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文檔簡介
第一課時 3 4基本不等式 問題提出 1 不等式有許多基本性質(zhì) 同時還有一些顯而易見的結論 如a2 0 a 0 a a等 這些性質(zhì)都是研究不等式問題的理論依據(jù) 在實際應用中 我們還需要有相應的不等式原理 2 如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標 它是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的 顏色的明暗使它看上去象一個風車 代表中國人民熱情好客 在這個圖案中既有一些相等關系 也有一些不等關系 對這些等與不等的關系 我們作些相應研究 基本不等式原理及其變通 探究 一 基本不等式的原理 a b 思考2 圖中正方形abcd的面積與4個直角三角形的面積之和有什么不等關系 由此可得到一個什么不等式 a2 b2 2ab 思考3 從圖形分析 上述不等式在什么情況下取等號 當直角三角形為等腰直角三角形 即a b時 a2 b2 2ab 思考4 在上面的圖形背景中 a b都是正數(shù) 那么當a b r時 不等式a2 b2 2ab成立嗎 為什么 一般地 對于任意實數(shù)a b 有 a2 b2 2ab 當且僅當a b時等號成立 思考5 特別地 如果a 0 b 0 我們用 分別代替a b 可得什么不等式 當且僅當a b時等號成立 思考6 不等式稱為基本不等式 它溝通了兩個正數(shù)的和與積的不等關系 在實際問題中有廣泛的應用 你能用分析法證明嗎 思考7 我們稱和分別為a b的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù) 如何用文字語言表述基本不等式 兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 思考8 如圖 在直角三角形abc中 cd為斜邊上的高 co為斜邊上中線 你能利用這個圖形對基本不等式作出幾何解釋嗎 探究 二 基本不等式的變通 思考1 將基本不等式兩邊平方可得什么結論 它與不等式a2 b2 2ab有什么內(nèi)在聯(lián)系 思考2 在不等式a2 b2 2ab兩邊同加上a2 b2可得什么結論 所得不等式有什么特色 它反映了兩個實數(shù)的平方和與它們的和的平方的不等關系 稱為平方平均不等式 其數(shù)學意義是 兩個實數(shù)的平方的算術平均數(shù)不小于它們的算術平均數(shù)的平方 思考3 將不等式兩邊同乘以 可變通出一些什么結論 理論遷移 例1已知x y都是正數(shù) 求證 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 例2已知a2 b2 c2 1 求證 a b c 3 3 小結作業(yè) 2 基本不等式有多種形式 應用時具有很大的靈活性 既可直接應用也可變式應用 一般地 遇到和與積 平方和與積 平方和與和的平方等不等式問題時 常利用基本不等式處理 1 不等式a2 b2 2ab與都是基本不等式 它們成立的條件不同 前者a b可為任意實數(shù) 后者要求
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