關于動態(tài)ADL的課件.docx

動態(tài)回歸與誤差修正模型本章假定變量具有平穩(wěn)性，第6章將把誤差修正模型的應用向非平穩(wěn)變量擴展。5.1均衡與誤差修正機制均衡指一種狀態(tài)。達到均衡時將不存在破壞均衡的內(nèi)在機制。這里只考慮平穩(wěn)的均衡狀態(tài)，即當系統(tǒng)受到干擾后會偏離均衡點，而內(nèi)在均衡機制將努力使系統(tǒng)重新回到均衡狀態(tài)。下面通過一個例子說明系統(tǒng)均衡概念。以兩個地區(qū)某種商品的價格為例，假設地區(qū)A中該商品物價由于某種原因上升時，該商品就會通過批發(fā)商從價格低的B地區(qū)向價格高的A地區(qū)流動。從而使批發(fā)商從中獲利。這種活動將直接導致該商品在B地區(qū)的需求增加，從而使該商品在B地區(qū)的價格上漲。從A地區(qū)看，由于增加了該商品的供給，則導致價格下降，反過來的情形也是一樣，從而使兩各地區(qū)的該商品價格越來越接近。用該兩個地區(qū)的價格數(shù)據(jù)繪制一張平面圖，價格A=價格B的直線表示此問題的均衡狀態(tài)。如上所述，當價格離開這條直線后，市場機制這只無形的“手”就會把偏離均衡點的狀態(tài)重新拉回到均衡狀態(tài)。隨著時間推移，無論價格怎樣變化，兩個地區(qū)的價格都保持一致。若兩個變量xt,yt永遠處于均衡狀態(tài)，則偏差為零。然而由于各種因素的影響，xt,yt并不是永遠處于均衡位置上，從而使ut0，稱ut為非均衡誤差。當系統(tǒng)偏離均衡點時，平均來說，系統(tǒng)將在下一期移向均衡點。這是一個動態(tài)均衡過程。本期非均衡誤差ut是yt下一期取值的重要解釋變量。當ut0時，說明yt相對于xt取值高出均衡位置。平均來說，變量yt在T+1期的取值yt+1將有所回落。所以說ut=f(yt,xt)具有一種誤差修正機制。當然這種均衡不意味著一定是1比1的關系。例如中國宏觀消費比問題。5.2“一般到特殊”建模法分布滯后模型：如果回歸模型中不僅包括解釋變量的本期值，而且包括解釋變量的滯后（過去）值，則這種回歸模型稱為分布滯后模型。例bxyt=a0+ni=0it-i+ut,utIID(0,s2)(5.1)而是在這些回歸系數(shù)的和式，i=0bi上。通過這個和式可以了解當xt變化時，對yt產(chǎn)生的長上述模型的一個明顯問題是xt與xt-1,xt-2,xt-n高度相關，從而使bj的OLS估計值很不準確。實際上對于分布滯后模型，這并不是一個嚴重問題，因為人們的注意力并不在單個回歸系數(shù)上，n期影響。盡管對每個bj估計得不很準確，但這些估計值的和卻是相當精確的。看下式Var(bi)=Var(bi)+2Cov(bi,bk),ni=0i=0i=0k=0nni-1(5.2)若xt-i與xt-k,(ik)是正相關的（實際中常常如此），則（5.2）式中的協(xié)方差項通常是負的。當這些項的值很大（絕對值）且為負時，Var(i=0bi)比i=0Var(bi)小，甚至比每個nnVar(bi)還小。分布滯后模型中的解釋變量存在高度相關，克服高度相關的一個方法是在等號右側加一個被解釋變量的滯后項（回顧第2章的可逆性）。動態(tài)模型(自回歸模型)：如果在回歸模型的解釋變量中包括被解釋變量的一個或幾個滯后值，則稱這種回歸模型為動態(tài)模型(或自回歸模型)。例1yt=a0+a1yt-1+b1xt+ut動態(tài)分布滯后模型：如果在分布滯后模型中包括被解釋變量的若干個滯后值作解釋變量，則稱之為動態(tài)分布滯后模型或自回歸分布滯后模型。例byt=a0+mi=1aiyt-i+pnj=1i=0jixjt-i+ut,utIID(0,s2)(5.3)用ADL(m,n,p)表示，其中m是自回歸階數(shù)，n是分布滯后階數(shù)，p是外生變量個數(shù)。對ADL(m,n,p)模型可采用OLS法估計，參數(shù)估計量是有偏的，但具有一致性。