三角恒等變換專題復習(解析版)

三角恒等變換專題講解教學目標：1、能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出 的正弦、余弦、正切的誘導公式；2、理解同角三角函數(shù)的基本關系式： ；3、可熟練運用三角函數(shù)見的基本關系式解決各種問題。教學重難點： 可熟練運用三角函數(shù)見的基本關系式解決各種問題【基礎知識】一、同角的三大關系： 倒數(shù)關系 tancot=1 商數(shù)關系 = tan ； = cot 平方關系 溫馨提示：（1）求同角三角函數(shù)有知一求三規(guī)律，可以利用公式求解，最好的方法是利用畫直角三角形速解。來源:學+科+網（2）利用上述公式求三角函數(shù)值時，注意開方時要結合角的范圍正確取舍“”號。二、誘導公式口訣：奇變偶不變，符號看象限 用誘導公式化簡，一般先把角化成的形式，然后利用誘導公式的口訣化簡（如果前面的角是90度的奇數(shù)倍，就是 “奇”，是90度的偶數(shù)倍，就是“偶”；符號看象限是，把看作是銳角，判斷角在第幾象限，在這個象限的前面三角函數(shù)的符號是 “+”還是“-”，就加在前面）。 用誘導公式計算時，一般是先將負角變成正角，再將正角變成區(qū)間的角，再變到區(qū)間的角，再變到區(qū)間的角計算。三、和角與差角公式 ：; 變 用 = ()(1)四、二倍角公式：= .五、注意這些公式的來弄去脈這些公式都可以由公式推導出來。六、注意公式的順用、逆用、變用。如：逆用 變用 七、合一變形（輔助角公式）把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的 形式。，其中八、萬能公式 九、用，表示十、積化和差與和差化積（不在重要）積化和差 ； ；.和差化積 十一、方法總結1、三角恒等變換方法觀察（角、名、式）三變（變角、變名、變式）（1） “變角”主要指把未知的角向已知的角轉化，是變換的主線，如=(+)=()+, 2=(+)+ (), 2=(+)(),+=2 , = ()()等.（2）“變名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），（3）“變式指的是利用升冪公式和降冪公式升冪降冪，利用和角和差角公式、合一變形公式展開和合并等。2、恒等式的證明方法靈活多樣從一邊開始直接推證,得到另一邊,一般地,如果所證等式一邊比較繁而另一邊比較簡時多采用此法,即由繁到簡.左右歸一法,即將所證恒等式左、右兩邊同時推導變形,直接推得左右兩邊都等于同一個式子.比較法, 即設法證明: 左邊右邊=0 或 =1;分析法,從被證的等式出發(fā),逐步探求使等式成立的充分條件,一直推到已知條件或顯然成立的結論成立為止,則可以判斷原等式成立.【例題精講】例1 已知為第四象限角，化簡：解：（1）因為為第四象限角 所以原式= 例2 已知，化簡解：，所以原式=例3 tan20+4sin20解：tan20+4sin20= 例4 （05天津）已知，求及解：解法一：由題設條件，應用兩角差的正弦公式得，即由題設條件，應用二倍角余弦公式得 故 由和式得，因此，由兩角和的正切公式解法二：由題設條件，應用二倍角余弦公式得，解得，即 由可得由于，且，故a在第二象限于是，從而 以下同解法一小結：1、本題以三角函數(shù)的求值問題考查三角變換能力和運算能力，可從已知角和所求角的內在聯(lián)系（均含）進行轉換得到2、在求三角函數(shù)值時，必須靈活應用公式，注意隱含條件的使用，以防出現(xiàn)多解或漏解的情形 例5 已知為銳角的三個內角，兩向量，若與是共線向量. （1）求的大小； （2）求函數(shù)取最大值時，的大小.解：（1） ， （2） ，小結：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意 例6 設關于x的方程sinxcosxa0在(0, 2)內有相異二解、.(1)求的取值范圍; (2)求tan()的值. 解: (1)sinxcosx2(sinxcosx)2 sin(x), 方程化為sin(x).方程sinxcosxa0在(0, 2)內有相異二解, sin(x)sin . 又sin(x)1 (當?shù)扔诤?時僅有一解), |1 . 且. 即|a|2且a. a的取值范圍是(2, )(, 2). (2) 、 是方程的相異解, sincosa0 . sincosa0 . 得(sin sin)( cos cos)0. 2sincos2sinsin0, 又sin0, tan.tan().小結：要注意三角函數(shù)實根個數(shù)與普通方程的區(qū)別，這里不能忘記(0, 2)這一條件. 例7 已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，試求實數(shù)的取值范圍解：已知條件實際上給出了一個在區(qū)間上恒成立的不等式任取，且，則不等式恒成立，即恒成立化簡得由可知：，所以上式恒成立的條件為：.由于且當時，所以 ,從而 ,有 , 故 的取值范圍為.【基礎精練】1已知是銳角，且sin，則sin的值等于()A. B C. D2若2，則 的值是()AsinBcos Csin Dcos3.等于 ()A.sin B.cos C.sin D.cos4.已知角在第一象限且cos，則等于 ()A.B. C. D. 5.定義運算adbc.若cos，0，則等于()A. B. C. D. 6.已知tan和tan()是方程ax2bxc0的兩個根，則a、b、c的關系是 ()A.bac B.2bac C.cba D.cab7.設a(sin56cos56)，bcos50cos128cos40cos38，c，d(cos802cos2501)，則a，b，c，d的大小關系為 ()A.abdc B.badc C.dabc D.cadb8函數(shù)ysin2xsin2x，xR的值域是()A. B.C. D.9.若銳角、滿足(1tan)(1tan)4，則.10.設是第二象限的角，tan，且sincos，則cos.11.已知sin(x)=，0x，求的值。12.若，求+2?！就卣固岣摺?、設函數(shù)f(x)sin()2cos21(1)求f(x)的最小正周期.(2)若函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖像關于直線x1對稱，求當x0，時yg(x)的最大值 2.已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab| (1)求cos()的值；(2)若0，0，且sin，求sin.3、求證：2cos（+）=.【基礎精練參考答案】4C【解析】原式2(cossin)2().5.D【解析】依題設得：sincoscossinsin ().0，cos(). 又cos，sin.sinsin()sincos()cossin() ，.6.C【解析】 tantan()1，1，bac，cab.7.B【解析】asin(5645)sin11，bsin40cos52cos40sin52sin(5240)sin12，ccos81sin9，d(2cos2402sin240)cos80sin10badc.8.C【解析】ysin2xsin2xsin2xcos2xsin，故選擇C.9. 【解析】由(1tan)(1tan)4，可得，即tan().又(0，)，.10. 解析：是第二象限的角，可能在第一或第三象限，又sincos，為第三象限的角， cos0.tan，cos，cos .12.【解析】，+2,又tan2=,來源:Zxxk.Com+2=【拓展提高參考答案】1、【解析】 (1)f(x)sincoscossincosxsinxcosxsin(x)，故f(x)的最小正周期為T8(2)法一：在yg(x)的圖象上任取一點 (x，g(x)，它關于x1的對稱點(2x，g(x).由題設條件，點(2x，g(x)在yf(x)的圖象上，從而g(x)f(2x)sin(2x)sinxcos(x)，當0x時， x，因此yg(x)在區(qū)間0，上的最大值為g(x)maxcos.法二：因區(qū)間0，關于x1的對稱區(qū)間為，2，且yg(x)與yf(x)的圖象關于x1對稱，故yg(x)在0，上的最大值為yf(x)在，2上的最大值，由(1)知f(x)si