小學(xué)五年級上期奧數(shù).doc

三年級上冊 第二講 速算與巧算（二）一、乘法中的巧算1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：52=10254=1001258=1000例1 計算123425 125282554解：式=123（425）=12310012300式=（1258）（254）（52）=100010010=10000002.分解因數(shù)，湊整先乘。例 2計算 2425 56125 1255325解：式=6（425）=6100=600式=78125=7（8125）=71000=7000式=1255485=（1258）（554）=1000100=1000003.應(yīng)用乘法分配律。例3 計算 17534175666712+67356752+6解：式=175（34+66）=175100=17500式=67（1235521） 671006700（原式中最后一項67可看成 671）例4 計算 123101 12399解：式=123（1001）=12310012312300123=12423式=123（100-1）=12300-123=121774.幾種特殊因數(shù)的巧算。例5 一個數(shù)10，數(shù)后添0；一個數(shù)100，數(shù)后添00；一個數(shù)1000，數(shù)后添000；以此類推。如：1510=15015100=150015100015000例6 一個數(shù)9，數(shù)后添0，再減此數(shù)；一個數(shù)99，數(shù)后添00，再減此數(shù)；一個數(shù)999，數(shù)后添000，再減此數(shù)； 以此類推。如：129120-12108129912001211881299912000-12=11988例7 一個偶數(shù)乘以5，可以除以2添上0。如：6530165801165=580。例8一個數(shù)乘以11，“兩頭一拉，中間相加”。如 2222112444224561127016例9 一個偶數(shù)乘以15，“加半添0”.2415（24+12）10360因為2415 24（10+5）24（10102）=2410+24102（乘法分配律）2410+24210（帶符號搬家）（24+242）10（乘法分配律）例10 個位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字（十位數(shù)字加1）100+25如1515=1（1+1）100+25=2252525=2（2+1）100+25=6253535=3（3+1）100+25=12254545=4（4+1）100+25=20255555=5（5+1）100+25=302565656（6+1）100+25=42257575=7（7+1）100+2556258585=8（8+1）100+25=722595959（9+1）100259025還有一些其他特殊因數(shù)相乘的簡便算法，有興趣的同學(xué)可參看算得快一書。二、除法及乘除混合運算中的巧算1.在除法中，利用商不變的性質(zhì)巧算商不變的性質(zhì)是：被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），商不變.利用這個性質(zhì)巧算，使除數(shù)變?yōu)檎?、整百、整千的?shù)，再除。例11 計算1105330025 44000125解：1105=（1102）（52）22010=22330025（33004）（25444000125=（440008）（1258）35200010003522.在乘除混合運算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號“搬家”。例12 86427548645427=1627=4323.當(dāng)n個數(shù)都除以同一個數(shù)后再加減時，可以將它們先加減之后再除以這個數(shù)。例13 13959 215-65209024-4822418712-6312-5212解：139+59=（135）9=1892215-65（21-6）5155=3209024-48224（2090-482）241608246718712-6312-5212（187-63-52）127212=64.在乘除混合運算中“去括號”或添“括號”的方法：如果“括號”前面是乘號，去掉“括號”后，原“括號”內(nèi)的符號不變；如果“括號”前面是除號，去掉“括號”后，原“括號”內(nèi)的乘號變成除號，原除號就要變成乘號，添括號的方法與去括號類似。即a（bc）=abc 從左往右看是去括號，a（bc）abc 從右往左看是添括號。a（bc）abc例14 1320500250400012585600（286）372162542997729（8181）解： 13205002501320（500250）=132022640400012584000（1258）4000100045600（286）=5600286=2006=120037216254=372（16254）37231242997729（8181）29977298181（299781）（72981）379333習(xí)題二一、用簡便方法求積：17100111252392399123451156789113615二、速算下列各題：1232544562125255482532125三、巧算下列各題：1500012515120025427000（1253）3604060四、巧算下列各題：11343195-9523411+23488三年級上冊 第三講 上樓梯問題有這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層上到四層需要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯了.