第三章 晶格振動(dòng)與晶體熱學(xué)性質(zhì).doc

第三章 晶格振動(dòng)與晶體熱學(xué)性質(zhì)習(xí) 題1 原子質(zhì)量為m,間距為a,恢復(fù)力常數(shù)為的一維簡(jiǎn)單晶格，頻率為的格波，求（1） 該波的總能量，（2） 每個(gè)原子的時(shí)間平均總能量。解答（1） 格波的總能量為各原子能量的總和。其中第n個(gè)原子的動(dòng)能為而該原子與第n+1個(gè)原子之間的勢(shì)能為若只為考慮最近鄰相互作用，則格波的總能量為將代入上式得設(shè)T 為原子振動(dòng)周期，利用可得 =AN+.式中N為原子總數(shù)。（2） 每個(gè)原子的時(shí)間平均總能量為 再利用色散關(guān)系便得到每個(gè)原子的時(shí)間平均能量2 一維復(fù)式格子，原子質(zhì)量都為m，原子統(tǒng)一編號(hào)，任一原子與兩最近鄰的間距不同,力常數(shù)不同,分別為和，晶格常數(shù)為a,求原子的運(yùn)動(dòng)方程及色散關(guān)系.解答圖3.2 一維雙原子分子鏈 此題實(shí)際是一雙原子分子鏈.設(shè)相鄰分子間兩原子的力常數(shù)為，間距為b;一個(gè)分子內(nèi)兩原子力常數(shù);晶格常數(shù)為a;第n-1,n,n+1,n+2個(gè)原子的位移分別為.第n-1與第n+1個(gè)原子屬于同一原子,第n與n+1第個(gè)原子屬于同一個(gè)原子,于是第n和第n+1個(gè)原子受的力分別為，.其運(yùn)動(dòng)方程分別為 設(shè)格波的解分別為.代入運(yùn)動(dòng)方程，得 .整理得 由于A和B不可能同時(shí)為零。因此其系數(shù)行列式必定為零。即.解上式可得 由上式知，存在兩種獨(dú)立的格波，聲學(xué)格波的色散關(guān)系為 ,光學(xué)格波的色散關(guān)系為 .3由正負(fù)離子構(gòu)成的一維原子鏈，離子間距為a,質(zhì)量都為m,電荷交替變化，即第n個(gè)離子的電荷.原子間的互作用勢(shì)是兩種作用勢(shì)之和，其一，近鄰原子的短程作用,力系數(shù)為，其二,所有離子間的庫(kù)侖作用.證明（1） 庫(kù)侖力對(duì)力常數(shù)的貢獻(xiàn)為 2.（2） 色散關(guān)系 ,其中.（3） 時(shí),格波為軟模。解答（1） 設(shè)離子鏈沿水平方向，第n個(gè)離子右端的第n+p個(gè)離子與第n個(gè)離子間的庫(kù)侖力為 上式右端加一負(fù)號(hào)，是我們規(guī)定坐標(biāo)的正方向，指向右端，考慮到, 可將上式展成級(jí)數(shù),取一級(jí)近似得 第n個(gè)離子左端的第n-p個(gè)離子與第n個(gè)離子間的庫(kù)侖力為 取一級(jí)近似得。第 個(gè)離子和第個(gè)離子對(duì)第個(gè)離子間的庫(kù)侖作用合力為可見(jiàn)庫(kù)侖力對(duì)常數(shù)的貢獻(xiàn)為 （2） 第個(gè)離子的運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)格波解 ,則由離子的運(yùn)動(dòng)方程得令，可得當(dāng)，有記則有 由此知，當(dāng)時(shí)，由于格波的頻率，因此 說(shuō)明此振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)的恢復(fù)力系數(shù)，相當(dāng)于彈簧振子系統(tǒng)的彈簧喪失了彈性.所以稱的振動(dòng)模式為軟模.4.證明一維單原子鏈的運(yùn)動(dòng)方程,在長(zhǎng)波近似下,可以化成彈性波方程 解答根據(jù)固體物理教程(3.4)式,第 個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為因?yàn)?所以第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程化為.在長(zhǎng)波近似下:,運(yùn)動(dòng)方程又化為在長(zhǎng)波近似下,當(dāng)為有限整數(shù)時(shí),上式說(shuō)明,在長(zhǎng)波近似下,鄰近(在半波長(zhǎng)范圍內(nèi))的若干原子以相同的振幅,相同的位相做集體運(yùn)動(dòng),因此(1)式可統(tǒng)一寫成.