二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)與推廣

二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)與推廣 倪致祥 科學(xué)發(fā)現(xiàn)系列講座 二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn) 通過探索 13世紀(jì)阿拉伯人已經(jīng)知道兩項(xiàng)和的n次方的展開結(jié)果 二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn) 為了便于看出規(guī)律 我們把它補(bǔ)充完整 二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn) 為了便于研究其中的規(guī)律 1544年Stifel把公式中字母的系數(shù)提取出來 稱為二項(xiàng)式系數(shù) 他發(fā)現(xiàn)其中每個(gè)數(shù)是其上方緊鄰兩數(shù)之和 用公式表示為 這個(gè)結(jié)果 中國數(shù)學(xué)家楊輝早在13世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)了 二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn) 通過進(jìn)一步研究 1654年P(guān)ascal發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律 即通項(xiàng)公式 1713年 Bernoulli對(duì)上面的公式給出了證明 二項(xiàng)式定理的推廣1 上面得到的結(jié)果只適用于指數(shù)為自然數(shù)的情況 能否把二項(xiàng)式定理推廣到非自然數(shù)的情況呢 1665年 牛頓對(duì)此進(jìn)行了研究 他考慮了已知的無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式 為了便于比較 我們把二項(xiàng)式定理改寫為 二項(xiàng)式定理的推廣1 經(jīng)過仔細(xì)比較 不難發(fā)現(xiàn)上式中取n 1時(shí) 自動(dòng)成為無窮遞縮等比數(shù)列求和公式 這說明二項(xiàng)式定理的新形式在n 1時(shí)也成立 這個(gè)結(jié)果有沒有一般性 牛頓大膽的猜想 二項(xiàng)式定理的新形式對(duì)于任意有理指數(shù)都是正確的 即 二項(xiàng)式定理的推廣1 這個(gè)猜想是否正確 牛頓對(duì)此進(jìn)行了驗(yàn)證 當(dāng)指數(shù)為1 2時(shí) 有 驗(yàn)證的結(jié)果與猜想一致 牛頓還對(duì)指數(shù)為1 3 2 3等情況進(jìn)行了驗(yàn)證 結(jié)果也與猜想一致 二項(xiàng)式定理的推廣1 然而 僅僅憑著有限的驗(yàn)證能夠保證結(jié)論的普遍正確性嗎 還要不要嚴(yán)格的證明 牛頓認(rèn)為這已經(jīng)足夠了 不需要進(jìn)一步證明 他也沒有給出證明 1811年 高斯對(duì)此進(jìn)行了嚴(yán)格的證明 結(jié)果表明牛頓的猜想是正確的 二項(xiàng)式定理在組合理論 開高次方 高階等差數(shù)列求和 以及差分法中有廣泛的應(yīng)用 現(xiàn)在 人們已經(jīng)把二項(xiàng)式定理推廣到了指數(shù)為任意的實(shí)數(shù) 甚至復(fù)數(shù)時(shí)的情況 二項(xiàng)式定理的推廣2 二項(xiàng)式定理給出了兩項(xiàng)和的n次冪的展開公式 有時(shí)我們也需要計(jì)算三項(xiàng)或多項(xiàng)和的n次冪 這時(shí)該怎么辦 最容易想到的辦法是多次應(yīng)用二項(xiàng)式定理 即先把后幾項(xiàng)合并成一項(xiàng) 應(yīng)用二項(xiàng)式定理 再對(duì)式子中出現(xiàn)的后幾項(xiàng)的冪進(jìn)行類似處理 例如 對(duì)于三項(xiàng)和的n次冪 可以如下計(jì)算 二項(xiàng)式定理的推廣2 具體寫出來是 二項(xiàng)式定理的推廣2 為了保持展開后的對(duì)稱性 我們把展開式寫成 二項(xiàng)式定理的推廣2 把公式中字母的系數(shù)提取出來經(jīng)過仔細(xì)觀察 我們發(fā)現(xiàn)上一三角形可以摞在下一三角形的上方 構(gòu)成一個(gè)正四面體 四面體中的每一個(gè)數(shù)等于其肩上三個(gè)數(shù)之和 二項(xiàng)式定理的推廣2 同樣的方法 我們可以得到四項(xiàng)和的n次冪的計(jì)算公式 二項(xiàng)式定理的推廣2 為了看出多項(xiàng)和n次冪的計(jì)算公式的一般規(guī)律 我們把前面得到的結(jié)果列在一起 二項(xiàng)式定理的推廣2 通過認(rèn)真觀察 我們不難發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律 1 展開式中各個(gè)字母的指數(shù)和為n 1 系數(shù)的分子都是n 分母為指數(shù)階乘之積 3 求和條件為各指數(shù)均非負(fù) 且和為n于是 我們可以把這些展開式統(tǒng)一表達(dá)為