20.21.22.23.24屆大學(xué)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽.doc

中國(guó)石油大學(xué)（華東）第二十一屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷 2007年6月10日一、填空題（每小題5分，本題共50分）：1. 若時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則.解題過程是：2. .解題過程是：3. 曲線，漸近線的條數(shù)為： . 解題過程是：4. .5. 微分方程 .6. 7. 解題過程是：8. 設(shè)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，則= .解題過程是：9. = .10. 設(shè)曲線， 二、計(jì)算題（每小題6分，本題共42分）：2. 設(shè)，計(jì)算曲面積分6. 設(shè)曲面，計(jì)算曲面積分.解題過程是：三、證明題（本題8分）：第二十屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷 2006年6月4日一、填空題（每小題5分，本題共50分）：1. 若時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則.2. .3. 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則.4. .5. . 7. 8. 9. 10. 設(shè)在上半平面內(nèi)，函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的都有.對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，則.二、計(jì)算題（每小題6分，本題共42分）：2. 設(shè)是錐面的下側(cè)，計(jì)算曲面積分.三、證明題（本題8分）：第二十二屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷 2008年6月8日一、填空題（每小題5分，本題共50分）：1. .2. .3. ，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為： . 4. 5.6. . 8. .9. .10. 二、計(jì)算題（每小題6分，本題共42分）：2. .3. 5. 6.設(shè)S是以L為邊界的光滑曲面，試求可微函數(shù)使曲面積分與曲面S的形狀無關(guān).7. 設(shè)一球面的方程為，從原點(diǎn)向球面上任一點(diǎn)Q處的切平面作垂線，垂足為點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)Q在球面上變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡形成一封閉曲面S，求此封閉曲面S所圍成的立體的體積.三、證明題（本題8分）：第二十三屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷2009年6月7日一、填空題（每小題4分，本題共20分）：1_2設(shè)在處連續(xù)，則_3 4設(shè)L為橢圓，其周長(zhǎng)記為，則.12a5設(shè)的方程是，則二、選擇題（每小題4分，本題共20分）：1若連續(xù)，且，則（A）2若可導(dǎo)，且在的某鄰域內(nèi)有則（A）3設(shè)且可導(dǎo)，則（D） （A）0 （B） （C） （D）4.設(shè)為曲線和直線所圍成的區(qū)域整個(gè)邊界，沿逆時(shí)針方向，則曲線積分( B ).(A) (B) (C) (D)5設(shè)函數(shù)連續(xù)，區(qū)域，則（） 三、計(jì)算下列各題1。（本題8分）如圖，是兩個(gè)逐段線性的連續(xù)函數(shù)，設(shè)，求 2（本題8分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，求3（本題8分）設(shè)函數(shù)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，它在上的圖形為分段直線，是線性函數(shù)，求。4. （本題9分）如圖，曲線C的方程為，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4). 設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分5. （本題9分）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)處可微，又 其中 ，求6. （本題9分）計(jì)算其中為正的常數(shù)，L為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的?。ㄈ鐖D）. 7（本題9分）證明：由及軸所圍的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(密度=1)為.其中是連續(xù)的正值函數(shù).第二十四屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷2010年6月6日一、填空題（每小題4分，本題共20分）： 1、 。2、設(shè)，則= 。3、設(shè)L為沿拋物線y=x2上從點(diǎn)(1，1)到點(diǎn)(2，4)的一段曲線弧，則對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 可化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分_ _，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的連續(xù)函數(shù)。 4、設(shè)，則= 。5、 。二、選擇題（每小題4分，本題共20分）：1、( ) 2、 ( )3、方程的根的個(gè)數(shù) ( ) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 34、若曲線在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的切線與平面交角的正弦值是( )(A)(B)(C)0(D)15、設(shè)C表示橢圓，其方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，則曲線積分( ) (A) ab(B) 0(C) a+b2(D) ab2三、計(jì)算下列各題（每小題7分，本題共42分）：1、設(shè)二階連續(xù)可微，且，試確定，使曲線積分與路徑無關(guān)。2、計(jì)算表達(dá)式 3、設(shè)，計(jì)算積分4、設(shè)連續(xù)，且滿足，計(jì)算積分5、 計(jì)算二重積分，其中D是由直線及上半圓周所圍成的區(qū)域.6、 計(jì)算，其中L是圓周沿正向從點(diǎn)到點(diǎn)的一段圓弧.四證明題：（每小題6分，本題共18分）：1、設(shè)在0，1上連續(xù)，且。證明在