以簡單自回歸模型yt=byt-1+ut,|b|1,utIID(0,s2),(5.5)為例，模型滿足ytI(0)；隨著T，yt-1與ut相互獨立；E(utyt-1)=0；yt具有非零的有限的4階矩。b的OLS估計量計算公式是b=ytyt-1yt-12.Tt=2把(5.5)式代入(5.6)式得Tt=2(5.6)(byyyyb=Tt=2Tt=2t-1+ut)yt-12t-1=bTt=2Tyt-12+t=2T2t-1t=2t-1ut=b+yt-1utyt-12.Tt=2Tt=2(5.7)yt-1與ut是相關的。上式右側第二項的期望不為零。所以，用OLS法得到的回歸系數(shù)估計量是有偏估計量。若對(5.7)式右側第二項的分子分母分別除以（T-1）（樣本容量）并求概率極限，yt-1utt=2yt-1plim(T-1)t=2plimb=b+Tplim(T-1)-1T-12TTT=b(5.8)可見b也是一致估計量。最常見的是ADL(1,1)和ADL(2,2)模型，yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut,utIID(0,s2),(5.9)和yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+b0xt+b1xt-1+b2xt-2+ut,utIID(0,s2)對于ADL(1,1)模型(5.9)，xt和yt的長期關系是b+b1yt=a01-a1+01-a1xt=q0+q1xt,(5.10)2上式稱作靜態(tài)模型，參數(shù)稱作靜態(tài)參數(shù)或長期參數(shù)。長期參數(shù)描述變量之間的均衡關系。動態(tài)模型(5.9)中的參數(shù)稱作動態(tài)參數(shù)或短期參數(shù)。短期參數(shù)描述變量通向均衡狀態(tài)過程中的非均衡關系。通過對a0,b0和b1施加約束條件，從ADL模型（5.9）可以得到許多特殊的經(jīng)濟模型。下面以9種約束條件為例，給出特定模型如下：（1）當a1=b1=0成立，摸型（5.9）變?yōu)閥t=a0+b0xt+ut.(5.11)這是一個靜態(tài)回歸模型。（2）當b0=b1=0時，由模型（5.9）得yt=a0+a1yt-1+ut.(5.12)這是一階自回歸模型。（3）當a1=b0=0時，則有yt=a0+b1xt-1+ut.(5.13)xt-1是yt的超前指示變量。此模型稱為前導模型。（4）當約束條件是a1=1，b1=-b0時，（5.9）式變?yōu)镈yt=a0+b0Dxt+ut.(5.14)這是一個一階差分模型。當xt與yt為對數(shù)形式時，上述模型為增長率模型。（5）若a1=0成立，模型（5.9）則變?yōu)橐浑A分布滯后模型。yt=a0+b0xt+b1xt-1+ut.(5.15)(6)取b1=0，則模型（5.9）變?yōu)闃藴实木植空{(diào)整模型（偏調(diào)整模型）。yt=a0+a1yt-1+b0xt+ut.(5.16)(7)當b0=0時，由模型（5.9）得yt=a0+a1yt-1+b1xt-1+ut.(5.17)模型中只有變量的滯后值作解釋變量，yt的值僅依靠滯后信息。這種模型稱為“盲始”模型。（8）給定b1=-a1，模型（5.9）化簡為yt=a0+a1(yt-1-xt-1)+b0xt+ut(5.18)此模型稱為比例響應模型。解釋變量為xt與(yt-1-xt-1)。以上所列舉的例子說明實際上許多有特殊經(jīng)濟意義的模型都是由一個一般的ADL模型化簡得到的。這種建立模型的方法是首先從一個包括了盡可能多解釋變量的“一般”ADL模型開始，通過檢驗回歸系數(shù)的約束條件逐步剔除那些無顯著性變量，壓縮模型規(guī)模，（在這個過程中要始終保持模型隨機誤差項的非自相關性。）最終得到一個簡化（或“特殊”）的模型。這種方法稱為“一般到特殊”建模法。也稱作亨德里（Hendry）建模法。關于檢驗約束條件是否成立的方法將在5.4節(jié)討論。在1.5節(jié)中曾討論，模型若丟失重要解釋變量將導致回歸系數(shù)的OLS估計量喪失無偏性和一致性?！