正確的答案應(yīng)該是3分鐘。為什么是3分鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，而不是四層樓梯。下面我們來看幾個類似的問題。例1 裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個2米，用3天，我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1.因此，只要看16米里有幾個2米，問題就可以解決了。解：16米中包含2米的個數(shù)：162=8（個）剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7（天）答：第七天就可以剪去最后一段。例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少秒？可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)切了4段，實際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時間了，又由于用同樣的速度切成5段；實際上切了4次，這樣切成5段所用的時間就可以求出來了。解：切一次所用的時間：24（4-1）=8（秒）切5段所用的時間：8（5-1）=32（秒）答：用同樣的速度切成5段，要用32秒。例3三年級同學(xué)120人排成4路縱隊，也就是4個人一排，排成了許多排，現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊伍長多少米？解：因為每4人一排，所以共有：1204=30（排）30排中間共有29個間隔，所以隊伍長：129=29（米）答：這支隊伍長29米。例4 時鐘4點鐘敲4下，12秒鐘敲完，那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？分析 如果盲目地計算：124=3（秒）， 36=18（秒），認為敲6下需要18秒鐘就錯了.請看下圖：時鐘敲4下，其間有3個間隔，每個間隔是：123=4（秒）；時鐘敲6下，其間共有5個間隔，所用時間為：45=20（秒）。解：每次間隔時間為：12（4-1）=4（秒）敲 6下共用的時間為：4（6-1）20（秒）答：時鐘敲6下共用20秒。例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開，如從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？分析 要求還需要多少秒才能到達，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，還要知道從4樓走到8樓共走幾層樓梯.上一層樓梯需要：48（4-1）=16（秒），從4樓走到8樓共走8-4=4（層）樓梯。到這里問題就可以解決了。解：上一層樓梯需要：48（4-1）=16（秒）從4樓走到8樓共走：8-4=4（層）樓梯還需要的時間：164=64（秒）答：還需要64秒才能到達8層。例6晶晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級臺階，如果各層樓之間的臺階數(shù)相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階？分析 要求晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階，必須先求出每一層樓梯有多少臺階，還要知道從一層走到6層需要走幾層樓梯。從1樓到3樓有3-1=2層樓梯，那么每一層樓梯有362=18（級）臺階，而從1層走到6層需要走6-1=5（層）樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。解：每一層樓梯有：36（3-1）18（級臺階）晶晶從1層走到6層需要走：18（6-1）=90（級）臺階。答：晶晶從第1層走到第6層需要走90級臺階。注：例1例4所敘述的問題雖然不是上樓梯，但它和上樓梯有許多相似之處，請同學(xué)們自己去體會.爬樓梯問題的解題規(guī)律是：所走的臺階數(shù)=每層樓梯的臺階數(shù)（所到達的層數(shù)減起點的層數(shù)）。習(xí)題三1.一根木料截成3段要6分鐘，如果每截一次的時間相等，那么截7段要幾分鐘？2.有一幢樓房高17層，相鄰兩層之間都有17級臺階，某人從1層走到11層，一共要登多少級臺階？3.從1樓走到4樓共要走48級臺階，如果每上一層樓的臺階數(shù)都相同，那么從1樓到6樓共要走多少級臺階？4.一座樓房每上1層要走16級臺階，到小英家要走64級臺階，小英家住在幾樓？5.一列火車共20節(jié)，每節(jié)長5米，每兩節(jié)之間相距1米，這列火車以每分鐘20米的速度通過81米長的隧道，需要幾分鐘？6.時鐘3點鐘敲3下，6秒鐘敲完，12點鐘敲12下，幾秒鐘敲完？7.某人到高層建筑的10層去，他從1層走到5層用了100秒，如果用同樣的速度走到10層，還需要多少秒？8.A、B二人比賽爬樓梯，A跑到4層樓時，B恰好跑到3層樓，照這樣計算，A跑到16層樓時，B跑到幾層樓？9.鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計算火車的速度，測量出從第一根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿共用了2分鐘，火車的速度是每秒多少米？第四講 植樹與方陣問題一、植樹問題要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：總路線長.間距（棵距）長.棵數(shù).只要知道這三個要素中任意兩個要素.