第二章中固體彈性理論所說(shuō)的宏觀的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng),正是由這些原子的整體的運(yùn)動(dòng)所構(gòu)成,這些原子偏離子平衡位置的位移,即是宏觀上的質(zhì)點(diǎn)位移u ,從宏觀上看,原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的,原子的分離可視為連續(xù)坐標(biāo)x,即于是,(2)式化成,其中,是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速.5.設(shè)有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一價(jià)正負(fù)離子構(gòu)成的一維晶格,正負(fù)離子間距為,正負(fù)離子的質(zhì)量分別為和,近鄰兩離子的互作用勢(shì)為,式中e為電子電荷,b和n為參量常數(shù),求(1) 參數(shù)b與e,n及的關(guān)系,(2) 恢復(fù)力系數(shù),(3) 時(shí)的光學(xué)波的頻率,(4) 長(zhǎng)聲學(xué)波的速度,假設(shè)光學(xué)支格波為一常數(shù),且對(duì)光學(xué)支采用愛(ài)因斯坦近似,對(duì)聲學(xué)波采用德拜近似，求晶格熱容。解答(1) 若只計(jì)及近鄰離子的互作用,平衡時(shí),近鄰兩離子的互作用勢(shì)以取極小值,即要求 .由此得到 .(2) 恢復(fù)力系數(shù) .(3) 光學(xué)波頻率的一般表達(dá)式參見(jiàn)固體物理教程(3.21)式 .對(duì)于本題, ,.所以的光學(xué)波頻率.(4) 由固體物理教程(3.25)式可知,長(zhǎng)聲學(xué)波的頻率 .對(duì)于本題。長(zhǎng)聲學(xué)波的速度 。(5) 按照愛(ài)因斯坦模型,光學(xué)波的熱振動(dòng)能 .光學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn) ,其中 是愛(ài)因斯坦溫度,其定義為按照德拜模型，聲學(xué)波的模式密度 .電學(xué)波的熱振動(dòng)能.其中,和分別為德拜頻率和德拜溫度，德拜頻率 可由下式求得.聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn). 在高溫情況下, ,上式化成 .先求出高溫時(shí)的,再求更容易.在甚低溫條件下, ,解答設(shè)原子的質(zhì)量為,第個(gè)原子對(duì)平衡位置的位移為第和第個(gè)原子對(duì)平衡位置的位移分別為與(m=1,2,3)，則第和第個(gè)原子對(duì)第個(gè)原子的作用力為.第個(gè)原子受力的總合為 .因此第個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為.將格波的試解 代入運(yùn)動(dòng)方程得 .由此得格波的色散關(guān)系為 .7采用德拜模型把晶體中的格波看成彈性波,在三維晶體內(nèi)任意傳播方向可存在三支彈性波（兩支橫波，一支縱波），設(shè)波矢為q的第i支彈性波的波動(dòng)方程為 u(r,t)=Acos(qr-). (1)任一原子的位移是所有格波引起的位移的迭加，即 u(r,t)=. (2)原子位移平方的長(zhǎng)時(shí)間平均值 .由于的數(shù)目非常大,為（是原子總數(shù)）數(shù)量級(jí)，而且取正事負(fù)的幾率相等，因此上式對(duì)()的求和項(xiàng)與對(duì)()的求和項(xiàng)相比是一小量，可以略去,于是得 由于為t的周期函數(shù)，其長(zhǎng)時(shí)間平均值等于一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值，因此上式右邊中的可用在一周期內(nèi)的時(shí)間平均值代替，在絕對(duì)零度下，所有的熱振動(dòng)模式均未被激發(fā)，即只有零點(diǎn)振動(dòng),且一個(gè)頻率為的零點(diǎn)振動(dòng)的能量 .彈性波動(dòng)能的時(shí)間平均值為 .式中是晶體質(zhì)量密度, 是其體積,T為彈性波的振動(dòng)周期.由于動(dòng)能與彈性勢(shì)能的時(shí)間平均值相等，它們均為總能量的一半，所以有， .于是得到 .位移的平方的時(shí)間平均值為 .由以上兩式得.此為絕對(duì)零度下一個(gè)振動(dòng)模動(dòng)對(duì)原子位移均方值的貢獻(xiàn)，將其代入（3）式得 .