2019年考研數(shù)學(xué)二真題及全面解析(Word版)

2019年考研數(shù)學(xué)（二）真題及完全解析（Word版）一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1、當(dāng)時，若與 是 同階無窮小量，則（ ）、 . 、. 、 . 、 .【答案】.【解析】因?yàn)?，所以，選 .2、曲線的拐點(diǎn)是（ ）、 . 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】，令 ，解得或。當(dāng)時，；當(dāng)時，所以是拐點(diǎn)。故選 .3、下列反常積分發(fā)散的是（ ）、. 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】、，收斂；、，收斂；、，收斂；、，發(fā)散，故選。4、已知微分方程的通解為，則依次為（ ） 、 . 、 . 、. 、.【答案】D.【解析】 由題設(shè)可知是特征方程的二重根，即特征方程為，所以。又知是方程的特解，代入方程的。故選。5、已知積分區(qū)域，則（ ）、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】比較積分的大小，當(dāng)積分區(qū)域一致時，比較被積函數(shù)的大小即可解決問題。由 ，可得 【畫圖發(fā)現(xiàn)包含在圓的內(nèi)部】，令，則 ，于是有 ，從而。令，則，。在內(nèi)單調(diào)減少，在單調(diào)增加，又因?yàn)椋试趦?nèi)，即，從而。綜上，選。6、設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，則是兩條曲線，在對應(yīng)的點(diǎn)處相切及曲率相等的（ ）、充分非必要條件. 、充分必要條件. 、必要非充分條件. 、既非充分也非必要條件.【答案】.【解析】充分性：利用洛必達(dá)法則，由可得 及，進(jìn)而推出 ，。由此可知兩曲線在處有相同切線，且由曲率公式可知曲線在處曲率也相等，充分性得證。必要性：由曲線，在處相切，可得，；由曲率相等，可知或。當(dāng)時，所求極限，而未必等于0，因此必要性不一定成立。故選。7、設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣，若線性方程組的基礎(chǔ)解系中只有2個向量，則（ ）。、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】因?yàn)榉匠探M的基礎(chǔ)解系中只有2個向量，所以，從而，則0，故選 。8、設(shè)是3階實(shí)對稱矩陣，是3階單位矩陣，若,且，則二次型的規(guī)范型為（ ）、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】設(shè)是的特征值，根據(jù)得，解得或；又因?yàn)?，所以的特征值?，-2，-2，根據(jù)慣性定理，的規(guī)范型為。故選。二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.9、.【答案】?！窘馕觥?10、曲線在對應(yīng)點(diǎn)處的切線在軸上的截距為 。【答案】.【解析】斜率 ，切線方程為 ，截距為。11、設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則 ?！敬鸢浮?【解析】，12、曲線的弧長為 【答案】【解析】13、已知函數(shù)，則 【答案】【解析】設(shè),則 .14、已知矩陣，表示元素的代數(shù)余子式，則 【答案】.【解析】由行列式展開定理得三、解答題：1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）已知函數(shù)，求，并求函數(shù)的極值【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時， ； ，即在處不可導(dǎo)綜合上述：；令得駐點(diǎn)；是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為；是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為；函數(shù)在處連續(xù)且有極大值16、（本題滿分10分）求不定積分【解析】設(shè) （1）兩邊同乘以且令，可得；（2）兩邊同乘以且令，可得；（3）兩邊分別令，可得；解得。則 ，于是。17、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)是微分方程滿足條件的特解（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)平面區(qū)域，求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積【解析】（1）方程為一階線性非齊次微分方程由通解公式可得，把初始條件代入，得，從而得到 （2）旋轉(zhuǎn)體的體積為18、（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域，計(jì)算二重積分【解析】顯然積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，由對稱性可得 ；將化為極坐標(biāo)，有 ，于是.19、（本題滿分10分）設(shè)是正整數(shù)，記為曲線與軸所形成圖形的面積，求，并求【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，故曲線與軸之間圖形的面積應(yīng)表示為 ，先計(jì)算， 作變量替換 ，于是有 .所以 ，因此 。20、（本題滿分11分）已知函數(shù)滿足關(guān)系式求的值，使得在變換之下，上述等式可化為函數(shù)的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式【解析】在變換之下， ，；把上述式子代入關(guān)系式，得到根據(jù)要求，顯然當(dāng)時，可化為函數(shù)的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式21、（本題滿分11分）已知函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1）至少存在一點(diǎn)，使得；（2）至少存在一點(diǎn)，使得證明：（1）令，則，則由于在連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且，則由拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得，即；又因?yàn)椋瑢υ谏嫌昧_爾定理 ，則至少存在一點(diǎn)，使得；（2）令，顯然 在具有二階導(dǎo)數(shù)，且對分別在上用拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；至少存在一點(diǎn)，使得；對在上用拉格朗日中值定理，則至少存在一點(diǎn)，使得，又因?yàn)椋?2（本題滿分11分）已知向量組：；向量組：若向量組和向量組等價，求常數(shù)的值，并將用線性表示【解析】向量組和向量組等價的充分必要條件是（1）當(dāng)時，顯然， ，兩個向量組等價此時，方程組的通解為，也就是，其中為任意常數(shù)；（2）當(dāng)時，繼續(xù)進(jìn)行初等行變換如下：顯然，當(dāng)且時，同時，也就是，兩個向量組等價這時，可由線性表示，表示法唯一：（3）當(dāng)時，,此時兩個向量組不等價.綜上所述，綜上所述，當(dāng)向量組和向量組等價時，。23、（本題滿分11分）已知矩陣 與 相似，（I）求；（II）求可逆矩陣，使得 .【解析】（I）由于與相似，根據(jù)矩陣相似必要條件，有 ，即，解得 。（II）矩陣是上三角矩陣，易得的特征值為。又因?yàn)榕c相似，所以的特征值也是。對于矩陣：解方程組，可得屬于特征值的線