就可以求出第三個。關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。1.不封閉路線例：如圖 若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總長平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：棵數(shù)=段數(shù)+1=全長株距+1全長=株距（棵數(shù)-1）株距=全長（棵數(shù)-1） 如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長=株距棵數(shù)；棵數(shù)=全長株距；株距=全長棵數(shù)。 如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比中還少1棵?？脭?shù)=段數(shù)-1=全長株距-1.如右圖所示.段數(shù)為5段，植樹棵數(shù)為4棵。株距=全長（棵數(shù)+1）。2.封閉的植樹路線例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示?？脭?shù)=段數(shù)=周長株距.二、方陣問題學(xué)生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。方陣的基本特點是： 方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2。 每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：四周人（或物）數(shù)=每邊人（或物）數(shù)-14；每邊人（或物）數(shù)=四周人（或物）數(shù)41。 中實方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊人（或物）數(shù)每邊人（或物）數(shù)。例1 有一條公路長900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？分析 要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長可分成若干段.由于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。解：以10米為一段，公路全長可以分成9001090（段）共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）答：可栽電線桿91根。例2 馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問汽車每小時走多少千米？分析 張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度.解：5分鐘汽車共走了：9（501-1）=4500（米），汽車每分鐘走：45005=900（米），汽車每小時走：90060=54000（米）=54（千米）列綜合式：9（501-1）5601000=54（千米）答：汽車每小時行54千米。例3 某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？分析 根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解：方陣最外層每邊人數(shù)：6041=16（人）整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：1616=256（人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。例4 晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？分析 方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。解：最外邊一層棋子個數(shù)：（14-1）4=52（個）第二層棋子個數(shù)：（14-2-1）4=44（個）第三層棋子個數(shù)：（14-22-1）4=36（個）.擺這個方陣共用棋子：52+4436132（個）還可以這樣想：中空方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)一層數(shù)）層數(shù)4進行計算。解：（14-3）34=132（個）答：擺這個方陣共需132個圍棋子。例5 一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？分析 在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù)=段數(shù). 由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍。解：共可栽芍藥花：180630（棵）共種月季花：23060（棵）兩種花共：30+60=90（棵）兩棵花之間距離：18090=2（米）相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米。答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。例6一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？分析 從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株， 則大三角形邊上栽的棵數(shù)為92-1=17（棵）。 