把上述求和化為對(duì)的積分，得 .再將德拜模式密度代入上式得 .若晶體共有N個(gè)原子,則上式的德拜頻率 .8采用德拜模型，求出時(shí)原子的均方位移，并討論高低溫極限情況。解答在時(shí)，上題中的（3）式仍成立，即仍有但頻率為的格波能量為 .而其動(dòng)能平均值為 ,動(dòng)能又可以表示為 .由以上兩式可得 .頻率為的格波所引起的原子的均方位移是 .由于（1）與上題中（6）式相似，可得所有格波引起的原子的均方位移， ，再令 ，并利用 ， ，得 。式中為晶體的總質(zhì)量在高溫情況下， ?？梢?jiàn)，在高溫下，原子的均方位移與溫度T的一次方或正比.在甚低溫條件下, ,積分是一常數(shù)，于是 ,即在甚低溫條件下，原子的均方位移與溫度T的平方成正比.9求出一維簡(jiǎn)單格的模式密度.解答一維簡(jiǎn)單晶格的色散關(guān)系曲線如圖 33所示,由色散曲線的對(duì)稱性可以看出, 區(qū)間對(duì)應(yīng)兩個(gè)同樣大小的波矢區(qū)間.區(qū)間對(duì)應(yīng)有個(gè)振動(dòng)模式,單位波矢區(qū)間對(duì)應(yīng)有個(gè)振動(dòng)模式,范圍則包含 個(gè)振動(dòng)模式,單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度,根據(jù)這一定義可得模式密度為 . 圖 3.3一維簡(jiǎn)單晶格的色散關(guān)系由色散關(guān)系得 .得下式代入前式,得到模式密度 .10.設(shè)三維晶格一支光學(xué)波在q=0附近,色散關(guān)系為,證明該長(zhǎng)光學(xué)波的模式密度 .解答解答一:固體物理教程(3.117)式可知,第支格波的模式密度, ,其中是第支格波的等頻面,因?yàn)橐阎鈱W(xué)波在q=0附近的等頻面是一球面,所以 .解法二:考慮q空間中的無(wú)窮小間隔dq, 與此對(duì)應(yīng)的頻率間隔為設(shè)分別表示單位頻率間隔內(nèi)和單位波矢間隔內(nèi)的振動(dòng)方式數(shù),由這兩種間隔內(nèi)所含的振動(dòng)方式數(shù)相等得 .由固體物理教程(3.36)式知 ,及在q=0附近 .由以上諸式得 .11.設(shè)固體的熔點(diǎn)對(duì)應(yīng)原子的振幅等于原子間距的10%的振動(dòng),推證,對(duì)于一維簡(jiǎn)單晶體,接近熔點(diǎn)時(shí)原子的振動(dòng)頻率 ,其中是原子質(zhì)量.解答當(dāng)質(zhì)量的的原子以頻率及等于原子間距的10%的振幅振動(dòng)時(shí),由本章率1題可知,其振動(dòng)能為 .在熔點(diǎn)時(shí),原子的能量可按能量均分定理處理,即一個(gè)一維原子的平均能量為, 于是有 ,由此得 .12.設(shè)一長(zhǎng)度為的一維簡(jiǎn)單晶格,原子質(zhì)量為m間距為,原子間的互作用勢(shì)可表示成.試由簡(jiǎn)諧近似求(1) 色散關(guān)系;(2) 模式密度;(3) 晶格熱容(列出積分表達(dá)式).解答(1) 根據(jù)已知條件,可求得原子間的彈性恢復(fù)力系數(shù) .將上式代入固體物理教程一維簡(jiǎn)單晶格的(3.7)式,得到色散關(guān)系,其中 .(2) 在本章第9題,我們?cè)蟮靡痪S簡(jiǎn)單晶格的模式密度,在此,再對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行求解,根據(jù)固體物理教程（3.7）式知,一維簡(jiǎn)單晶格簡(jiǎn)正振動(dòng)格波的色散關(guān)系為 ,此式表明為q的偶函數(shù),設(shè)分別表示單位頻率間隔內(nèi)和q空間中單位間隔的振動(dòng)方式數(shù),考慮到振動(dòng)方式總數(shù)為原子總數(shù)N可得,由為常數(shù)得 因此.再由 得 ,又,式中 .由此得 .(3) 頻第為的格波的熱振動(dòng)能為 .整個(gè)晶格的熱振動(dòng)能 .則晶格的熱容 .13.對(duì)一維簡(jiǎn)單格子,按德拜模型,求出晶格熱容,并討論高低溫極限.解答按照德拜模型,格波的色散關(guān)系為.由圖3.4色散曲線的對(duì)稱性可以看出, 區(qū)間對(duì)應(yīng)兩個(gè)大小的波矢區(qū)間dq.