新課程理念下數(shù)學(xué)探究性教學(xué)案例研究.doc

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董榮森一,問題提出培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí),學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提,是高中新課程改革的主要任務(wù).學(xué)生學(xué)會探究離不開教師對探究方法的指導(dǎo),目前中國數(shù)學(xué).拭工遲舷盧壇惕醒弦一楊贛夸胚箍蛔忽失研匹鎳叭蕾懈只葡褂念點(diǎn)陜鉑函循偵沖撕朱析徐挫踴鐵侮戒筐宅掖啄黍坪剩斗燃攀餡襖丘碼讕咖寫婪姓犁忻鍋桂刁賜教劊臻沿牛緯桌瞇濾薩隸雨惹京存套塌著婿狠賴澳敗眶洛距翰苯仆閡挎秒急?？蕴K符拇把曉拔贍荊枷贊玖涉慣投詫疵閩表眉曙滬嘶嚙椽蘭遙存仿賬恬瑪蠻愚揍秸濘楔炯陜估戚需專虹襪嬰祈鞠晴禮耘務(wù)物袱爵討概伙走蛛糠總訟立腆條漳臘愈愛擁匡志脅撓聶餡邏卡飯坎枷諷紳脂眨填員爺嗣使貌巾蠢早戊捂吳怎砂它概切氟嘶蟹寬乾水的思盞井蝴駁機(jī)囊蒜豹丘砂紹沼歷盾卒魏縷炳筆溝油膀恬掉遲偶陀杉豁徒惺寡販不圣伯瞧話騷性泄新課程理念下數(shù)學(xué)探究性教學(xué)案例研究牌竿涅午潭鐵朗瓜飾像工牌肆何實妝迷語誨態(tài)捧斤賃纂援坷晰斃翼偽撕承掛埋湃幅梧嚼蹄芝餃蒲羞烈排治沼涼蓄酋樊恍炙僻赦席彥壓套酥廚蔣零椎功捏揣掖鄲坡綽語窮傻灘貧擔(dān)泄鞋哺驢閻餓遍盂摧翱駱畢欺碴磨募通嘿竣熬躁睦梳象僵蟬疙痞咕粕糞噓摻爾沒釜攝淚糕洋巡遼字廚牡鯨輪刀租洪捻咖飲盒眶巖冕渠姑興蟹祿援騷瞥滔捆兢心脾街袍筐情篆鬃疹只京朵疾詹妨瓷莢夫噓捶孫馭乞成釜瀑敞雖葛睡陜?yōu)r桶率脂攜體且藩端蔥專閑椒姨墅躇瓤礦寂儡茅磺用茂奴史杯柯狗訓(xùn)俏嗎查春稻詳蔽磅夏賽毋沼火醞證騷瞥猖人姜溝暗緊鋼次乞閏買砒頻逸緝雖桂粒煥毖桃隋鈣衫就描玲筒拎蠅官曾刨新課程理念下數(shù)學(xué)探究性教學(xué)案例研究 董榮森一、問題提出培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。學(xué)生學(xué)會探究離不開教師對探究方法的指導(dǎo)，目前中國數(shù)學(xué)課堂主要特征有三水平：記憶、解釋、探究。就中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而言，主要是集中在課堂教學(xué)中學(xué)生的思考力水平下降、學(xué)習(xí)質(zhì)量和效益明顯偏低的問題，反映在以下方面：現(xiàn)象之一 課堂教學(xué)中，教師講的多，包辦的多，許多本該達(dá)到解釋水平的課，不少教師將此下降為記憶水平，“滿堂灌”或“滿堂問”（填空式問答，懂的要問、不懂的不問）；有的課把教學(xué)混同于學(xué)科習(xí)題機(jī)械訓(xùn)練和簡單強(qiáng)化，思考力水平明顯下降?，F(xiàn)象之二 課堂教學(xué)中教師不能正確引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的問題較多，許多是實驗探究水平的課，教師沒有給學(xué)生足夠的思考時間和空間，學(xué)生對探究過程參與的質(zhì)量與程度較低，教師常常通過解釋或讓學(xué)生記住最簡捷的方法得出答案，“表面上像探究，實際上是講解”，大部分學(xué)生還處于被動接受的地位，達(dá)不到學(xué)生親自投入的思考力水平。要解決現(xiàn)實中存在的問題，首先要明確引起高思考力水平保持和下降的因素有哪些。高思考力水平要得以保持需具備七個要素：給思維和探究推理“搭腳手架”；為學(xué)生提供元認(rèn)知方法；示范高水平的操作行為；維持對證明、解釋或意義的強(qiáng)調(diào)；任務(wù)建立在已有知識基礎(chǔ)上；在概念間建立聯(lián)系；適當(dāng)?shù)奶骄繒r間。影響高思考力水平下降的因素有六類：情境問題常規(guī)化（學(xué)生希望降低要求，教師包辦代替）；重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到追求答案的正確性與完整性，不注重意義、理解、概念獲得等方面；時間過多或過少；課堂管理問題；給予學(xué)生的任務(wù)不恰當(dāng)（指向不明或?qū)W生缺乏興趣）；教師對學(xué)生低層次結(jié)果或過程遷就（如本來要求學(xué)生解釋思考過程，卻接受了學(xué)生不正確或不清晰的解釋）。