高中數學第八章向量的數量積與三角恒等變換8.1向量的數量積8.1.1向量數量積的概念教案新人教B版.docx

8.1.1向量數量積的概念(教師獨具內容)課程標準：1.通過物理中功等實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積.2.通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系教學重點：平面向量數量積的含義及幾何意義教學難點：向量的投影及數量積的幾何意義.【知識導學】知識點一兩個向量的夾角(1)定義：給定兩個非零向量a，b(如圖所示)，在平面內任選一點O，作a，b，則稱0，內的AOB為向量a與向量b的夾角，記作a，b(2)規(guī)定0a，b.在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并且有a，bb，a(3)垂直：當a，b時，稱向量a和向量b互相垂直，記作ab.在討論垂直問題時，規(guī)定零向量與任意向量垂直(4)當a，b0時，a與b同向；當a，b時，a與b反向；當a，b或a與b中至少有一個為零向量時，ab.知識點二向量數量積(內積)的定義一般地，當a與b都是非零向量時，稱|a|b|cosa，b為向量a和b的數量積(也稱為內積)，記作ab，即ab|a|b|cosa，b由定義可知，兩個非零向量a與b的數量積是一個實數知識點三平面向量的數量積的性質(1)如果e是單位向量，則aeea|a|cosa，e(2)abab0，且ab0ab.(3)aa|a|2，即|a|.(4)cosa，b(|a|b|0)(5)|ab|a|b|，當且僅當ab時等號成立知識點四向量的投影如圖1，設非零向量a，過A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A，B，則稱向量為向量a在直線l上的投影向量或投影類似地，給定平面上的一個非零向量b，設b所在的直線為l，則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影如圖2中，向量a在向量b上的投影為.可以看出，一個向量在一個非零向量上的投影，一定與這個非零向量共線，但它們的方向既有可能相同，也有可能相反知識點五向量數量積的幾何意義如圖(1)(2)(3)所示當a，b時，的方向與b的方向相反，而且|a|cosa，b一般地，如果a，b都是非零向量，則稱|a|cosa，b為向量a在向量b上的投影的數量投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量既可能是非負數，也可能是負數兩個非零向量a，b的數量積ab，等于a在向量b上的投影的數量與b的模的乘積這就是兩個向量數量積的幾何意義【新知拓展】1a在b方向上的投影的數量也可以寫成，它的符號取決于角的余弦值2在運用數量積公式解題時，一定要注意兩向量夾角的范圍是0180.3ab的符號與a與b的夾角的關系設兩個非零向量a與b的夾角為，則(1)若ab0為銳角或零角當0時，a與b共線同向，ab0.(2)ab0或a與b中至少有一個為0.(3)ab0為鈍角或平角，當180時，a與b共線反向，ab0(0)，向量夾角不一定為銳角(鈍角)4向量的數量積ab|a|b|cos的主要應用(1)利用公式求數量積，應先求向量的模，正確求出向量的夾角(向量的夾角由向量的方向確定)(2)利用公式變式cos求夾角，應正確求出兩個整體：數量積ab與模積|a|b|，同時注意0，(3)利用ab0證明垂直問題1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若ab0，則ab.()(2)兩個向量的數量積是一個向量()(3)當ab時，|ab|a|b|.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知向量a與軸l的夾角為30且|a|，則a在軸l上的投影的數量為_(2)已知|a|4，|b|2，且a與b的夾角為135，則ab_.(3)在直角坐標系xOy內，已知向量與x軸和y軸正向的夾角分別為120和30，則在x軸、y軸上的投影的數量分別為_和_答案(1)(2)8(3)|題型一 兩個向量的夾角例1已知向量a，b的夾角為60，試求下列向量的夾角：(1)a，b；(2)2a，b.解如圖，由向量夾角的定義可知：(1)向量a，b的夾角為120.(2)向量2a，b的夾角為60.金版點睛(1)向量的夾角是針對非零向量定義的(2)注意區(qū)別向量的夾角和直線的夾角，兩者的范圍不同，前者是0，180，后者是0，90(3)按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角，如圖所示，BAC不是向量與的夾角，作，則BAD才是向量與的夾角已知向量a與b的夾角為60且|b|a|，求ab與a的夾角解如圖，作a，b，則BOA60，連接BA，則ab.取OA的中點D，連接BD，|b|a|，ODOBBDDA，BDO602BAO，BAO30.ab與a的夾角為30.題型二 向量的數量積定義例2已知|a|5，|b|2，若：(1)ab；(2)ab；(3)a與b的夾角為30.分別求ab.解(1)當ab時，若a與b同向，則它們的夾角為0，ab|a|b|cos052110；若a與b反向，則它們的夾角為180，ab|a|b|cos18052(1)10.(2)當ab時，則它們的夾角為90，ab|a|b|cos905200.(3)當a與b的夾角為30時，ab|a|b|cos30525.金版點睛求平面向量的數量積的一般步驟及注意事項(1)確定向量的模和夾角，根據定義求出數量積(2)a與b垂直當且僅當ab0.(3)非零向量a與b共線當且僅當ab|a|b|.已知|a|4，|b|5，向量a與b的夾角，求ab.解ab|a|b|cos4510.題型三 向量在直線上的投影例3已知直線l，(1)向量|4，l60，求在l上的投影的數量OA1；(2)向量|4，l90，求在l上的投影的數量OB1；(3)向量|4，l120，求在l上的投影的數量OC1.解(1)OA14cos6042；(2)OB14cos90400；(3)OC14cos12042.金版點睛對向量在直線上的投影的理解從定義上看，向量b在直線上的投影是一個向量，其在直線上的投影的數量可正、可負、可為零(1)當時，該數量為正實數(2)當時，該數量為負實數(3)當0時，該數量為|b|.(4)當時，該數量為|b|.注意：此處b為非零向量(5)當時，該數量為0.已知|a|8，e為單位向量，當它們的夾角為時，a在e方向上的投影的數量為()A4B4C4D8答案B解析因為a在e方向上的投影的數量為|a|cos4，故選B.題型四 向量數量積的幾何意義例4已知|b|3，a在b方向上的投影的數量是，則ab為()A3B.C2D.解析ab|a|b|cos|b|a|cos3.答案B金版點睛利用向量數量積的幾何意義求兩向量的數量積需明確兩個關鍵點：相關向量的模和一個向量在另一向量方向上的投影的數量代入向量數量積的公式即可已知ab16，若a在b方向上的投影的數量為4，則|b|_.答案4解析設a與b的夾角為，ab16，|a|b|cos16.又a在b方向上的投影的數量為4，|a|cos4，|b|4.1已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b上的投影的數量為()A.B3C4D5答案A解析設a與b的夾角為，則向量a在b上的投影的數量為|a|cos.2已知|a|4，|b|2，當它們之間的夾角為時，ab()A4B4C8D8答案B解析根據向量數量積的定義得ab|a|b|cosa，b42cos4.3設e1，e2是兩個平行的單位向量，則下面的結果正確的是()Ae1e21Be1e21C|e1e2|1D|e1e2|1答案C解析當e1，e2同向時，e1e2|e1|e2|cose1，e211cos01，當e1，e2反向時，e1e2|e1|e2|cose1，e211cos180