耙话愕教厥狻苯７ǖ闹饕獌?yōu)點是能夠把由于選擇變量所帶來的設定誤差減到最小。因為在初始模型中包括了許多變量，所以不會使回歸系數(shù)的OLS估計量存在丟失變量誤差。雖然因為在初始模型中包括了許多非重要解釋變量，從而使回歸參數(shù)估計量缺乏有效性，但隨著3檢驗約束條件的繼續(xù)，那些非重要的解釋變量被逐步剔除掉，從而使估計量缺乏有效性的問題得到解決。5.3誤差修正模型（ECM）誤差修正模型由Sargan1964年提出，最初用于存儲模型。1977年由Hendry-Anderson和Davidson完善。ECM模型由ADL(m,n,p)模型變換而來。下面通過ADL(1,1)模型推導簡單的ECM模型。有yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut,|a1|1,utIID(0,s2),(5.25)其中ut應不存在自相關和異方差。如果這個條件不能滿足，可通過增加xt和yt的滯后項或加入新的變量從而使ut滿足要求。從上式兩側同時減yt-1，在右側同時加減b0xt-1得，Dyt=a0+b0Dxt+(a1-1)yt-1+(b0+b1)xt-1+ut(5.26)上式右側第三、四項合并，Dyt=a0+b0Dxt+(a1-1)(yt-1-k1xt-1)+ut(5.28)其中k1=(b0+b1)/(1-a1)。在上述變換中沒有破壞恒等關系，所以不會影響模型對樣本數(shù)據(jù)的解釋能力，也不會改變OLS估計量的性質。上式稱為ECM模型，(a1-1)(yt-1-k1xt-1)稱為誤差修正項。(yt-1-k1xt-1)表示前一期的非均衡誤差，由(5.25)式知，若yt平穩(wěn)，必有|a|1，所以非均衡誤差項的系數(shù)(a1-1)必為負。說明誤差修正項對Dyt有一個反向修正作用。當前一期yt，即yt-1相對于均衡點取值過高（低）時，通過誤差修正項的反向修正作用，使本期Dyt減?。ㄔ黾樱瑈t向均衡位置移動。(a1-1)表示誤差修正項對Dyt的調(diào)節(jié)速度。進一步變換(5.28)式Dyt=b0Dxt+(a1-1)(yt-1-k0-k1xt-1)+ut(5.29)(其中k0=a0/(1-a1)。yt-1-k0-k1xt1)是xt和yt的常期關系，Dyt=b0Dxt+(a1-1)()是xt和yt的短期關系。(10)當約束條件a1+b0+b1=1成立時，模型（5.29）變?yōu)镈yt=b0Dxt+(a1-1)yt-1-k0-xt-1+ut，(5.31)這是一個k1=1的特殊誤差修正模型。ECM模型有如下特點：上述模型中的Dyt，Dxt和非均衡誤差項都是平穩(wěn)的。應用最小二乘法估計模型時，參數(shù)估計量都具有優(yōu)良的漸近特性。在第6章可以看到，即使變量是非平穩(wěn)的，只要存在協(xié)積關系，誤差修正模型也不會存在虛假回歸問題。誤差修正模型中既有描述變量長期關系的參數(shù)，又有描述變量短期關系的參數(shù)；既可研究經(jīng)濟問題的靜態(tài)（長期）特征又可研究其動態(tài)（短期）特征。誤差修正模型中的變量不存在多重共線性問題。ut是非自相關的。如果ut是自相關的，可在模型中加入Dyt和Dxt的足夠多滯后項，從而消除ut的自相關。同時相應加大誤差修正項的滯后期。建模過程中允許根據(jù)t檢驗和F檢驗剔除ECM模型中的差分變量。在ECM模型中剔除差分變量，相當于在原ADL模型中施加一個約束條件。例如剔除差分變量Dxt，相當于在原ADL(1,1)模型中施加約束條件，b0=0。在非均衡誤差項中剔除任何水平滯后變量都是危險的，這將影響長期關系的表達。ECM模型中的k0,k1未知，ECM模型不能直接被估計。估計方法是若變量為平穩(wěn)4變量或者為非平穩(wěn)變量但存在長期均衡關系，可以把誤差修正項的括號打開，對模型直接用OLS法估計。先估計長期均衡關系，然后把估計的非均衡誤差作為誤差修正項代入ECM模型，并估計該模型。5.4動態(tài)模型的若干檢驗方法在用“一般到特殊”方法建立模型時的，首先應對初始模型（即對回歸參數(shù)不加任何約束的動態(tài)分布滯后模型）的隨機誤差項進行異方差和自相關檢驗。