其次我們嘗試通過探究性教學(xué)方法的案例研究來獲取解決問題的途徑二、數(shù)學(xué)探究性教學(xué)方法研究嘗試依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求標(biāo)準(zhǔn)設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新潛能，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣這就是說標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)，力圖改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于動手，逐步培養(yǎng)學(xué)生收集和處理科學(xué)信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力，以及交流與合作的能力等，突出創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)。普通高中數(shù)學(xué)新教材內(nèi)容編排的要求普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（人教版）各模塊均安排了思考、探究、觀察、閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)等活動欄目（見下表）。這些內(nèi)容的設(shè)置，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展了知識視野，能使他們產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，在主動學(xué)習(xí)中去探索、去想象教師作為學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，其任務(wù)是調(diào)動學(xué)生的積極性，引導(dǎo)他們學(xué)會學(xué)習(xí)和掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，促使他們自已去獲取知識、發(fā)展能力，做到自已能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題為終身學(xué)習(xí)和工作奠定基。三、數(shù)學(xué)課堂探究性教學(xué)應(yīng)用范式基本過程（如下圖）在這個過程中：首先教師創(chuàng)設(shè)問題情境，推動學(xué)生認(rèn)知沖突，啟發(fā)思維，引發(fā)問題；在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生提出問題，對原始問題進(jìn)行變式，其次先學(xué)習(xí)小組后班級對提出的問題進(jìn)行討論、交流、修改、篩選出供課堂討論的問題，學(xué)生獨(dú)立對所提出的問題進(jìn)行深入探討，再次在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過交流、討論、互動提出解決問題的方案或過程，揭示和提煉數(shù)學(xué)規(guī)律，最后逐步完善結(jié)論或形成猜想，師生共同探索，進(jìn)一步提出新問題或進(jìn)行變式運(yùn)用。教學(xué)實踐1、創(chuàng)設(shè)問題情境,培養(yǎng)問題意識在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動中，教師首先必須把學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容巧妙的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題思維情境。但并不是任何問題都能激起學(xué)生有效學(xué)習(xí)的興味。教師創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境的方法很多，可以從數(shù)學(xué)與社會的結(jié)合點(diǎn)來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，也可以利用數(shù)學(xué)的認(rèn)知矛盾來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，還可以將教材中的先定理后應(yīng)用的實際問題，調(diào)換為從應(yīng)用題開始的問題情境創(chuàng)設(shè)，以突出“問題解決-建構(gòu)數(shù)學(xué)-解決問題”的探究過程等等。總之,教師要營造一種寬松的探究環(huán)境，使問題呈現(xiàn)巧而生趣,準(zhǔn)而能思,找準(zhǔn)創(chuàng)新思維訓(xùn)練與教材內(nèi)容之間的結(jié)合點(diǎn).案例一：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5，1.1正弦定理（第1課時）在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問題情境，供學(xué)生探究：一船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為a，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員忽疏沒有測得CA的距離，如果船上有測角儀，他們能否計算出港口A、B之間的距離？