傳染病與微分方程穩(wěn)定性課件

傳染病與微分方程穩(wěn)定性 1 一 傳染病模型 建立傳染病要考慮的因素非常多 如傳染速度 醫(yī)療能力 死亡 新生人口數(shù)量 人口年齡性別結(jié)構(gòu)等 具體到不同的疾病 還有傳播途徑 發(fā)作速度等問(wèn)題 此外 傳染病模型可以參照用于討論計(jì)算機(jī)病毒的傳播特征等方面 傳染病爆發(fā)期間 感染人數(shù)會(huì)怎樣變化 哪些因素對(duì)其傳染效率的影響最大 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 2 模型目標(biāo) 問(wèn)題 描述傳染病的傳播過(guò)程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律 用機(jī)理分析方法建立模型 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 3 模型假設(shè) 基本假設(shè) 傳染病是由病人通過(guò) 接觸 健康人進(jìn)行傳播的 疾病流行區(qū)域內(nèi)的人分為三類 S類 易感人群 I類 病人 R類 移出者 為簡(jiǎn)單起見(jiàn) 假設(shè)本地區(qū)總?cè)丝诓蛔?為N SIR 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 4 1 SI模型 只考慮S和I兩類人 1 人群個(gè)體之間沒(méi)有差異 病人與易感者在人群中混合均勻 記s t 為t時(shí)刻健康人占總?cè)丝诘谋壤?i t 為t時(shí)刻病人的比例 則s t i t 1 2 人群數(shù)量足夠大 s t 和i t 可以視為連續(xù)且可微的 3 每個(gè)I類人每天 有效接觸 的人數(shù)為常數(shù) 4 不考慮出生與死亡 以及人群的遷入遷出因素 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 5 構(gòu)造模型 令 t 0 得到微分方程 這個(gè)模型可以用于預(yù)報(bào)傳染病爆發(fā)早期 患病人數(shù)的發(fā)展規(guī)律 并預(yù)測(cè)傳染高峰的時(shí)間 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 6 SI模型圖形分析 病人比例隨時(shí)間的變化規(guī)律病人數(shù)增長(zhǎng)速率與病人數(shù)的關(guān)系 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 7 增派防疫 醫(yī)療人員 采取放假 隔離等措施 普及防疫措施 知識(shí) 調(diào)整臨床醫(yī)療策略 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 8 SI模型結(jié)果分析 這個(gè)模型的缺陷是顯而易見(jiàn)的 比如t 時(shí) i t 1 這表明本地區(qū)最后所有人都會(huì)被感染 出現(xiàn)這種結(jié)果的原因是假設(shè)系統(tǒng)中只有兩種人 即病人和易感人群 而且沒(méi)有考慮病人會(huì)被治愈的因素 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 9 1 假設(shè) 前面四條都和模型A一樣 再添加一條 5 病人以固定的比率痊愈 再次成為易感人群 每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為 2 SIS模型 可治愈但不免疫模型 表示日治愈率 表現(xiàn)的是本地區(qū)的醫(yī)療水平 所以1 就可以表示傳染病的平均感染期 也是一個(gè)病人從發(fā)病到被治愈經(jīng)歷的時(shí)間 根據(jù)假設(shè)5 Logistic模型被修改為 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 10 構(gòu)造模型 定義一個(gè)常數(shù) 根據(jù) 和1 的定義 就是一個(gè)病人在整個(gè)患病期間有效接觸的平均人數(shù) 這在模型里被稱為接觸數(shù) 將 代入方程中 得到 求解這個(gè)方程 得到解為 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 11 模型求解 1時(shí) t 則i t 1 1 畫(huà)出解的圖象為 1 t 時(shí)i t 0 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 12 模型結(jié)果分析 1 t 時(shí)i t 0 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 13 1 假設(shè) 這里的假設(shè)類似于模型B 只是引入R類人群 分別記s t i t r t 為病人 易感人群 移出者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?s t i t r t 1 另外 日接觸率 日治愈率 3 SIR模型 免疫模型 根據(jù)假設(shè) 模型被修正為 初值條件為i 0 i0 r 0 r0 s 0 s0 注意 此方程組無(wú)法求解析解 可以求數(shù)值解 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 14 模型求解 采用常微分方程定性理論的分析辦法 將方程組轉(zhuǎn)化成下面的形式 其中s 0 i 0且s i 1 這個(gè)方程是可以求解析解的 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 15 下面我們來(lái)看隨著時(shí)間的推移 s t I t r t 的變化規(guī)律 首先 t 時(shí) 分別以s i r 