又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花（17-1）3=48（棵）。.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.在計算大三角形栽花棵數(shù)時已經(jīng)計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2=7（棵）解：大三角形三條邊上共栽花：（92-1-1）3=48（棵）中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（9-2）3=21（棵）整個花壇共栽花：48+21=69（棵）答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵。習(xí)題四1.一個圓形池塘，它的周長是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多少株？2.有一正方形操場，每邊都栽種17棵樹，四個角各種1棵，共種樹多少棵？3.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時從路的一端的某一棵樹出發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時，乙剛走到從乙那邊數(shù)的第10棵樹.已知乙每分鐘走36米.問：甲每分鐘走多少米？4.在一根長100厘米的木棍上，從左向右每隔6厘米點一個紅點.從右向左每隔5厘米點一個紅點，在兩個紅點之間長為4厘米的間距有幾段？第五講 找?guī)缀螆D形的規(guī)律找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的手段，而規(guī)律的找尋既需要敏銳的觀察力，又需要嚴(yán)密的邏輯推理能力.為培養(yǎng)這方面的能力，本講將從幾何圖形的問題入手，逐步分析應(yīng)從哪些方面來觀察思考。因此，學(xué)習(xí)本講的知識有助于養(yǎng)成全面地、由淺入深、由簡到繁觀察思考問題的良好習(xí)慣，可以逐步掌握通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律來解決問題的方法。下面就來看幾個例子。例1 按順序觀察圖51與圖52中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律，在帶“？”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形？分析 觀察中，注意到圖51中每行三角形的個數(shù)依次減少，而正方形的個數(shù)依次增多，且三角形的個數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然X應(yīng)等于2；圖52中黑點的個數(shù)從左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多兩個點.事實上，本題中幾何圖形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上，是一種較為基本的、簡單的變化模式。解：在圖51的“？”處應(yīng)是三角形，在圖52的“？”處應(yīng)是例2請觀察右圖中已有的幾個圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。分析 首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個圓、一個三角形和一個正方形所組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重復(fù)的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我們知道這個圖的特點是： 僅由圓、三角形、正方形組成； 各行各列中，都只有一個圓、一個三角形和一個正方形。因此，根據(jù)不重不漏的原則，在第二行的空格中應(yīng)填一個三角形，而第三行的空格中應(yīng)填一個正方形。解略。例3 按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填上合適的圖形.分析 顯然，圖（a）、圖（b）中都是圓，而圖（c）中卻不是圓；同時，圖（a）、（c）中都有3個圖形，而（b）中只有兩個.由此可知：圖（a）到（b）的變化規(guī)律對應(yīng)于圖（c）到（d）的變化規(guī)律.再注意到圖（a）到圖（b）中圖形在繁簡、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖（d）中的圖形了。解：在上圖的“？”處應(yīng)填如下圖形.例4 下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請仔細觀察，并在“？”處填上適當(dāng)?shù)膱D形.分析 本題中，首先可以注意到每個圖形都由大、小兩部分組成，而且，大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成， 圖中的任意兩個圖形均不相同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)現(xiàn)：對于大圖形來說，每行每列的圖形決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個大正方形，一個大三角形和一個大圓，對于小圖形也是如此，這樣，“？”處的圖形就不難得出。解：圖中，（b）、（f）、（h）處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖丙.