觀察最小二乘多項(xiàng)式不穩(wěn)定現(xiàn)象

觀察最小二乘多項(xiàng)式的數(shù)不穩(wěn)定現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)1實(shí)驗(yàn)任務(wù)1.1 在-1,1區(qū)間上取n=20個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，計(jì)算出以相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上的ex的值作為數(shù)據(jù)樣本，以1，x，x2，xl為基函數(shù)做出l=3,5,7,9次的最小二乘擬合多項(xiàng)式。1.2 畫出lncondA-l曲線，其中A是確定最小二乘多項(xiàng)式系數(shù)的矩陣。1.3 計(jì)算出不同階最小二乘多項(xiàng)式給出的最小偏差l。1.4 將基函數(shù)改為1，P1x，P2x，Plx，其中Pix是勒讓德多項(xiàng)式，結(jié)果如何？2實(shí)驗(yàn)原理與理論基礎(chǔ)2.1一般線性最小二乘擬合的法方程組為：0,0 0,1 0,n1,0 1,1 1,n n,0 n,1 n,na0a1an=0,y1,yn,y由于以1，x，x2，xl為基函數(shù)，所以i=xi ， i=0,1l。把i=xi ， i=0,1l代入一般線性最小二乘擬合的法方程組中可得多項(xiàng)式擬合的法方程組。2.2最小二乘擬合多項(xiàng)式的存在唯一性：定理1：設(shè)節(jié)點(diǎn)x0，x1，xn互異，則多項(xiàng)式擬合的法方程組的解存在唯一性。定理2：設(shè)a0，a1，an是多項(xiàng)式擬合的法方程組的解，則Pnx=k=0nakxk是最小二乘擬合多項(xiàng)式。2.3 矩陣A的條件數(shù)是cond(A)=AA-1。根據(jù)范式的不同矩陣的條件數(shù)也有3中，這里選取A為A的2-范式。2.4勒讓德多項(xiàng)式L0=1，L1=x ，Ln+1=2n+1n+1xLnx-nn+1Ln-1x，n13實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及實(shí)驗(yàn)結(jié)果1.基函數(shù)為1，x，x2，xl3.1在-1,1區(qū)間上取n=20個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，計(jì)算出以相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上的ex的值作為數(shù)據(jù)樣本。xi=-1+i*h，h=219，i=0，1，19yi=exi，i=0，1，193.2計(jì)算法方程組對應(yīng)得系數(shù)矩陣，及增廣矩陣。系數(shù)矩陣的的第i行，第j列的元素為ai,j=xi-1,xj-1=k=019xki-1*xkj-13.3求系數(shù)矩陣的條件數(shù)。cond(A)=AA-1。3.4化簡增廣矩陣為簡化行階梯型矩陣，得出法方程組的解。其中第一行是三階最小二乘多項(xiàng)式的系數(shù)，第二行是五階最小二乘多項(xiàng)式的系數(shù)等等。所以三階最小二乘多項(xiàng)式為：y=0.9955+0.9976x+0.5404x2+0.1770x3五階最小二乘多項(xiàng)式：y=1+x+0.4992x2+0.1665x3+0.0438x4+0.0087x5七階最小二乘多項(xiàng)式：y=1+x+0.5+0.1667+0.0416x4+0.0083x5+0.0014x6+0.00020457x7九階最小二乘多項(xiàng)式同樣代入系數(shù)可得。3.5 cond(A)的取值如下圖所示，分別是3,5,7,9,11,13,15階行列式對應(yīng)得A的條件數(shù)：畫出lncondA-l的曲線：分析lncondA-l的曲線可看出，隨著l增大，cond(A)迅速增大。這意味著當(dāng)l越大時(shí)，正規(guī)方程組的病態(tài)越嚴(yán)重。3.6計(jì)算出不同階最小二乘多項(xiàng)式給出的最小偏差l。l=i=019yxi-yi2，l=3,5,7,93=0.000313692373446139，5=2.24566107559548e-087=4.01160377773610e-13，9=2.25819731366317e-18可以看出隨著多項(xiàng)式階數(shù)的增大，其最小偏差在迅速減小。這似乎是和3.5中的結(jié)論“l(fā)越大時(shí)，正規(guī)方程組的病態(tài)越嚴(yán)重”相悖。3.7為了進(jìn)一步研究這個(gè)問題，我們?nèi)=3,5,7,9,11,13下圖是cond(A)的取值，分別是3,5,7,9,11,13,15階行列式對應(yīng)得A的條件數(shù)。 下圖是lncondA-l曲線，可以發(fā)現(xiàn)曲線走勢基本與l=3,5,7,9時(shí)確定的曲線走勢一致。計(jì)算11=7.5119e-24，13=9.90515e-23，15=3.4205e-21對比13，5，7，9的值我們可以得出結(jié)論，隨著擬合多項(xiàng)式次數(shù)的增大A的條件數(shù)迅速增大，確定最小二乘多項(xiàng)式的方程組的病態(tài)程度也隨之增加。這在偏差中反映出來的便是，剛開始時(shí)次數(shù)增大偏差減小，當(dāng)次數(shù)達(dá)到一定程度后，次數(shù)越大，偏差反而越大。2基函數(shù)為勒讓德多項(xiàng)式3.8把基函數(shù)改為勒讓德多項(xiàng)式組成的基函數(shù)：L0=1，L1=x ，Ln+1=2n+1n+1xLnx-nn+1Ln-1x，n1所以定義函數(shù)function out = L(n,x) if n=0 out=1; elseif n=1 out=x; else out=(2*n+1)/(n+1)*x*L(n-1,x)-n/(n+1)*L(n-2,x); endend3.9 用L(n,x)取代原程序中的 xn 求出最小二乘擬合函數(shù)的系數(shù)，其中第一行為三階最小二乘擬合函數(shù)的系數(shù)，第二行為五階最小二乘擬合函數(shù)的系數(shù)，等等每一行從左到右分別為a0，a1，al。把系數(shù)代入下式，即可得到各階最小二乘擬合函數(shù)。y=k=0lakLk(x)3.10 cond(A)的取值如下圖所示，分別是3,5,7,9,11,13,15階行列式對應(yīng)得A的條件數(shù)：作出畫出lncondA-l的曲線：可以看出以勒讓德多項(xiàng)式為基函數(shù)得到的法方程組的系數(shù)矩陣的條件數(shù)增長，相對于多項(xiàng)式擬合的法方程組的系數(shù)矩陣的條件數(shù)增長要緩慢得多。所以可以說隨著階數(shù)增長，以勒讓德多項(xiàng)式為基函數(shù)得到的法方程組的病態(tài)，相對于多項(xiàng)式擬合的法方程組的病態(tài)，不算嚴(yán)重。3.11計(jì)算出不同階最小二函數(shù)給出的最小偏差l。l=i=019yxi-yi2，l=3,5,7,93=0.49328797611472