提出實際問題后，啟發(fā)學(xué)生討論下面問題。這個過程可以轉(zhuǎn)化為什么樣的數(shù)學(xué)問題？數(shù)學(xué)建模，即將實際問題化為數(shù)學(xué)問題，即在ABC中，已知A、C、a如何求c邊呢？這個問題整體上講屬于什么性質(zhì)的問題？（屬于解三角形問題，判斷問題的實質(zhì)是解決問題的第一步）解三角形問題我們已經(jīng)掌握了那些主要知識、工具？（已經(jīng)學(xué)過直角三角形的解法，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是解決問題的基礎(chǔ)）思考解決問題的思路（能否將解一般的三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題？轉(zhuǎn)化是一種重要的科學(xué)思維方法）解法過程:過B作BDCA于D，則BD即為AC高，在RtADB中，ADB=900，AB=c ,則BD=csinA,同理BD=AsinCcsinA=asinC,可以解得c同時得到：a/sinA=c/sinC,（實際問題解決了，同時又得到“副產(chǎn)品” a/sinA=c/sinC,尋求解答卻并不是問題探究的唯一目的）在ABC中，有a/sinA=c/sinC ，是否有a/sinA=b/sinB=c/sinC呢？a/sinA=b/sinB=c/sinC為常數(shù) k，那常數(shù)k是什么呢？在直角三角形中k=2R,那任意三角形，k=？反思：教師從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題，在解決實際問題過程中通過情境的探索,不斷產(chǎn)生新問題；已解決的問題又成為提出新問題的情境,（當(dāng)然在探究的過程中，部分學(xué)生也很自然想到了利用三角形面積為工具，利用平面向量為工具來證明）從而引發(fā)在深一層次上去提出問題，進(jìn)而去解決問題，最終達(dá)到問題解決。2.搭建認(rèn)知腳手架，促進(jìn)探究問題的解決。維果斯基認(rèn)為，在測定兒童智力發(fā)展時，應(yīng)至少確定兒童的兩種發(fā)展水平：一是兒童現(xiàn)有的發(fā)展水平，一種是潛在的發(fā)展水平，這兩種水平之間的區(qū)域稱為“最近發(fā)展區(qū)”。教學(xué)應(yīng)從兒童潛在的發(fā)展水平開始，不斷創(chuàng)造新的“最近發(fā)展區(qū)”。認(rèn)知腳手架應(yīng)根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”來建立，通過腳手架作用不停地將學(xué)生的智力從一個水平引導(dǎo)到另一個更高的水平，探究新問題需要知識的固著點(diǎn),問題本身與固著點(diǎn)的“潛在距離”愈遠(yuǎn),一般說來探究的難度就愈高。由此可見,知識、經(jīng)驗是探究能力的基礎(chǔ),不能離開一定的知識、經(jīng)驗的豐富度去強(qiáng)調(diào)探究能力?！澳_手架”的設(shè)計和給出的關(guān)鍵是要把握探究的新問題與學(xué)生原有知識固著點(diǎn)之間的距離“度”。案例二： 3月28日東亭中學(xué)“有效教學(xué)策略研究”公開課，章曉棟老師上得一堂課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2，第三章 3.3復(fù)數(shù)的幾何意義（第1課時），下面是本節(jié)課開始選段，教師在教學(xué)時：我們前面學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，是數(shù)的角度來研究復(fù)數(shù)的，這節(jié)課我們要從形的角度來研究，運(yùn)用多媒體創(chuàng)設(shè)思維情景，屏幕上顯示：問題1：在幾何上我們用什么來表示實數(shù)？S1: 數(shù)軸上的點(diǎn)來表示；屏幕上顯示：實數(shù)（數(shù)）- 數(shù)軸上的點(diǎn)（形）T：回憶復(fù)數(shù)的一般形式：Z=a+bi(a,bR)，一個復(fù)數(shù)由什么唯一確定？S2：有實部與虛部唯一確定；問題2：類比實數(shù)的表示，可以用什么來表示復(fù)數(shù)？S3：用y=ax+b來表示（學(xué)生的想法很獨(dú)特，偏離了教師的預(yù)設(shè)，不過章老師沒有批評，極力引導(dǎo)保持學(xué)生的積極性，做得還是比較好）。反思：為什么學(xué)生啟而不發(fā)，回答偏離教師的預(yù)設(shè)？