小結(jié)：對于較復(fù)雜的圖形來說，有時候需要把圖形分開幾部分來單獨考慮其變化規(guī)律，從而把復(fù)雜問題簡單化。例5 觀察下列各組圖的變化規(guī)律，并在“？”處畫出相關(guān)的圖形.分析 我們先來看這樣兩個圖：（甲）圖與（乙）圖中，點A、B、C、D的順序和距離都沒有改變，只是每個點的位置發(fā)生了變化，如：甲圖中，A在左方；而乙圖中，A在上方，我們把這樣一種位置的變化稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，乙圖可以看作是甲圖90（或一格）?，F(xiàn)在我們再回到題目上來，容易看出：例5題中按（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）順序排列的9個圖形，它們的變化規(guī)律是：每一個圖形（a除外）都是由其前一個圖形逆時針旋轉(zhuǎn)90而得到的.甲乙丙丁四個圖形變化規(guī)律也類似。解：圖（i）處的圖形應(yīng)是下面左圖，丁圖處的圖形應(yīng)是下面右圖注意：因為圖形是由旋轉(zhuǎn)而得到的，所以其中三角形、菱形的方向隨旋轉(zhuǎn)而變化，作圖的時候要注意到這一點。旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握好這個概念，可以提高觀察能力，加快解題速度，對于許多問題的解決，也有事半而功倍的效果。下面再來看幾個例子：例6 仔細觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填入合適的圖形.分析 顯然，圖（a）、（b）的變化規(guī)律對應(yīng)于圖（c）的變化規(guī)律；圖（d）、（e）的變化規(guī)律也對應(yīng)于圖（f）的變化規(guī)律，我們先來觀察（a）、（b）兩組圖形，發(fā)現(xiàn)在形狀、位置方面都發(fā)生了變化，即把圓變?yōu)樗囊话氚雸A，把三角形也變?yōu)樗囊话胫苯侨切?；同時，變化后圖形的位置相當(dāng)于把原圖形沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90而得到.因此，我們很容易地就把圖（c）中的直角梯形還原為等腰梯形并通過逆時針旋轉(zhuǎn)而得到圖（c）“？”處的圖形。當(dāng)我們從左到右來觀察圖（d）、（e）的變化規(guī)律時，我們發(fā)現(xiàn)，圖（d）、（e）的變化規(guī)律有與圖（a）、（b）相同的一面，即都是把一個圖形變?yōu)樽陨淼囊话?，但也有與圖（a）、（b）不同的一面，即圖（d）、（e）中右半部分的圖形無法通過旋轉(zhuǎn)原圖來得到，只能通過上下翻轉(zhuǎn)而獲得.這樣，我們就得到了這些圖形的變化規(guī)律。解：圖（c）中“？”處的圖形應(yīng)是下面甲圖，圖（f）中“？”處的圖形應(yīng)是乙圖.小結(jié)：本題是一道較為復(fù)雜的題，觀察的出發(fā)點主要有3點： 形狀變化； 位置變化； 顏色變化。例7四個小動物排座位，一開始，小鼠坐在第1號位子上，小猴坐在第2號，小兔坐在第3號，小貓坐在第4號.以后它們不停地交換位子，第一次上下兩排交換.第二次是在第一次交換后左右兩列交換，第三次再上下兩排交換，第四次再左右兩列交換這樣一直換下去.問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子上？（參看下圖）分析 這是“華羅庚金杯”第二屆初賽的一道試題，如果有充裕的時間，我們當(dāng)然可以把十次變化的圖都畫出來，從而得到答案.10并不是一個很大的數(shù)字，因此這樣的方法雖然麻煩，卻也是行之有效的.然而，在初賽中，本題的思考時間只有30秒，不可能一步步把圖畫出來，這就要求我們仔細觀察，認真思考，找出規(guī)律再做題。方法1：因為題目中問的只是第十次交換位子后，小兔的位子是幾.因此，我們只需考慮小兔的位子變化規(guī)律，小兔剛開始時在3號位子，記為，則次交換座位，小兔的座位按順時針方向轉(zhuǎn)動一格，每四次交換座位后，小兔又回到原處，知道了這個規(guī)律，就不難得出答案.即10次后，小兔到了第2號位子。方法2：受方法一的啟示，我們可以思考，其他小動物的變化規(guī)律怎樣？四個小動物的整體變化規(guī)律又怎樣呢？事實上，當(dāng)我們仔細觀察示意圖時會發(fā)現(xiàn)，開始的圖沿順時針方向旋轉(zhuǎn)兩格（即180）時，恰得到第二次交換位子后的圖，由此可以知道，每一次上下交換后再一次左右交換的結(jié)果就相當(dāng)于把原圖沿順時針方向旋轉(zhuǎn)180，第十次交換位子后，相當(dāng)于是這些小動物沿順時針方向轉(zhuǎn)了4圈半，這樣，我們就得到了小兔的位子及它們的整體變化規(guī)律.但其中需注意一點的是：單獨一次上下（或左右）的交換與旋轉(zhuǎn)90得到的結(jié)果是不同的.小貓、小鼠的位子變化規(guī)律是沿逆時針方向，而小猴的位子變化規(guī)律與小兔相似。解：第十次交換位子后，小兔到了2號位子。例8 將A、B、C、D、E、F六個字母分別寫在正方體的六個面上，從下面三種不同擺法中判斷這個正方體中，哪些字母分別寫在相對的面上。分析 本題所給的是一組立體幾何圖形.但是，我們注意到：由于圖（a）、（b）、（c）都是同一個正方體的不同擺法，所以，（a）、（b）、（c）可以通過旋轉(zhuǎn)來互相轉(zhuǎn)化，這三個圖形中，字母C所在的一面始終不改變位置.因此，這三個圖形的轉(zhuǎn)化只能是前后轉(zhuǎn)動.把圖（a）向后翻轉(zhuǎn)一次（90）得圖（b），由此可知，字母A的對面是D，把圖（a）向前翻轉(zhuǎn)一次（90）得圖（c），所以，字母B的對面是字母E，最后得出只有字母C、F相對。