對模型的其他檢驗都應建立在隨機誤差項是一個白噪聲序列的基礎之上。在檢驗約束條件是否成立的過程中逐步剔除不顯著變量，化簡模型，同時還要保持模型隨機誤差項的非自相關性和同方差性不被破壞。在這個過程中要用到許多統(tǒng)計量。下面介紹一些常用的檢驗方法。1F檢驗把樣本數(shù)據(jù)取對數(shù)后建立回歸模型，隨機誤差項一般不會存在異方差。對于隨機誤差項的一階自相關檢驗可用DW統(tǒng)計量完成。對于ADL模型（5.9），約束條件（5），（6），（7）和（10），即a1=0，b1=0，b0=0和a1+b0+b1-1=0（見5.2和5.3節(jié)）的是否成立可用t檢驗完成。如果t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值，則相應約束條件不成立，相應解釋變量不能輕易地從模型中剔除掉。否則接受相應約束條件，從模型中剔除相應解釋變量。對于聯(lián)合線性約束條件（1），（2），（3）和（4）（見5.2節(jié)）可用F檢驗完成。假定模型誤差項服從正態(tài)分布，共有m個線性約束條件，則所用統(tǒng)計量是F=(SSEr-SSEu)/mSSEu/(T-k)(5.45)其中SSEr表示施加約束條件后估計模型的殘差平方和，SSEu表示未施加約束條件的估計模型的殘差平方和，m表示約束條件個數(shù)，T表示樣本容量，k表示未加約束的模型中被估參數(shù)的個數(shù)。在零假設“約束條件真實”條件下，F(xiàn)F(m,Tk)因為兩個模型都是用OLS法估計的，所以可把被解釋變量的總平方和（SST）分解為回歸平方和(SSR)與誤差平方和（SSE）兩部分。對于不加約束的模型有SST=SSRu+SSEu.對于施加約束條件的模型有，SST=SSRr+SSEr.如果約束條件成立，那么在施加約束條件下求到的SSEr不會比不加約束條件的SSEu大很多，用樣本計算的F值不會很大。若F值小于臨界值，則約束條件是可接受的（真實的）。否則應該拒絕零假設。注意，F(xiàn)檢驗的零假設是m個約束條件同時為零，備擇假設是m個約束條件不同時為零。所以拒絕零假設并不排除有部分約束條件為零。應利用t檢驗進一步對每一個參數(shù)進行顯著性判別。比如對ADL模型（5.9）檢驗聯(lián)合約束條件a1=b1=0，則（5.9）式為無約束模型，(5.11)式為約束模型。yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut,utIID(0,s2),（無約束模型）(5.9)yt=a0+b0xt+ut.（約束模型）(5.11)用SSEu和SSEr分別表示對（5.9）和（5.11）式進行OLS估計得到的SSE，F(xiàn)統(tǒng)計量按下式計算F=(SSEr-SSEu)/2SSEu/(T-4)5其中2表示約束條件個數(shù)，T表示樣本容量，4表示無約束模型（5.9）中被估參數(shù)個數(shù)。判別規(guī)則是，若FFa(2,T-4)，則拒絕兩個約束條件同時成立。例：（file:b1c4）中國國債發(fā)行額模型首先分析中國國債發(fā)行額序列的特征。1980年國債發(fā)行額是43.01億元（占GDP的1%），2001年國債發(fā)行額是4604億元（占GDP的4.8%）。以當年價格計算，21年間（1980-2001）增長了106倍。平均年增長率是24.9%。5000DEBT400030002000100008082848688909294969800中國當前正處在社會主義市場經(jīng)濟逐步完善，宏觀經(jīng)濟平穩(wěn)運行的階段。國債發(fā)行總量（DEBTt，億元）應該與經(jīng)濟總規(guī)模，財政赤字的多少，每年的還本付息能力有關系。