2020海淀區(qū)高三數(shù)學期末上學期試題及答案

海淀區(qū)高三年級第一學期期末練習 數(shù) 學 2020. 01本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，則集合是 （A）（B）（C）（D）（2）拋物線的焦點坐標為（A）（B）（C）（D）（3）下列直線與圓相切的是（A）（B）（C）（D）（4）已知，且，則（A）（B）（C）（D）（5）在的展開式中，的系數(shù)為（A）（B）（C）（D）（6）已知平面向量滿足，且，則的值為（A）（B）（C）（D）（7）已知, , 是三個不同的平面，且，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）已知等邊邊長為3. 點D在BC邊上，且，. 下列結(jié)論中錯誤的是（A）（B）（C）（D）（9）聲音的等級（單位：dB）與聲音強度（單位：）滿足. 噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB；一般說話時，聲音的等級約為60dB，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的（A）倍（B）倍（C）倍（D）倍（10）若點為點在平面上的正投影，則記. 如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與，不重合），. 給出下列三個結(jié)論：線段長度的取值范圍是；存在點使得平面；存在點使得.其中，所有正確結(jié)論的序號是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（11）在等差數(shù)列中，則_. （12）若復數(shù)，則=_. （13）已知點A，點,分別為雙曲線 的左、右頂點. 若ABC為正三角形，則該雙曲線的離心率為_.（14）已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是_.（15）用“五點法”作函數(shù)的圖象時，列表如下：則_，_.（16）已知曲線C：（為常數(shù)）.（i）給出下列結(jié)論：曲線C為中心對稱圖形；曲線C為軸對稱圖形；當時，若點在曲線上，則或.其中，所有正確結(jié)論的序號是 .（ii）當時，若曲線所圍成的區(qū)域的面積小于，則的值可以是 .（寫出一個即可）三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（17）（本小題共13分）已知函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.（18）（本小題共13分）如圖，在三棱錐中，平面平面，和均是等腰直角三角形，分別為, 的中點. （）求證：平面；（）求證：；（）求直線與平面所成角的正弦值.（19）（本小題共13分）某市城市總體規(guī)劃（20162035年）提出到2035年實現(xiàn)“15分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身4個方面構(gòu)建 “15分鐘社區(qū)生活圈”指標體系，并依據(jù)“15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為0.61）、良好小區(qū)（指數(shù)為0.40.6）、中等小區(qū)（指數(shù)為0.20.4）以及待改進小區(qū)（指數(shù)為0 0.2）4個等級. 下面是三個小區(qū)4個方面指標的調(diào)查數(shù)據(jù)： 小區(qū) 指標值權(quán)重A小區(qū)B小區(qū)C小區(qū)教育與文化（0.20）0.70.90.1醫(yī)療與養(yǎng)老（0.20）0.70.60.3交通與購物（0.32）0.50.70.2休閑與健身（0.28）0.50.60.1注：每個小區(qū)“15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)，其中為該小區(qū)四個方面的權(quán)重，為該小區(qū)四個方面的指標值（小區(qū)每一個方面的指標值為01之間的一個數(shù)值）.現(xiàn)有100個小區(qū)的“15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：分組0,0.2）0.2,0.4）0.4,0.6）0.6,0.8）0.8,1頻數(shù)1020303010（）分別判斷A，B，C三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；（）對這100個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進小區(qū)進行分層抽樣，抽取10個小區(qū)進行調(diào)查，若在抽取的10個小區(qū)中再隨機地選取2個小區(qū)做深入調(diào)查，記這2個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.（20）（本小題共14分）已知橢圓的右頂點，且離心率為（）求橢圓的方程；（）設為原點，過點的直線與橢圓交于兩點，直線和分別與直線交于點,求與面積之和的最小值.（21）（本小題共13分）已知函數(shù).（）求曲線在點處的切線方程；（）若函數(shù)有極小值，求證：的極小值小于.（22）（本小題共14分）給定整數(shù)，數(shù)列每項均為整數(shù)，在中去掉一項, 并將剩下的數(shù)分成個數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為. 將中的最小值稱為數(shù)列的特征值.（）已知數(shù)列，寫出的值及的特征值；（）若，當，其中且 時，判斷與的大小關系，并說明理由；（）已知數(shù)列的特征值為，求的最小值.海淀區(qū)2020屆高三年級第一學期期末練習參考答案 數(shù) 學 2020.01閱卷須知:1.評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應得的累加分數(shù)。2.其它正確解法可以參照評分標準按相應步驟給分。一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分. 題號12345678910答案DBACAABCBD二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.題號111213141516答案02； ；均可三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（17）解：（） . 因為的單調(diào)遞增區(qū)間為， 令， 得. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. （）方法1：因為， 所以. 又因為，的最大值為1，所以. 解得. 所以的最小值為. 方法2：由（）知：當且僅當時，取得最大值1. 因為在區(qū)間上的最大值為，所以. 所以的最小值為. （18）解：（）在中，M，N分別為VA，VB的中點，所以為中位線.所以. 又因為平面，平面，所以平面. （）在等腰直角三角形中，,所以. 因為平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 又因為平面，所以. （）在平面ABC內(nèi)過點C做垂直于AC，由（）知，平面，因為平面，所以. 如圖,以為原點建立空間直角坐標系. 則，.，. 設平面的法向量為，則 即令則，,所以. 直線與平面所成角大小為，. 所以直線與平面所成角的正弦值為.（19）解：（）方法1:A小區(qū)的指數(shù)， ,所以A小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū); B小區(qū)的指數(shù)， ,所以B小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū); C小區(qū)的指數(shù)， ,所以C小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū). 方法2:A小區(qū)的指數(shù) ,所以A小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū); B小區(qū)的指數(shù).B小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū); C小區(qū)的指數(shù) . C小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū). （在對A、B、C小區(qū)做說明時必須出現(xiàn)與0.6比較的說明.每一項中結(jié)論1分，計算和說明理由1分）（）依題意，抽取10個小區(qū)中，共有優(yōu)質(zhì)小區(qū)個，其它小區(qū)個. 依題意的所有可能取值為0，1，2. ； ； . 則的分布列為： . （20）解：（）解：依題意，得 解得， 所以橢圓C的方程為. （）設點，依題意，點坐標為，滿足（且）,直線的方程為 令，得，即. 直線的方程為 ，同理可得. 設為與軸的交點. . 又因為，,所以. 當且僅當取等號，所以的最小值為. （21）解：（）由已知得， 因為 ， 所以直線的方程為. （）（i）當時，所以（當且僅當且時，等號成立）. 所以在上是單調(diào)遞增函數(shù). 所以在上無極小值. （ii）當時,一元二次方程的判別式，記是方程的兩個根，不妨設.則 所以.此時，隨的變化如下：0極大值極小值所以的極小值為. 又因為在單調(diào)遞增， 所以. 所以的極小值為小于.22. 解：（）由題知：; ; . 的特征值為1. （）. 理由如下：由于，可分下列兩種情況討論：當時，根據(jù)定義可知：同理可得：所以.所以. 當時，同理可得： 所以.所以. 綜上有：.（）不妨設， ， 顯然， . 當且僅當時取等號；