解：正方體中，相對的字母分別是AD、BE、CF?？偨Y(jié)：一般地說，在觀察圖形變化的規(guī)律時，應(yīng)抓住以下幾點來考慮問題：1.圖形數(shù)量的變化；2.圖形形狀的變化；3.圖形大小的變化；4、圖形顏色的變化；5.圖形位置的變化；6.圖形繁簡的變化等。對較復(fù)雜的圖形，也可分成幾部分來分別考慮.總而言之，只要全面觀察，勤于思考，就一定能抓住規(guī)律、解決問題。習(xí)題五1.順序觀察下面圖形，并按其變化規(guī)律在“？”處填上合適的圖形。2.一個正方體的小木塊，1與6、2與5、3與4分別是相對面，如照下圖那樣放置，并按圖中箭頭指示的方向翻動，則木塊翻動到第5格時，木塊正上方那一面的數(shù)字是多少？下冊第六講 平均數(shù)問題求平均數(shù)問題是小學(xué)學(xué)習(xí)階段經(jīng)常接觸的一類典型應(yīng)用題，如“求一個班級學(xué)生的平均年齡、平均身高、平均分?jǐn)?shù)”。平均數(shù)問題包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)求平均數(shù)。解答這類應(yīng)用題時，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關(guān)系，根據(jù)總數(shù)除以它相對應(yīng)的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù)。一、算術(shù)平均數(shù)例1 用4個同樣的杯子裝水，水面高度分別是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，這4個杯子水面平均高度是多少厘米？分析 求4個杯子水面的平均高度，就相當(dāng)于把4個杯子里的水合在一起，再平均倒入4個杯子里，看每個杯子里水面的高度。解：（45+7+8）4=6（厘米）答：這4個杯子水面平均高度是6厘米。例2 蔡琛在期末考試中，政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、生物五科的平均分是 89分.政治、數(shù)學(xué)兩科的平均分是91.5分.語文、英語兩科的平均分是84分.政治、英語兩科的平均分是86分，而且英語比語文多10分.問蔡琛這次考試的各科成績應(yīng)是多少分？分析 解題關(guān)鍵是根據(jù)語文、英語兩科平均分是84分求出兩科的總分，又知道兩科的分?jǐn)?shù)差是10分，用和差問題的解法求出語文、英語各得多少分后，就可以求出其他各科成績。解：英語：（842+10）2=89（分）語文： 89-10=79（分）政治：862-8983（分）數(shù)學(xué)： 91.52-83100（分）生物： 895-（897983100）94（分）答：蔡琛這次考試英語、語文、政治、數(shù)學(xué)、生物的成績分別是89分、79分、83分、100分、94分。二、加權(quán)平均數(shù)例3 果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什錦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.問：什錦糖每千克多少元？分析 要求混合后的什錦糖每千克的價錢，必須知道混合后的總錢數(shù)和與總錢數(shù)相對應(yīng)的總千克數(shù)。解：什錦糖的總價：4.402+4.203+7.20557.4（元）什錦糖的總千克數(shù)： 23510（千克）什錦糖的單價：57.410=5.74（元）答：混合后的什錦糖每千克5.74元。我們把上述這種平均數(shù)問題叫做“加權(quán)平均數(shù)”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加權(quán)平均數(shù).2千克、3千克、5千克這三個數(shù)很重要，對什錦糖的單價產(chǎn)生不同影響，有權(quán)衡輕重的作用，所以這樣的數(shù)叫做“權(quán)數(shù)”。例4 甲乙兩塊棉田，平均畝產(chǎn)籽棉185斤.甲棉田有5畝，平均畝產(chǎn)籽棉203斤；乙棉田平均畝產(chǎn)籽棉170斤，乙棉田有多少畝？分析 此題是已知兩個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)、兩個數(shù)和其中一個數(shù)的權(quán)數(shù)，求另一個數(shù)的權(quán)數(shù)的問題.甲棉田平均畝產(chǎn)籽棉203斤比甲乙棉田平均畝產(chǎn)多18斤，5畝共多出90斤.乙棉田平均畝產(chǎn)比甲乙棉田平均畝產(chǎn)少15斤，乙少的部分用甲多的部分補足，也就是看90斤里面包含幾個15斤，從而求出的是乙棉田的畝數(shù)，即“權(quán)數(shù)”。解：甲棉田5畝比甲乙平均畝產(chǎn)多多少斤？（203-185）5=90（斤）乙棉田有幾畝？90（185-170）=6（畝）答：乙棉田有6畝。三、連續(xù)數(shù)平均問題我們學(xué)過的連續(xù)數(shù)有“連續(xù)自然數(shù)”、“連續(xù)奇數(shù)”、“連續(xù)偶數(shù)”.已知幾個連續(xù)數(shù)的和求出這幾個數(shù)，也叫平均問題。例5 已知八個連續(xù)奇數(shù)的和是144，求這八個連續(xù)奇數(shù)。分析 已知偶數(shù)個奇數(shù)的和是144.連續(xù)數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，它的特點是首項與末項之和等于第二項與倒數(shù)第二項之和，等于第三項與倒數(shù)第三項之和即每兩個數(shù)分為一組，八個數(shù)分成4組，每一組兩個數(shù)的和是144436.