選擇3個解釋變量，國內(nèi)生產(chǎn)總值（百億元），財政赤字額（億元），年還本付息額（億元），根據(jù)散點圖建立中國國債發(fā)行額（DEBTt，億元）模型如下：DEBTt=b0+b1GDPt+b2DEFt+b3REPAYt+ut其中GDPt表示年國內(nèi)生產(chǎn)總值（百億元），DEFt表示年財政赤字額（億元），REPAYt表示年還本付息額（億元）。用1980-2000年數(shù)據(jù)得輸出結果如下；DEBTt=4.38+0.34GDPt+1.00DEFt+0.88REPAYt(5.46)(0.2)(2.1)(26.6)(17.2)R2=0.9986,DW=2.12,T=21,(1980-2000),SSE=48447.75用F統(tǒng)計量檢驗是否可以對上式施加約束GDPt和DEFt的系數(shù)b1=0，b2=0。給出約束模型估計結果如下，DEBTt=104.85+1.63REPAYt(5.47)(0.8)(12.4)R2=0.89,DW=0.7,T=21,(1980-2000),SSE=3772378F=(SSEr-SSEu)/mSSEu/(T-k)=(3772378-48447.75)/248447.75/(21-4)=653.35因為F=653.35F0。05(2,17)，約束條件不成立，不應在模型中刪除變量GDPt和DEFt。附錄：EViews操作（1）：在(11.7)式窗口中點擊View，選CoefficientTests,Wald-coefficientRestrictions功能（Wald參數(shù)約束檢驗），在隨后彈出的對話框中填入?yún)?shù)約束條件。對應（5.46）式的EViews命令是c(2)=c(3)=0相當于刪除變量GDP，DEF。點擊OK鍵，可得如下檢驗結果。6EViews操作（2）：在(5.46)式窗口中點擊View，選CoefficientTests,RedundantVariables-LikelihoodRatio功能（模型中是否存在多余的不重要解釋變量），在隨后彈出的對話框中填入擬剔除的解釋變量GDP，DEF。也可得到如下結果。EViews操作（3）：在(5.47)式窗口中點擊View，選CoefficientTests,OmittedVariables-LikelihoodRatio功能（模型中是否丟了重要的解釋變量），在隨后彈出的對話框中填入擬加入的解釋變量GDP，DEF。也可得到如上結果。2似然比（LR）檢驗以上介紹的t檢驗和F檢驗只適用于對線性約束條件的檢驗。對于5.2節(jié)中的約束條件（9），a1b0+b1=0，則無法用t或F檢驗完成。下面介紹三種常用的檢驗方法，即似然比（LR）檢驗，沃爾德（W）檢驗和拉格朗日（lagrange）乘數(shù)（LM）檢驗。這三種檢驗所用統(tǒng)計量都是利用極大似然估計法計算的。LR檢驗由內(nèi)曼皮爾遜（Neyman-Pearson1928）提出，只適用于對線性約束的檢驗。W檢驗和LM檢驗既適用于對線性約束條件的檢驗，也適用于對非線性約束條件的檢驗。首先介紹LR檢驗。LR檢驗的基本思路是如果約束條件成立則相應約束模型與非約束模型的極大似然函數(shù)值應該是近似相等的。用b,s2)=-Tlog2ps2-tlogL(e222s(5.53)表示非約束模型的極大似然函數(shù)。其中b和s2分別是對b（參數(shù)集合），s2的極大似然估計。用logL(b,s2)=-T2log2ps2-et2s2(5.54)表示約束模型的極大似然函數(shù)。其中b和s2分別是對b和s2的極大似然估計。定義似然比LR=-2logL(b,s2)-logL(b,s2)(5.55)（LR）統(tǒng)計量為中括號內(nèi)是兩個似然函數(shù)之比（似然比檢驗由此而得名）。在零假設約束條件成立條件下LRc2(m)(5.56)其中m表示約束條件個數(shù)。用樣本計算LR統(tǒng)計量。判別規(guī)則是，7R2=0.89,DW=0.7,T=21,(1980-2000),logL(,)=-156.834b2sLR=-2logL(,)-logL(,)=-2(-156.834+111.1068)=91.4544b2sb2s型，上式必變化為yt=b1x1t+b2(x2t+x3t)+vt，所以對約束估計量和來說，必然有-2b3b2b=0。