22 xyz V 參考答案 222 222 1111 11 xxy xxy dxdydz 47 設(shè)區(qū)域 則在極坐標(biāo)系下 0 4 D 01r D f x y d 參考答案 1 4 00 cos sindtf rt rt rdr 48 將在直角坐標(biāo)下的三次積分化 22222 22222 0 aaxaaxy axaaxy Idxdyf x y z dz 為 在球坐標(biāo)下的三次積分 則 I 參考答案 2 cos 2 22 00 2 sincos sin sinsincos a ddfd 49 設(shè)區(qū)域 則在極坐標(biāo)系下 0 2 D 01r 22 xy D ed 參考答案 4 1 zf z dz 50 設(shè)是由 所確定 函數(shù)在上連續(xù) V 22 zxy 14z f z 1 4 那么 v f z dxdydz 參考答案 21 2 00 1 4 r dtre dre 51 微分方程的通解為 tancosyyxx y 參考答案 coscosxxcx 52 微分方程的通解為 cosyyx y 參考答案 sincos 2 x xx ce 53 微分方程的通解為 x yye y 參考答案 1 2 xx ece 54 微分方程的通解為 x yye y 參考答案 xx xece 55 微分方程的通解為 x yye y 參考答案 x exC 56 微分方程的通解為 430yyy y 參考答案 3xx aebe 57 微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有的形式是 1 x yye 參考答案 x axeb 58 微分方程的通解為 22 x yyye y 參考答案 2xx abx ecx e 59 微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有的形式是 2sinyyx 參考答案 sincosaxbxcxdx 60 微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有的形式是 1 x yye 參考答案 x abx ecdx 三 解答題三 解答題 1 計(jì)算三重積分 其中是由和三個(gè)坐標(biāo)平面圍 v xdxdydz V2xyz 成的四面體 參考答案 2 3 2 計(jì)算三重積分 其中是由以及 v ydxdydz V 22 34yzxy 01x 所確定 01y 參考答案 7 12 3 計(jì)算三重積分 其中由所確定 v zdxdydz V 2222 11xyzxy 參考答案 5 4 4 計(jì)算三重積分 其中由所確 v zdxdydz V 2222 11xyzxy 定 參考答案 7 6 5 計(jì)算三重積分 其中由以及所確定 v zdxdydz V14z 22 zxy 參考答案 21 6 利用高斯公式的方法計(jì)算積分 其中是球面xyzdxdy 在 222 1xyz 第一卦限部分的上側(cè) 參考答案 1 15 7 利用高斯公式的方法計(jì)算積分 xy dydzyz dzdxzx dxdy 其中是柱面介于之間的部分外側(cè) 222 xya 01z 參考答案 2 2a 8 利用高斯公式的方法計(jì)算積分 其中是球面 22 x y dxdy 2222 xyzR 下半部分下側(cè) 參考答案 6 24 R 9 利用高斯公式的方法計(jì)算積分 其中是xzdxdyxydydzyzdxdz 球面在第一卦限部分的上側(cè) 222 1xyz 參考答案 1 8 10 利用高斯公式的方法計(jì)算積分 其中 222 x dydzy dzdxz dxdy A 為長(zhǎng)方體 表面的外側(cè) 0 xa 0yb 0zc 參考答案 222 a bcab cabc 11 計(jì)算 其中 22 xy D edxdy 222 D xya 參考答案 由已知條件可以看出積分區(qū)域 D 是一個(gè)圓面 進(jìn)入極坐標(biāo)方程 其中 cos sin xr yr 0 0 2ra 22 2 2 2 2 2 2 00 2 2 00 2 0 0 2 0 1 2 1 2 1 1 2 1 xy D a r