這樣可以確定出中間的兩個數(shù)，再依次求出其他各數(shù)。解：每組數(shù)之和：1444=36中間兩個數(shù)中較大的一個：（362）219中間兩個數(shù)中較小的一個：19-2=17這八個連續(xù)奇數(shù)為11、13、15、17、19、21、23和25。答：這八個連續(xù)奇數(shù)分別為：11、13、15、17、19、21、23和25。四、調(diào)和平均數(shù)例6 一個運動員進行爬山訓(xùn)練.從A地出發(fā)，上山路長11千米，每小時行4.4千米.爬到山頂后，沿原路下山，下山每小時行5.5千米.求這位運動員上山、下山的平均速度。分析 這道題目是行程問題中關(guān)于求上、下山平均速度的問題.解題時應(yīng)區(qū)分平均速度和速度的平均數(shù)這兩個不同的概念.速度的平均數(shù)=（上山速度+下山速度）2，而平均速度=上、下山的總路程上、下山所用的時間和。解：上山時間： 114.4=2.5（小時）下山時間：115.5=2（小時） 五、基準(zhǔn)數(shù)平均數(shù)例7 中關(guān)村三小有15名同學(xué)參加跳繩比賽，他們每分鐘跳繩的個數(shù)分別為93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每個人平均每分鐘跳繩多少個？分析 從他們每人跳繩的個數(shù)可以看出，每人跳繩的個數(shù)很接近，所以可以選擇其中一個數(shù)90做為基準(zhǔn)數(shù)，再找出每個加數(shù)與這個基準(zhǔn)數(shù)的差.大于基準(zhǔn)數(shù)的差作為加數(shù)，如9390+3，3作為加數(shù)；小于基準(zhǔn)數(shù)的差作為減數(shù)，如 87=90-3，3作為減數(shù).把這些差累計起來，用和數(shù)的項數(shù)乘以基準(zhǔn)數(shù)，加上累計差，再除以和數(shù)的個數(shù)就可以算出結(jié)果。解：跳繩總個數(shù)。93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89=9015+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）=1350+19-19=1350（個）每人平均每分鐘跳多少個？135015=90（個）答：每人平均每分鐘跳90個.習(xí)題六1.某次數(shù)學(xué)考試，甲乙的成績和是184分，乙丙的成績和是187分，丙丁的成績和是188分，甲比丁多1分，問甲、乙、丙、丁各多少分？2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均數(shù)。3.縫紉機廠第一季度平均每月生產(chǎn)縫紉機750臺，第二季度生產(chǎn)的是第一季度生產(chǎn)的2倍多66臺，下半年平均月生產(chǎn)1200臺，求這個廠一年的平均月產(chǎn)量。4.甲種糖每千克8.8元，乙種糖每千克7.2元，用甲種糖5千克和多少乙種糖混合，才能使每千克糖的價錢為8.2元？5.7個連續(xù)偶數(shù)的和是1988，求這7個連續(xù)偶數(shù)。6.6個學(xué)生的年齡正好是連續(xù)自然數(shù)，他們的年齡和與小明爸爸的年齡相同，7個人年齡一共是126歲，求這6個學(xué)生各幾歲？7.食堂買來5只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到十種不同的重量（千克）：47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.問習(xí)題七1.小明和小強共有圖書120本，小強的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？2.果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？3.一個長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，求這個長方形的面積。4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？6.有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？這五只羊各重多少千克？習(xí)題八1.一只大象的體重比一頭牛重4500千克，又知大象的重量是一頭牛的10倍，一只大象和一頭牛的重量各是多少千克？2.果園里的桃樹比杏樹多90棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？3.有兩塊布，第一塊長74米，第二塊長50米，兩塊布各剪去同樣長的一塊布后，剩下的第一塊米數(shù)是第二塊的3倍，問每塊布各剪去多少米？4.甲、乙兩校教師的人數(shù)相等，由于工作需要，從甲校調(diào)30人到乙校去，這時乙校教師人數(shù)正好是甲校教師人數(shù)的3倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？5.兩筐重量相同的蘋果，從甲筐取出7千克，乙筐加入19千克，這時乙筐是甲筐蘋果的3倍，問兩筐原有蘋果多少千克？6.甲、乙兩個數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)了.如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，兩個數(shù)各是多少？7.