如果約束條件成立，則無約束估計量-也應該近似為零。如果約束條件不成立，bbb若LRc2a(m),則拒絕零假設，約束條件不成立。再看前面的例子，（5.9）式為無約束模型。（5.11）式為約束模型。yt=a0+a1yt-1+b0xt+b1xt-1+ut,utIID(0,s2),（無約束模型）(5.9)yt=a0+b0xt+ut（約束模型）(5.11)約束條件為a1=b1=0。在零假設成立條件下，LRc2(2).LR統(tǒng)計量只適用于對線性約束條件的檢驗。對非線性約束條件應該采用如下兩種檢驗方法。例：（file:b1c4）中國國債發(fā)行額模型用1980-2000年數(shù)據(jù)分別得到非約束模型和約束模型的估計結果如下；DEBTt=4.38+0.34GDPt+1.00DEFt+0.88REPAYt(5.46)(0.2)(2.1)(26.6)(17.2)R2=0.9986,DW=2.12,T=21,(1980-2000),logL(b,s2)=-111.1068用F統(tǒng)計量檢驗是否可以對上式施加約束GDPt和DEFt的系數(shù)b1=0，b2=0。給出約束模型估計結果如下，DEBTt=104.85+1.63REPAYt(5.47)(0.8)(12.4)因為LR=91.4544c20.05(2)=5.99，約束條件不成立，不應在模型中刪除變量GDPt和DEFt。3W檢驗（見書，EViews中有）W檢驗的優(yōu)點是只需估計無約束模型。當約束模型的估計很困難時，此方法尤其適用。W檢驗由沃爾德（Wald1943）提出，適用于線性與非線性約束條件的檢驗。W檢驗的原理是測量無約束估計量與約束估計量之間的距離。先舉一個簡單例子。比如對模型yt=b1x1t+b2x2t+b3x3t+vt,(5.46)檢驗線性約束條件b2=b3是否成立。W檢驗只需對無約束模型(5.46)進行估計，因為對約束模323則無約束估計量b2-b3應該顯著地不為零。關鍵是要找到一個準則，從而判斷什么是顯著地不為零。首先需要知道（b2-b3）的抽樣分布。依據(jù)經(jīng)典回歸的假定條件，（b2-b3）服從均值為（b2-b3），方差為Var(b2-b3)的正態(tài)分布。通常Var(b2-b3)是未知的，使用的是Var(b2-b3)的樣本估計量，定義W統(tǒng)計量為，8W=(b2-b3)Var(b2-b3)N(0,1)（問題Var(b2-b3)怎樣計算？）其中f(b)表示由約束條件組成的(m1)階的列向量。用b表示施加約束條件后對參數(shù)集合b1,b2,bk的估計。若把b代入上式，則上式一定成立。當把無約束估計值b代入上式時，在約束條件成立條件下，W漸近服從N(0,1)分布。假定若干約束條件是以聯(lián)合檢驗的形式（m個約束條件）給出，f(b)=0,(5.57)通常上式不會成立。W統(tǒng)計量定義如下，W=f(b)Var(f(b)-1f(b)(5.58)其中f(b)是用b代替b后的f(b)表達式，Var(f(b)是f(b)的估計的方差協(xié)方差矩陣（(mm階）。計算公式如下：Var(f(b)=(f(b)b)(Var(b)(f(b)b)(5.59)其中f(b)b表示f(b)用無約束估計量b代替后的偏導數(shù)矩陣，是mk階的，其中第i行第j列位置上的元素表示第i個約束條件對第j個無約束估計量的偏導數(shù)值。Var(b)是b的估計的方差協(xié)方差矩陣（kk階）。Var(f(b)是mm階的。在約束條件成立條件下，W=f(b)Var(f(b)1f(b)漸近服從c2(m)分布。W=f(b)Var(f(b)-1f(b)c2(m)其中m表示被檢驗的約束條件的個數(shù)，判別規(guī)則是，若Wc2a(m)，則拒絕零假設，約束條件不成立。舉一個非線性約束的例子如下。假定對模型yt=b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut（5.46）檢驗約束條件b1b2=b3是否成立。