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分享智慧泉源 智愛學習 傳揚愛心喜樂高中數(shù)學教程雙曲線的幾何性質（1）目標：1能用對比的方法分析雙曲線的范圍、對稱性、頂點等幾何性質，并熟記之；2掌握雙曲線的漸近線的概念和證明；3明確雙曲線方程中的幾何意義；4能根據(jù)雙曲線的幾何性質，確定雙曲線的方程并解決簡單問題。重、難點：雙曲線的范圍、對稱性、頂點和漸近線。 （一）復習：1雙曲線的定義和標準方程； 2橢圓的性質；（二）新課講解：以雙曲線標準方程為例進行說明。1范圍：觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線 的外側。注意：從雙曲線的方程如何驗證？從標準方程可知，由此雙曲線上點的坐標都適合不等式即，即雙曲線在兩條直線的外側。2對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。3頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。在作圖時，我們常常把虛軸的兩個端點畫上（為要確定漸進線），但要注意他們并非是雙曲線的頂點。4漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。在初中學習反比例函數(shù)時提到x軸y軸都是它的漸近線。高中三角函數(shù)，漸近線是。所謂漸近，既是無限接近但永不相交。那么如何證明這個無限接近但永不相交？思考：從哪個量上反映“無限接近但永不相交”？距離。只要證明什么？距離趨向于0.下面證明，取第一象限內的部分進行證明。（見課本）求法：求已知雙曲線的漸近線方程：令右端的1為0，解出的直線方程即為雙曲線的漸近線方程。5等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。 定義式：2）等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。 注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為： 當時交點在軸，當時焦點在軸上。6注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。通過分析曲線的方程，發(fā)現(xiàn)二者具有相同的漸近線。此即為共軛之意。1）性質：共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。2）如何確定雙曲線的共軛雙曲線？將1變?yōu)椤?）共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有什么樣的特征？可設為，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上。4）與雙曲線有同一對漸近線的雙曲線的方程可設為，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上。（三）例題分析：例1求雙曲線的實半軸和虛半軸長、焦點坐標、漸近線方程。解：把方程化標準方程：，由此可知，實半軸長，虛半軸長；，焦點的坐標是漸近線方程為，即。例2雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面（如左圖），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高，選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程（精確到）。解：如圖（右圖），建立坐標系，使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合；這時，上、下口的直徑平行于軸，且，；設曲線的方程為：令點的坐標為，則點的坐標為，因為點在雙曲線上，所以 化簡，得 解得所求雙曲線的方程為：。例3求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的方程。解：與雙曲線有共同漸近線故設所求雙曲線的方程為又過點 所求雙曲線的方程為即。補充：求與雙曲線有共同漸近線，且過點的雙曲線的方程。2課題：雙曲線的幾何性質（2）目標：1. 鞏固雙曲線的幾何性質；2. 能熟練地利用雙曲線的性質求雙曲線的標準方程。重、難點：幾何性質的運用。教程：（一）復習：1雙曲線的幾何性質：范圍；對稱性；頂點；漸近線；離心率。2練習：雙曲線的實軸長等于 ，虛軸長等于 ，頂點坐標為 ， 焦點坐標為 ，漸近線方程為 ，離心率等于 （若方程改為呢？）（二）新課講解：例1求證：雙曲線（）與雙曲線有共同的漸近線。解：若，則雙曲線方程可化為，漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，兩雙曲線漸近線相同；若，則雙曲線方程可化為，漸近線方程為，即，又雙曲線的漸近線方程為，兩雙曲線漸近線相同，所以，原命題結論成立。說明：與雙曲線（）有共同漸近線的所有雙曲線方程為（）【練習】與雙曲線有共同的漸近線且經(jīng)過點的雙曲線方程是例2求中心在原點，一條漸近線方程為，且一焦點為的雙曲線標準方程。解：（方法一）設雙曲線的標準方程為，雙曲線準線方程為， 又焦點，由得。雙曲線方程為：。方法二：由題意，可以設雙曲線方程為：焦點為， ， ，雙曲線方程為：。例3已知雙曲線的漸近線方程為，實軸長為12，求它的標準方程。解：由題意，可以設雙曲線方程為當時，；當時，。所求雙曲線方程為：或。五小結： 用雙曲線的性質求雙曲線方程。補充：1已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點，（1）求雙曲線方程；（2）若點在雙曲線上，求證：；（3）求的面積。3課題：雙曲線的幾何性質（3）目標：1能熟記雙曲線的離心率、明確的幾何意義；2知道雙曲線的另一定義和準線的概念，能正確寫出雙曲線的準線方程。重、難點：雙曲線的離心率和雙曲線的第二定義。 教程：（一）復習：雙曲線的范圍、對稱性、頂點、實軸、虛軸、漸近線。（二）新課講解：1離心率：1）概念：雙曲線焦距與實軸長之比；2）定義式：；3）范圍：；4）考察雙曲線形狀與的關系：，因此越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。2雙曲線的第二定義：例1點與定點的距離與到的距離之比為常數(shù)，求的軌跡方程。解：設d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求點軌跡是集合 由此得：化簡得：.設，就可化為：這是雙曲線的標準方程，所以點的軌跡是實軸長、虛軸長分別為的雙曲線。說明：此例題要求學生進一步熟悉并熟練掌握求解曲線軌跡方程的一般步驟。雙曲線的第二定義：平面上到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線。說明：1）其中定點焦點，定直線準線。對于來說，相對于左焦點對應著左準線相對于右焦點對應著右準線對于來說，相對于下焦點對應著下準線 相對于上焦點對應著上準線2）位置關系：3）焦點到相應準線的距離：練習：已知雙曲線上一點到其右焦點距離為8，求其到左準線的距離。（答案：）3例題分析：例2雙曲線的中心在坐標原點，離心率為，一條準線方程為，求雙曲線的方程。解：設雙曲線的方程為，由題意得 解得，雙曲線的方程為。例3雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，兩準線間的距離為4，且經(jīng)過,求雙曲線的方程。解：若焦點在軸上，則雙曲線的方程設為，由已知，有 ，代入，整理得， 或，或，雙曲線的方程為或，若焦點在軸上，則設雙曲線的方程為，由已知，得 ，代入得，此方程無實數(shù)解。雙曲線的方程為或。說明：當雙曲線的焦點位置不定時，必須進行分類討論。五課堂小結：方 程（）（）圖 象關 系范 圍頂 點對 稱 性關于軸成軸對稱、關于原點成中心對稱漸 近