有兩塊同樣長的布，第一塊賣出25米，第二塊賣出14米，剩下的布第二塊是第一塊的2倍，求每塊布原有多少米？習(xí)題九1.果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？2.甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問甲、乙兩桶原有多少油？3.用錫和鋁制成500千克的合金，鋁的重量比錫多100千克，錫和鋁各是多少千克？4.某工廠去年與今年的平均產(chǎn)值為96萬元，今年比去年多10萬元，今年與去年的產(chǎn)值各是多少萬元？5.甲、乙兩個學(xué)校共有學(xué)生1245人，如果從甲校調(diào)20人去乙校后，甲校比乙校還多5人，兩校原有學(xué)生各多少人？6.三個物體平均重量是31千克，甲物體比乙、丙兩個物體重量之和輕1千克，乙物體比丙物體重量的2倍還重2千克，三個物體各重多少千克？7.甲、乙兩個工程隊共有1980人，甲隊為了支援乙隊，抽出285人加入乙隊，這時乙隊人數(shù)還比甲隊少24人，求甲、乙兩隊原有工人多少人？8.四年級有3個班，如果把甲班的1名學(xué)生調(diào)整到乙班，兩班人數(shù)相等；如果把乙班1名學(xué)生調(diào)到丙班，丙班比乙班多2人，問甲班和丙班哪班人數(shù)多？多幾人？習(xí)題十1.兄弟倆今年的年齡和是30歲，當(dāng)哥哥像弟弟現(xiàn)在這樣大時，弟弟的年齡恰好是哥哥年齡的一半，哥哥今年幾歲？2.趙、田、錢、李、吳五位老師，趙老師比田老師大4歲，錢老師比趙老師大3歲，李老師比趙老師小3歲，吳老師比錢老師小2歲.這五位老師的年齡加在一起是122歲.問：五位老師各多少歲？3.哥哥6年前的歲數(shù)等于弟弟8年后的歲數(shù).哥哥5年后與弟弟3年前的年齡和是38歲.求兄弟二人今年各幾歲？4.母女的年齡和是64歲，女兒年齡的3倍比母親大8歲，求母女二人的年齡各是多少歲？5.哥哥今年比小麗大12歲，8年前哥哥的年齡是小麗的4倍，今年二人各幾歲？6.爺爺今年72歲，孫子今年12歲，幾年后爺爺?shù)哪挲g是孫子的5倍？幾年前爺爺?shù)哪挲g是孫子的13倍？1.小華用二元五角錢買了面值二角和一角的郵票共17張，問兩種郵票各買多少張？2.有雞兔共20只，腳44只，雞兔各幾只？3.松鼠媽媽采松子，晴天每天可采20個，雨天每天可采12個，它一連幾天采了112個松子，平均每天采14個.問這幾天當(dāng)中有幾天有雨？4.蜘蛛有8條腿，蝴蝶有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和一對翅膀，現(xiàn)有這三種動物共21只，共140條腿和 23對翅膀，問蜘蛛、蝴蝶、蟬各有幾只？5.體育老師買了運動服上衣和褲子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、褲子每件19元，問老師買上衣和褲子各多少件？6.雞、兔共籠，雞比兔多26只，足數(shù)共274只，問雞、兔各幾只？習(xí)題十二1.阿姨給幼兒園小朋友分餅干.如果每人分3塊，則多出16塊餅干；如果每人分5塊，那么就缺4塊餅干.問有多少小朋友，有多少塊餅干？2.某校同學(xué)排隊上操.如果每行站9人，則多37人；如果每行站12人，則少20人.一共有多少學(xué)生？3.小強由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校.小強家到學(xué)校的路程是多少米？4.少先隊員參加綠化植樹，他們準(zhǔn)備栽的蘋果樹苗是梨樹苗的2倍.如果每人栽3棵梨樹苗，還余2棵；如果每人栽7棵蘋果樹苗，要少6棵.問有多少少先隊員？他們準(zhǔn)備栽多少棵蘋果樹和梨樹？5.學(xué)校進行大掃除，分配若干人擦玻璃，其中兩人各擦4塊，其余各擦5塊，則余12塊；若每人擦6塊，則正好擦完，求擦玻璃的人數(shù)及玻璃的塊數(shù)？習(xí)題十三1.一張長5分米、寬4分米的長方形紙板，從四個角上各裁去一個邊長為1分米的正方形，所剩部分的周長是多少分米？2.如圖1310所示的多邊形，它的周長是多少厘米？3.用15個邊長2厘米的小正方形擺成如圖1311的形狀，求它的周長。4.求圖1312所示圖形（每個小正方形的頂點恰在另一個正方形的中心，且邊相互平行）的周長。5.用邊長為10厘米的五個小正方形拼成如圖1313的形狀，這個圖形的周長是多少厘米？6.比較圖1314中哪個圖形的周長長？7.求圖1315的周長是多少厘米？8.正方形被分成了五個長方形，每個長方形的周長都是30厘米，求這個正方形的周長是多少厘米（圖136）？習(xí)題十四1.（518）10（ ）2（ ）8（ ）16=（ ）3=（ ）5（ ）72.（AF01）16=（ ）73.12481632641285161024 用二進制計算后，能很快得到十進制答案嗎？（提示：類比于990+9009991000-1）4.請用二進制運算、三進制運算實現(xiàn)下面式子：5.用豎式做十六進制除法：（FD 437）16（F3）166.請你造一個三進制乘法表，造一個七進制乘法表。7.一個g進制的數(shù)，N=a5g5a4g4a3g3a2g2a1ga0.要計算它的十進制數(shù)值時，有一個簡便算法：N（a5ga4）g+a3） g+a2）ga1）g+a0.這樣共進行5次乘法5次加法，如死板地按a5g5+a1 ga0，需進行（5+4+32+1）15次乘法5次加法，顯然浪費時間.而另有一個聰明學(xué)生想：我在紙上先把g，g2、g3、g4、g5記下來這樣做了4次乘法，再把這5個g相應(yīng)與ai作乘法，又做5次，總共做了9次乘法，5次加法，中間還要耗費空白紙記下gi，他仔細一想覺得不合算了，就接受了題目中的簡便算法.現(xiàn)在請你用簡便算法求出3進制的N。N（210122）3（ ）108.在二進制下，一個數(shù)擴大2