用b1,b2和b3分別表示b1，b2和b3的非約束估計量。b1,b2和b3既可以是極大似然估計量，也可以是最小二乘估計量。因為對于本例f(b)只含有一個約束條件，所以改用f(b)表示，有f(b)=b1b2-b3(5.60)f(b)b=(f(b)b1f(b)b2f(b)b3)=(b2b1-1),(5.61)9Var(b)Cov(b1b2)Var(b)=Cov(b1b2)Var(b2)Cov(b1b3)Cov(b2b3)Cov(b2b3),Var(b3)1Covb1b3)(5.62)和-1)Var(b)b1,-1Var(f(b)=(b2b1b2根據(jù)（5.58）式，W統(tǒng)計量的具體表達式是，b)bb1-1W=(b2b1(b1b2-b3)2-1)Var(2.(5.63)在零假設b1b2=b3成立條件下，W統(tǒng)計量近似服從c2(1)分布。案例1：（file:nonli12）臺灣制造業(yè)生產(chǎn)函數(shù)，Lnyt=b1+b2Lnxt1+b3Lnxt2+ut的估計結果以及三個回歸系數(shù)估計量的方差協(xié)方差矩陣如下，（xt1是勞動力，xt2是資本投入）Lnyt=-8.4+0.67Lnxt1+1.18Lnxt2(4.4)(3.9)R2=0.98,F=48.45,DW=1.3用W統(tǒng)計量檢驗b2/b3=0.5是否成立（a=0.05）。附錄：EViews操作：在回歸式窗口中點擊View，選CoefficientTests,Wald-CoefficientRestrictions功能。在彈出的對話框中填入c(2)=0.5*c(3)（即約束條件b2=0.5b3）。點擊OK鍵得概率大于0.05，說明統(tǒng)計量落在了零假設的接收域。結論是接受原假設（約束條件成立）。4LM乘數(shù)檢驗（見書，EViews中有）（LR、W、LM統(tǒng)計量的比較）。與W檢驗不同的是拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)（LM）檢驗只需估計約束模型。所以當施加約束條件后模型形式變得簡單時，更適用于這種檢驗。LM檢驗是由艾奇遜西爾維（Aitchison-Silvey1960）提出的。LM檢驗另一種表達式是由拉奧（Rao1948）提出的，稱為得分檢驗（scoretest）。首先給出非約束模型的對數(shù)似然函數(shù)10logL(b,s2)(5.64)對于非約束極大似然估計量bj必然有l(wèi)ogLbj=0,j(5.65)若約束條件成立，則施加約束條件下bj的極大似然估計量bj應與不施加約束條件下bj的極大似然估計量bj非常接近。也就是說logL/b應近似為零。LM檢驗的原理是如果logL/bjj顯著地不為零，則約束條件不成立。LM統(tǒng)計量定義為)(I(b)-1logLlogLLM=(bb()(5.66)是以（logL/bj）為元素組成的列向量，同時用bj替換了bj。I(b)稱為信息矩陣，其中l(wèi)ogLb其逆矩陣是bj的方差協(xié)方差矩陣。在約束條件成立條件下，LM近似服從c2(m)分布。LMc2(m),其中m表示約束條件個數(shù)。假定有兩個約束條件f1(b)=0和f2(b)=0。為求這兩個約束條件下的對數(shù)似然函數(shù)（5.64）的極大似然估計量，應按拉格朗日乘數(shù)法則建立如下函數(shù)，logL*=logL+l1f1(b)+l2f2(b),(5.67)其中l(wèi)1，l2為拉格朗日乘數(shù)，求解約束極值問題應對所有的j都滿足logL*/bj=0,即logL*bj=logLbj+l1f1(b)bj+l2f2(b)bj=0,j(5.68)由上式得logLbj=-l1f1(b)bj-l2f2(b)bj,j(5.69)當上式中的bj用bj代替后，如果顯著地不為零，則約束條件不成立。根據(jù)上式，只有當l1,l2束條件。因為（5.69）式是logL/bj的函數(shù)，所以稱其為拉格朗日乘數(shù)統(tǒng)計量。不為零時，logL/bj才顯著地不為零。