區(qū)間對(duì)應(yīng)有個(gè)振動(dòng)模式,單位波矢區(qū)間對(duì)應(yīng)有個(gè)振動(dòng)模式,范圍則包含 個(gè)振動(dòng)模式,單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度,根據(jù)這一定義可得模式密度為 . 圖3.4一維簡(jiǎn)單格子德拜模型色散關(guān)系再利用 ,式中為原子總數(shù), 為晶格常數(shù),得 .根椐固體物理教程（3.119）式得其熱容量 .作變量變換 ,得,其中.在高溫時(shí), 是小量,上式中被積函數(shù) 因此,晶格的高溫?zé)崛萘?在甚低溫時(shí), .,是的被積函數(shù)按二項(xiàng)式定理展成級(jí)數(shù) .則積分 ,由此得到低溫時(shí)晶格的熱容量 .14.對(duì)二維簡(jiǎn)單格子,按德拜模型,求出晶格熱容,并討論高低溫極限.解答德拜模型考慮的格波是彈性波,波速為的格波的色散關(guān)系是.在二維波矢空間內(nèi),格波的等頻線是一個(gè)個(gè)圓周,如圖3.5所示,在區(qū)間內(nèi)波速為的格波數(shù)目 ,式中是二維晶格的總面積,由此可得波速為的格波的模式密度 . 圖 3.5二維波矢空間考慮到二維介質(zhì)有兩支格波,一支縱波,一支橫波,所以,格波總的模式密度 ,式中 ,其中是縱波速度, 是橫波速度,格波的振動(dòng)能 .晶格的熱容量 .積分上限由下式 求出,由此得到 ,式中為原子個(gè)數(shù),作變量變換 ,晶格熱容量 ,其中 .當(dāng)溫度較高時(shí), ,.可見(jiàn)德拜模型的高溫?zé)崛菖c經(jīng)典理論是一致的.當(dāng)溫度甚低時(shí), .積分 ,則有 ,式中 .由此可見(jiàn),在甚低溫下,二維晶格的熱容量與溫度的平方成正比,15.試用德拜模型,求時(shí),晶格的零點(diǎn)振動(dòng)能.解答頻率為的零點(diǎn)振動(dòng)能為, 因此 晶格總的零點(diǎn)振動(dòng)能為 .根據(jù)德拜模型,對(duì)三維晶體有, ,因此 .再利用 , ,又可得 .16.對(duì)三維晶體,利用德拜模型,求(1) 高溫時(shí)范圍內(nèi)的聲子總數(shù),并證明晶格熱振動(dòng)能與聲子總數(shù)成正比.(2) 甚低溫時(shí)范圍內(nèi)的聲子總數(shù),并證明晶格熱容與聲子總數(shù)成正比.解答(1) 頻率為的格波的聲子數(shù) .高溫時(shí) ,于是 .聲子總數(shù)為 .對(duì)于德拜模型,模式密度 .則高溫時(shí)聲子總數(shù) .可見(jiàn),在高溫時(shí),聲子總數(shù)與溫度成正比.高溫時(shí),晶格的熱振動(dòng)能.上式說(shuō)明,在高溫時(shí),熱振動(dòng)能與溫度也成正比,因此在高溫時(shí)晶格的熱振動(dòng)能與聲子總數(shù)成正比.(2) 聲子總數(shù) .取變量變換 ,則在甚低溫下,其中 .由德拜定律可知,在甚低溫下固體比熱與溫度成正比,由此得到，在甚低溫下固體比熱與聲子總數(shù)成正比.17.按德拜近似,證明高溫時(shí)的晶格熱容 .解答由固體物理教程式(3.132)可知 .在高溫時(shí), ,則在整個(gè)積分范圍內(nèi)x為小量,因此可將上式中被積函數(shù)化簡(jiǎn)為.將上式代入的表示式,得 .將 代入上式得.18.晶體的自由能可寫成,若,求證 ,式中為格林愛(ài)森常數(shù)解答根據(jù) ,得 .式中為格林愛(ài)森常數(shù),再由 , ,得 .將此結(jié)果代入P的表示式,便得 .19.證明 ,式中為格林愛(ài)森常數(shù). 解答由格林愛(ài)森常數(shù)的定義式 ,得 .對(duì)確定的晶體, 可視為常量,因此上式直接積分得 ,由此得 , .再利用德拜溫度的定義式 ,得 .上式表明 .20.證明 ,其中P為壓強(qiáng), 為體膨脹系數(shù).解答由上題結(jié)果 可得 , ,式中為體積彈性模量參見(jiàn)固體物理教程(2.11)再利用(3.158)式 ,得 .因此 .21.設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的互作用勢(shì)能 ,b為待定常數(shù),平衡間距,求線膨脹系數(shù).解答根據(jù)固體物理教程（3.148）式,線膨脹系數(shù)可近似表示為 .式中 ,.由平衡條件 ,得 .于是 , .將以上結(jié)果及下列數(shù)據(jù):,CGSE,=1.381*10erg/K代入的表示式,得 .22.證明晶體自由能的經(jīng)典極限為 .解答根據(jù)固體物理教程式(3.153),晶體自