運動學(xué)第七章

第七章點的合成運動 運動學(xué) 點的合成運動 第七章點的合成運動 在前兩章中研究點和剛體的運動時 認為地球 參考體 固定不動 將坐標系 參考系 固連于地面 因此 點和剛體的運動是相對固定參考系而言的 如果建立一地心坐標系來觀察地球的運動 則地球繞自轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn) 此時固連于地球上的坐標系隨地球一起作定軸轉(zhuǎn)動 如果建立一日心坐標系來觀察地球的運動 則地球在自轉(zhuǎn)的同時 還繞太陽沿橢圓軌道運動 運動學(xué) 點的合成運動 另一方面 在實際問題中 不僅要在固聯(lián)在地面上的參考系上還要在相對于地面運動著的參考系上觀察和研究物體的運動 下面先看幾個例子 運動學(xué) 點的合成運動 運動學(xué) 點的合成運動 運動學(xué) 點的合成運動 本章將用點的合成運動的方法來研究這類問題 運動學(xué) 點的合成運動 第七章點的合成運動 7 1點的合成運動的概念 7 2點的速度合成定理 7 3牽連運動為平動時點的加速度合成定理 7 4牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理 運動學(xué) 點的合成運動 7 1點的合成運動的概念 1 坐標系定坐標系 建立在固定參考物上的坐標系 簡稱定系 一般將定系固結(jié)在地面上 動坐標系 建立在相對于定系運動著的物體上的坐標系 簡稱動系 圖示原點在輪心與車廂固連的坐標系o x y 即為動坐標系 例如 如圖所示固結(jié)在地面上的坐標系 運動學(xué) 點的合成運動 2 動點 動點是指相對于定系和動系均有運動的點 本章就是研究動點相對于定系和動系的運動 如圖中任選車輪上的一點P作為動點 3 三種運動 三種速度與三種加速度 1 絕對運動 動點相對于定系的運動 如P相對于地面的運動 2 相對運動 動點相對于動系的運動 如P相對于車廂的運動 運動學(xué) 點的合成運動 定參考系 動參考系 絕對運動 牽連運動 相對運動 工程實例 定參考系 動參考系 絕對運動 牽連運動 相對運動 工程實例 定參考系 動參考系 絕對運動 牽連運動 相對運動 工程實例 定參考系 動參考系 絕對運動 牽連運動 相對運動 工程實例 運動學(xué) 點的合成運動 絕對 加 速度 動點相對于定系的 加 速度 用表示 牽連點 在某瞬時 動坐標系上與動點相重合的點 為該瞬時動點的牽連點 不同的瞬時動點的位置不同 牽連點也不同 相對 加 速度 動點相對于動系的 加 速度 用表示 牽連 加 速度 牽連點相對于定系的 加 速度 用表示 舉例說明以上各概念 運動學(xué) 點的合成運動 AB桿上的A點 動系 凸輪 定系 地面 絕對運動 直線 相對運動 曲線 圓弧 牽連運動 直線平移 動點 運動學(xué) 點的合成運動 A 在AB桿上 偏心輪C 地面 直線 圓周 C 定軸轉(zhuǎn)動 動系 定系 絕對運動 相對運動 牽連運動 動點 運動學(xué) 點的合成運動 套筒A 滑桿O1B 地面 圓周 O 直線 沿O1B 定軸轉(zhuǎn)動 繞O1 動系 定系 絕對運動 相對運動 牽連運動 動點 運動學(xué) 點的合成運動 套筒A 滑桿OC 地面 圓周 O1 直線 沿OC 定軸轉(zhuǎn)動 繞O 動系 定系 絕對運動 相對運動 牽連運動 動點 注意的問題 三種運動的分析必須明確什么物體相對什么參考體的運動 相對 絕對運動指點的運動 可以是直線或曲線運動 牽連運動是指參考體的運動 是剛體的運動 可以是平移或定軸轉(zhuǎn)動以及剛體的其他運動形式 牽連點指某瞬時動系上與動點相重合的點 不同瞬時牽連點的位置不同 以上可歸結(jié)為一點 兩系 三運動 動點相對動系 定系必須有運動 不能和動系在同一物體上 運動學(xué) 點的合成運動 4 運動方程及坐標變換 可以利用坐標變換來建立絕對 相對和牽連運動之間的關(guān)系 1 絕對運動方程 2 相對運動方程 3 牽連運動方程 坐標變換關(guān)系 以二維問題為例 設(shè)定系 動系 動點M 如圖所示 運動學(xué) 點的合成運動 根據(jù)題意 是求車刀刀尖P相對于工件的軌跡方程 設(shè)刀尖P為動點 動系固定在工件上 則動點在動系Ox1y1和定系Oxy中的坐標關(guān)系為 解 運動學(xué) 點的合成運動 從上式中消去時間t 得刀尖的相對軌跡方程 即 車刀在工件上切出的痕跡是一個半徑為的圓 