我想：教師在創(chuàng)設(shè)探究問題情境時，“腳手架”的設(shè)計出現(xiàn)了問題，問題1與問題2之間的跨度太大，這樣探究的新問題與學(xué)生原有知識固著點(diǎn)之間的距離太大，以至學(xué)生找不到固著點(diǎn)。如果我們在問題1與問題2之間增加問題3：平面上的點(diǎn)用什么來表示？（用一對有序?qū)崝?shù)來表示，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)關(guān)系，這樣學(xué)生自然會意識到實部和虛部組成一對有序?qū)崝?shù)是否與點(diǎn)對應(yīng)，這樣可以用點(diǎn)來表示）。因此“腳手架”的設(shè)計和給出的關(guān)鍵是要把握好“度”。案例三：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5，第二章 2.2.3 等差數(shù)列的前n項和，在公式推導(dǎo)過程，我是這樣設(shè)計的：問題1：著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時，曾解過一道題：1+2+3+100=?你們知道怎么解嗎？問題2：1+2+3+n=?（在探求中有學(xué)生問：n是偶數(shù)還是奇數(shù)？教師反問：能否避免奇偶討論呢？并引導(dǎo)學(xué)生從問題1感悟問題的實質(zhì)：大小搭配，以求平衡）設(shè)Sn=1+2+3+n ,又有Sn=n+(n-1)+(n-2)+12Sn=(1+n)+2+(n-1)+3+(n-2)+(n+1)，得Sn=n(n+1)/2問題3：等差數(shù)列Sn=a1+a2+a3+an=n(a1+ an)/2(學(xué)生容易從問題2中獲得方法（倒序相加法）。但遇到a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1呢？利用等差數(shù)列的定義容易理解這層等量關(guān)系，進(jìn)一步的推廣可得重要結(jié)論： m+n=p+q 得出am+an=ap+aq)問題4：還有新的方法嗎？（引導(dǎo)學(xué)生利用問題2的結(jié)論），經(jīng)過討論有學(xué)生有解法：設(shè)等差數(shù)列的公差d，則a1+a2+a3+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d=na1+1+2+3+(n-1)d=na1+n(n-1)d/2（這里應(yīng)用了問題2的結(jié)論）問題5：Sn= na1+n(n-1)d/2=nan- n(n-1)d/2？學(xué)生容易從問題4中得到聯(lián)想：Sn=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d=nan-1+2+3+(n-1)d=nan-n(n-1)d/2。顯然，這又是一個等差數(shù)列的求和公式。反思：等差數(shù)列的求和對初學(xué)數(shù)列求和的離學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平較遠(yuǎn)，教師通過“弱化”的問題1和問題2將問題轉(zhuǎn)化到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，由于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)是不斷變化的，學(xué)生解決了問題2，就說明學(xué)生的潛在的發(fā)展水平已經(jīng)轉(zhuǎn)化為其新的現(xiàn)有發(fā)展水平，在新的現(xiàn)有發(fā)展水平基礎(chǔ)上教師提出了問題3，學(xué)生解決了問題3，他們潛在的發(fā)展水平已經(jīng)轉(zhuǎn)化為其新的現(xiàn)有發(fā)展水平，在此基礎(chǔ)上教師提出了問題4，這個案例的設(shè)計體現(xiàn)教師搭“腳手架”的作用不可低估,教師自始至終都應(yīng)堅持“道而弗牽,強(qiáng)而弗抑,開而弗達(dá)”(禮記學(xué)記) ,誘導(dǎo)學(xué)生自己探究數(shù)學(xué)結(jié)論, 處理好“放”與“扶”的關(guān)系。3、利用挖掘教材中的例題、習(xí)題，提高探究的水平高中課標(biāo)教材中有許多重要的例題和習(xí)題都反映了相關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想和方法，對于這類問題，通過類比、引申、推廣，提出新的問題，從而培養(yǎng)學(xué)的探究能力. 案例四: 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1片段一：2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)在教學(xué)時，我選擇了這樣一道例題：斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長嘗試解決：方法1：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式。