所以判別規(guī)則是如果l1，l2顯著地不為零，則拒絕約對于線性回歸模型，通常并不是按（5.66）式，而是通過一個輔助回歸式計算LM統(tǒng)計量的值。LM統(tǒng)計量與輔助回歸式的可決系數(shù)R2有直接聯(lián)系，而輔助回歸式的形式直接與被檢驗的約束條件有關。LM檢驗的實際步驟如下：(1)利用約束模型確定LM輔助回歸式的因變量ut。用OLS法估計約束模型，計算殘差序列ut，并把ut作為LM輔助回歸式的因變量。(2)利用非約束模型確定LM輔助回歸式的解釋變量。例如非約束模型如下式,yt=b0+b1x1t+b2x2t+bkxkt+ut.(5.70)11把上式改寫成如下形式ut=yt-b0-b1x1t-b2x2t-bkxkt.(5.71)則LM輔助回歸式中的解釋變量按如下形式確定。-utbj,j=0,1,k.對于非約束模型（5.70），LM輔助回歸式中的解釋變量是1,x1t,x2t,xkt。第一個解釋變量1表明常數(shù)項應包括在LM輔助回歸式中。(3)建立LM輔助回歸式如下ut=a0+a1x1t+a2x2t+akxkt+vt,(5.72)其中ut由第一步得到。(4)用OLS法估計上式并計算可決系數(shù)R2。(5)用第四步得到的R2計算LM統(tǒng)計量的值。LM=TR2其中T表示樣本容量。由于上式計算的LM的值與（5.66）定義的LM的值相等（證明略）。在零假設成立前提下，TR2服從m個自由度的c2(m)分布，LM=TR2c2(m)其中m表示約束條件個數(shù)。判別規(guī)則是，若LMc2a(m),則拒絕零假設，約束條件不成立。以模型（5.46）為例介紹用LM輔助回歸方法檢驗約束條件b2+b3=1。yt=b1x1t+b2x2t+b3x3t+vt,(5.46)檢驗約束b2+b3=1是否成立。當施加約束b2+b3=1時，上式變?yōu)椋瑈t=b1x1t+b2x2t+(1-b2)x3t+vt,(5.47)上式相對于（5.46）式為約束模型。若對（5.46）和（5.47）進行OLS估計，則會發(fā)現(xiàn)所得結果相同。yt=b1x1t+b2x2t+b3x3t(5.48)于是遇到參數(shù)不可識別問題。除非b2和b3存在準確的關系b2+b3=1，否則無法知道b3是對b3的估計還是對（1-b2）的估計。即便b2+b3=1真的成立，實際中也很難有b2+b3=1成立。為避免參數(shù)的不可識別性，可利用約束最小二乘法（RLS）進行估計。從（5.47）式兩側減去x3t得，yt-x3t=b1x1t+b2x2t-b2x3t+vt(5.49)令yt*=yt-x3t，x2t*=x2t-x3t，上式變?yōu)?，yt*=b1x1t+b2x2t*+vt,(5.50)第一步，用OLS法估計（5.50）式，并把得到的殘差序列vt作為LM輔助回歸的因變量。12變換（5.46）式得vt=yt-b1x1t-b2x2t-b3x3t.根據(jù)第二步，LM輔助回歸解釋變量是x1t,x2t和x3t。根據(jù)第三步，LM輔助回歸式是vt=a1x1t+a2x2t+a3x3t（原式中沒有b0，所以上式中沒有常數(shù)項。）計算可決系數(shù)R2。則LM=TR2c2(1).例：（file:nonli12）對臺灣制造業(yè)生產(chǎn)函數(shù)Lnyt=-8.4+0.67Lnxt1+1.18Lnxt2(4.4)(3.9)R2=0.89,F=48.45,DW=1.3,T=15用LM統(tǒng)計量檢驗b3=0是否成立。(1)用OLS法估計約束模型，計算殘差序列ut，Lnyt=2.16+1.24Lnxt1+ut(4.9)(17.6)R2=0.96,F=312并把ut作為LM輔助回歸式的因變量。(2)確定LM輔助回歸式的解釋變量。例如非約束模型如下式,Lnyt=b1+b2Lnx1t+b3Lnx2t+ut(29)把上式改寫成如下形式ut=Lnyt-b1-b2Lnx1t-b3Lnx2t(30)則LM輔助回歸式中的解釋變量按如下形式確定。-utbj,j=1,2,3對于非約束模型（30），LM輔助回歸式中的解釋變量是1,Lnx1