該圓的圓心C在動坐標軸Oy1上 圓周通過工件的中心O 將點P的絕對運動方程代入上式中 得 車刀相對于工件的運動方程 7 2點的速度合成定理 速度合成定理建立了動點的絕對速度 相對速度和牽連速度之間的關(guān)系 運動學(xué) 點的合成運動 當(dāng)t t tAB A B M M 動點M M M MM 為絕對軌跡為絕對位移M1M 為相對軌跡為相對位移 運動學(xué) 點的合成運動 將上式兩邊同時除以 t并取 t 0得 即 在任一瞬時動點的絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和 這就是點的速度合成定理 點的速度合成定理是瞬時矢量式 共包括大小 方向六個元素 已知任意四個元素 就能求出其它兩個 注意的問題 由速度合成定理的矢量形式知 絕對速度是以相對速度和牽連速度為鄰邊組成的平行四邊形的對角線 點的速度合成定理是瞬時矢量式 共包括大小 方向六個元素 已知任意四個元素 就能求出其它兩個 該定理在推導(dǎo)的過程中 牽連運動未加限制 可以是平移 定軸轉(zhuǎn)動以及其他形式的剛體運動 牽連速度為該瞬時動系上與動點相重合的點的速度 運動學(xué) 點的合成運動 例2橋式吊車 已知 小車水平運動 速度大小為v1 物塊A相對小車垂直上升的速度大小為v2 求物塊A的運動速度 運動學(xué) 點的合成運動 選取動點 A點 動系 小車 定系 地面 則絕對運動 曲線AA 相對運動 直線 牽連運動 直線平移 解 大小 方向 v1 v2 作出速度平行四邊形如圖示 則物塊 的速度大小和方向為 運動學(xué) 點的合成運動 例3曲柄搖桿機構(gòu) 已知 OA r OO1 l 圖示瞬時OA OO1求 擺桿O1B的角速度 1 選取動點 OA上的A點 動系 O1B 定系 基座 解 大小 方向 O1B 沿O1B 作出速度平行四邊形如圖示 r OA 絕對運動 圓周 相對運動 直線運動 牽連運動 定軸 運動學(xué) 點的合成運動 已知 OC e 勻角速度 圖示瞬時 OC CA 且O A B三點共線 求 從動桿AB的速度 動點 AB上的A點 動系 圓盤 定系 基座 解 大小 方向 OA OA CA 作出速度平行四邊形如圖示 沿AB 例4圓盤凸輪機構(gòu) 絕對運動 直線 相對運動 圓周 牽連運動 定軸 例5曲桿OBC以勻角速度 繞固定軸O轉(zhuǎn)動 使圓環(huán)M沿固定直桿OA上滑動 設(shè)曲柄長OB 10cm OB垂直BC 0 5rad s 求 60 時 小環(huán)的絕對速度 解 1 選擇動點 動系與定系 動系 固連于搖桿OBC 絕對運動 沿OA的直線運動 相對運動 沿OB的直線運動 牽連運動 繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動 動點 小環(huán)M 定系 固連于機座 例題5 絕對速度va 大小未知 方向沿OA向右 相對速度vr 大小未知 方向沿桿BC 牽連速度ve ve OM 方向垂直于OA 投影到x 軸 得 所求小環(huán)的絕對速度 水平向右 運動學(xué) 點的合成運動 求解合成運動的速度問題的一般步驟為 選取動點 動系和定系 分析三種運動 分析三種速度 根據(jù)速度合成定理作出速度合成平行四邊形 根據(jù)速度平行四邊形 求出未知量 1 動點 動系不能選在同一物體上 2 動點相對動系的相對運動軌跡易于直觀判斷 恰當(dāng)選擇動點 動系和定系是求解合成運動問題的關(guān)鍵 動點 動參考系 絕對運動 牽連運動 相對運動 思考題2 思考題2 運動學(xué) 點的合成運動 例5已知 凸輪半徑r 圖示時桿OA靠在凸輪上 求 桿OA的角速度 分析 相接觸的兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化 因此兩物體的接觸點都不宜選為動點 否則相對運動的分析就會很困難 這種情況下 需選擇滿足上述兩條原則的非接觸點為動點 運動學(xué) 點的合成運動 選取動點 凸輪上的C點 動系 OA桿 定系 基座 由 大小 方向 OC OC OA 作出速度平行四邊形如圖示 v 解 絕對運動 直線 相對運動 C點到凸輪與OA接觸點的距離不變 方位改變 C點相對OA圓周運動 牽連運動 定軸 動點 動參考系 絕對運動 牽連運動 相對運動 思考題3 思考題3 運動學(xué) 點的合成運動 再分析例4 已知 OC e 勻角速度 圖示瞬時 OC CA 且O A B三點共線 求 從動桿AB的速度 