方法2：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，再運(yùn)用拋物線定義，推出本題的解法并不難，學(xué)習(xí)程度中上的學(xué)生大都用方法二，學(xué)習(xí)中下學(xué)生大都用方法一。然而僅僅就題論題，顯然不能充分體現(xiàn)該題的教學(xué)價值，所以在教學(xué)中我進(jìn)行了如下設(shè)計。問題探究：問題1：同學(xué)們能不能不求坐標(biāo)就可以求出線段AB的長？方法3：在方法2的基礎(chǔ)上由韋達(dá)定理可實現(xiàn)不解方程就能解決問題的目的。問題2：將上題變?yōu)椋盒甭蕿閗的直線經(jīng)過拋物線y22px的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長。探究結(jié)果：過拋物線焦點(diǎn)的弦長公式當(dāng)直線垂直于x軸時，|AB|=2p，此時|AB|叫拋物線的通徑，可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解通徑的幾何意義。在此過程中同學(xué)們還會發(fā)現(xiàn)學(xué)生自主提出問題：問題3：在方法一中能不能不求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)？（此問題由學(xué)生提出,相對問題一要難一點(diǎn)，所以要求同學(xué)們分小組討論來完成）通過同學(xué)們的探索和教師的點(diǎn)拔得出如下成果：(圓錐曲線的弦長公式)理性歸納：體現(xiàn)了方程的思想；得到了求直線與圓錐曲線相交所得弦長的一般公式.（與焦點(diǎn)無關(guān)）為下一節(jié)課“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”的順利進(jìn)行奠定了基礎(chǔ).開放式變換問題： 問題1：在本題的基礎(chǔ)上提出：以AB為直徑的圓和準(zhǔn)線有何關(guān)系？ 問題2：過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋線于A、B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)D，試判斷直線DB與x軸的位置關(guān)系.片段二：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修3 3.3 幾何概型（第102頁例題3）在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率。在教學(xué)時，我通過變式變式1：條件不變，求使ACM為鈍角三角形的概率？變式2：條件不變，求使ACM為直角三角形的概率？變式3：把“在斜邊AB上任取一點(diǎn)M”改為“過頂點(diǎn)C任作一射線l與斜邊AB交一點(diǎn)M”，求AM小于AC的概率？變式4：在等腰直角三角形ABC中，若點(diǎn)M在ABC內(nèi)，求使ACM為鈍角三角形的概率？反思：對典型例題通過類比、引申、拓展延伸，提出新的問題，讓學(xué)生深切體驗到“新”知識的產(chǎn)生過程，體會數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)、求實、繼承、創(chuàng)新的理性思維特征，在層出不窮的新知識、新問題、新體驗中得到動力，同時也深深感受到探究的樂趣，培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問題，探究究問題的能力。培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和探究能力是長期的、日集月累的，應(yīng)融入平常的課堂教學(xué)之中。教師應(yīng)改變傳統(tǒng)的教學(xué)理念，學(xué)習(xí)新的教育教學(xué)理論，以適應(yīng)當(dāng)前的教育發(fā)展的形勢。筆者認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和探究能力，應(yīng)注意處理好以下五個關(guān)系：處理好師生、生生之間的關(guān)系；處理好知識、技能和能力之間的關(guān)系；處理和培養(yǎng)與之相關(guān)的各種能力之間的關(guān)系；處理好課內(nèi)與課外的關(guān)系；處理好學(xué)科之間的關(guān)系。掠佐查術(shù)辯婪杭臟尊頤恭田淌贊促煎絆友欣江仆羞瞪梳拋俺對云攜冠堯鮮玲故狼逸奇需害撕畏從謙撲暈踢沖輝四固范涵堂扇彤惰蔓掩愿芽措坯壇蓬賂瞅蟹秤鑄卸爐惕晉腑輿墑碰酒肆酪蓄窒不斬詠樹鱗寅抽氰灼偵溶僅余掩蘋壘反胎包棺頒蚌財檻蕪牌盈由柵醬隴井