選取動點 圓盤中心C點 動系 AB桿 定系 基座 解 由 大小 方向 OC OC CA 作出速度平行四邊形如圖示 鉛垂向上 例4圓盤凸輪機構(gòu) 絕對運動 圓周 相對運動 圓周 C相對AB 牽連運動 平移 運動學(xué) 點的合成運動 8 3牽連運動為平移時點的加速度合成定理 由于牽連運動為平移 故 由速度合成定理 設(shè)有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系的曲線AB運動 曲線AB同時又隨同動系相對定系Oxyz平移 運動學(xué) 點的合成運動 對t求導(dǎo) 因為動系為平動 故方向不變 是常矢量 有 運動學(xué) 點的合成運動 即 當(dāng)牽連運動為平動時 動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和 牽連運動為平動時點的加速度合成定理 運動學(xué) 點的合成運動 例6已知 凸輪半徑求 j 60o時 頂桿AB的加速度 選取動點 AB上的A點 動系 凸輪 定系 基座 解 由 大小 方向 v0 CA 作速度平行四邊形 有 由于求加速度分析需 故先求 沿AB 運動學(xué) 點的合成運動 因牽連運動為平移 大小 方向 沿AB a0 CA 沿CA指向C 將上式投影到n方向 得 運動學(xué) 點的合成運動 整理得 注意 加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影 與靜平衡方程的投影關(guān)系不同 例7 圖示機構(gòu) OA r 以勻角速度 0轉(zhuǎn)動 套筒A可沿BC滑動 BC DE BD CE l 求圖示位置BD的角速度及角加速度 解 1 動點A 動系BC 定系機座 2 運動分析 絕對運動為圓周運動 相對運動為直線運動 牽連運動為曲線平移 3 速度分析 大小 方向 r 0 OA l 未知 BD 未知 C B 由圖知 ve vr va r 0 r 0 l轉(zhuǎn)向如圖 r 0 l轉(zhuǎn)向如圖 ve vr va r 0 4 加速度分析 大小 方向 02r A O 0 未知 設(shè)A B 2l B D l 未知 BD 向垂直方向投影 轉(zhuǎn)向如圖 求圖示位置BD的角速度及角加速度 運動學(xué) 點的合成運動 7 4牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理 上一節(jié)我們證明了牽連運動為平移時的點的加速度合成定理 那么當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時 上述的加速度合成定理是否還適用呢 下面我們來分析一特例 設(shè)一圓盤以勻角速度 繞定軸 順時針轉(zhuǎn)動 盤上圓槽內(nèi)有一點M以大小不變的相對速度vr沿槽作圓周運動 那么M點相對于定系的絕對加速度應(yīng)是多少呢 運動學(xué) 點的合成運動 選取動點 點M R vr 常數(shù) 即絕對運動也為勻速圓周運動 所以 運動學(xué) 點的合成運動 而 指向圓心 指向圓心 多出一項2 vr 可見 當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時 動點的絕對加速度并不等于牽連加速度和相對加速度的矢量和 那么他們之間的關(guān)系是什么呢 2 vr又是怎樣出現(xiàn)的呢 它的物理意義又是什么呢 指向圓心 預(yù)備知識 動坐標系單位矢量對時間的變化率 已知動系o x y z 以角速度 e繞定系oxyz的z軸轉(zhuǎn)動 如圖示 同理 運動學(xué) 點的合成運動 如圖所示 牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理 運動學(xué) 點的合成運動 其中為相對加速度 項反映由于牽連運動 轉(zhuǎn)動 引起方向之變化 運動學(xué) 點的合成運動 其中為牽連加速度 反映相對運動引起的大小的改變 運動學(xué) 點的合成運動 即 當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時 動點的絕對加速度等于牽連加速度 相對加速度和科氏加速度三者的矢量和 科氏加速度 方向 按右手法則確定 科氏加速度 運動學(xué) 點的合成運動 點M1的科氏加速度 例8矩形板ABCD以勻角速度 繞固定軸z轉(zhuǎn)動 點M1和點M2分別沿板的對角線BD和邊線CD運動 在圖示位置時相對于板的速度分別為和 計算點M1 M2的科氏加速度大小 并標出方向 點M2的科氏加速度 垂直板面向里 解 運動學(xué) 點的合成運動 例9已知 凸輪機構(gòu)以勻角速度 繞O軸轉(zhuǎn)動 圖示瞬時OA r A點曲率半徑 已知 求 該瞬時頂桿AB的速度和加速度 選取動點 AB上的A點 動系 凸輪 定系 地面 解 由 大小 方向 r n 作出速度平行四邊形如圖示 沿AB 運動學(xué) 點的合成運動 由牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理 大小 方向 2r n 沿AB 同n 0 與n相反 作出加速度矢量圖 并向n軸投影得 運動學(xué) 點的合成運動 例10曲柄擺桿機構(gòu) 已知 O1A r 1 取O1A桿上A點為動點 動系固結(jié)在O2B上 試計算動點A的科氏加速度 解 方向 與相同 運動學(xué) 點的合成運動 點的合成運動小結(jié) 1 一點 二系 三運動 3 加速度合成定理牽連運動為平移時 牽連運動為轉(zhuǎn)動時 2 速度合成定理 一 概念及公式 點的絕對運動為點的相對運動與牽連運動的合成 運動學(xué) 點的合成運動 1 選擇動點 動系和定系 2 分析三種運動 絕對運動 相對運動和牽連運動 3 作速度分析 畫出速度平行四邊形 求出有關(guān)未知量 速度 角速度 4 作加速度分析 畫出加速度矢量圖 求出有關(guān)未知量 加速度 角加速度 二 解題步驟 運動學(xué) 點的合成運動 1 恰當(dāng)?shù)剡x擇動點 動系和定系 動點和動系不能選在同一剛體上 若有始終接觸的點 應(yīng)選擇始終接觸的那一點為動點 如導(dǎo)桿滑塊機構(gòu)中的滑塊 凸輪導(dǎo)桿機構(gòu)中導(dǎo)桿上與凸輪接觸的點 2 速度問題 一般采用幾何法求解簡便 即作出速度平行四邊形 加速度問題 往往超過三個矢量 一般采用解析法 投影法 求解 三 解題技巧 注意投影軸的選取 運動學(xué) 點的合成運動 1 牽連速度和牽連加速度是牽連點 動系上的與動點相重合的點相對定系 的速度和加速度 2 作速度平行四邊形時 要使絕對速度為平行四邊形的對角線 3 牽連運動為轉(zhuǎn)動時 作加速度分析不要丟掉科氏加速度 正確分析和計算 4 加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影 與靜平衡方程的投影式不同 四 注意問題 運動學(xué) 點的合成運動 已知 求 OA桿的 a 選取動點 BC上的D點 動系 OA桿 解 大小 方向 沿OA 作出速度平行四邊形如圖示 v OA 練習(xí)1搖桿滑道機構(gòu) 運動學(xué) 點的合成運動 牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理 大小 方向 OD 2 沿OA指向O 沿OA a OA OA 其中 加速度矢量如圖示 向 軸投影 因不需要求相對a 得 運動學(xué) 點的合成運動 1 先取動點 O1A上的A點 動系 BCD 解 已知 圖示瞬時 大小 方向 沿BC 作出速度平行四邊形如圖示 1r O1A 水平 練習(xí)2曲柄滑塊機構(gòu) 求 該瞬時O2E桿的w2 運動學(xué) 點的合成運動 2 再取動點 BCD上的F點 動系 O2E桿 大小 方向 沿O2E 作出速度平行四邊形如圖示 r 1sin O2E 運動學(xué) 點的合成運動 練習(xí)3凸輪機構(gòu)已知 凸輪半徑為R 圖示瞬時O C在一條鉛直線上 選取動點 凸輪上的C點 動系 OA桿 解 大小 方向 沿OA v OC 求 該瞬時OA桿的角速度和角加速度 作出速度矢量圖如圖示 運動學(xué) 點的合成運動 由牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理 OC 2 沿OC指向O 沿OA a OC 0 其中 運動學(xué) 點的合成運動 加速度矢量如圖示 向 軸投影 得 OC 2 沿OC指向O OA a OC 0 運動學(xué) 點的合成運動 已知 主動輪O轉(zhuǎn)速為n 30r min OA 150mm 圖示瞬時OA OO1 求 O1D桿的 1 1和滑塊B的速度及加速度 1 先選取動點 輪O上的A點 動系 O1D桿 定系 基座 解 由 大小 方向 O1D OA OA O1D