記各自的極限 這些極限都存在 模型分析 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 16 i 0 用反證法 假設(shè)i 0 那么必然有i 0 根據(jù)極限的定義 對(duì)于充分大的t 都應(yīng)該有i t 2 把這個(gè)結(jié)論代入方程組 模型分析 dr dt i 2 這會(huì)導(dǎo)致r t 這跟上面r t 的極限也存在的結(jié)論有矛盾 所以只能有 i 0 也就是說(shuō)傳染病最終將消失 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 17 其次 考慮隨著t的變化 i s平面上解的軌線變化情況 大概的走勢(shì)圖為 模型分析 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 18 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 19 1 是一個(gè)邊界點(diǎn) 為了讓傳染病不蔓延 需要調(diào)整s0和1 具體的方法 一是降低s0 如接種疫苗 使S類人群直接變成R類 二是提高1 使之大于s0 也就是降低 而提高 強(qiáng)化衛(wèi)生教育和隔離病人 同時(shí)提高醫(yī)療水平 模型分析 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 20 對(duì)參數(shù) 的估計(jì) 令解兩端同時(shí)取t 因?yàn)閕 0 得到 參數(shù)估計(jì) 根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和此公式就可以得到 的估計(jì)值 關(guān)于傳染病模型 我們還可以進(jìn)一步考慮更復(fù)雜的情形 如考慮出生率 死亡率 防疫措施的作用 潛伏期等 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 21 其他類型的傳染病模型 SIES模型 健康 染病 潛伏期 健康不免疫SIER模型 健康 染病 潛伏期 移出系統(tǒng)SIRS模型 健康 染病 短時(shí)免疫 健康 易感 考慮抵抗能力考慮地域傳播考慮傳播途徑 接觸 空氣 昆蟲(chóng) 水源等 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 22 傳染病模型本質(zhì)上就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移的一個(gè)速度方程 如果具有多個(gè)狀態(tài) 則需要多個(gè)方程組成的方程組 因此完全可以采用其他形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型加以描述 采用常微分方程的主要優(yōu)勢(shì)在于分析方法和計(jì)算方法都比較成熟 更容易得到豐富的結(jié)論 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 23 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程 建模目的變成了時(shí)間充分長(zhǎng)以后會(huì)如何 即研究事物最終的發(fā)展趨勢(shì) 借助微分方程穩(wěn)定性理論 不求解微分方程 描述事物某些特征的最終穩(wěn)定狀態(tài) 三 穩(wěn)定性模型 比如 商品的價(jià)格與其價(jià)值的變化關(guān)系 食肉動(dòng)物與草食性動(dòng)物數(shù)量的變化規(guī)律 侵入人體的病菌與白血球的數(shù)量變化關(guān)系 投入一粒石子的池塘水面振幅變化規(guī)律 隨著時(shí)間的推移 最終的結(jié)局是什么 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 24 事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定 時(shí)間 這些現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中都有實(shí)用背景和研究?jī)r(jià)值 事物的某些特征 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 25 一階微分方程組 首先求方程組的平衡點(diǎn) 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 26 其次將方程組線性化 其系數(shù)矩陣為 p 0且q 0時(shí)平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定 p 0或q 0時(shí)平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 27 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 28 設(shè)同一環(huán)境中有甲 乙兩個(gè)種群 x1 t x2 t 分別記t時(shí)刻甲 乙種群的數(shù)量 r1 r2為各自固有的增長(zhǎng)率 N1 N2為各自環(huán)境最大容量 據(jù)此建立下面的模型 其中 1 2是非常關(guān)鍵的指標(biāo) 反映一個(gè)種群對(duì)另一種群的競(jìng)爭(zhēng)能力 案例 生物種群的競(jìng)爭(zhēng)模型 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 29 穩(wěn)定性分析 競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)局 得到四個(gè)平衡點(diǎn) P1 N1 0 P2 0 N2 P3 0 0 f 0 g 0 p 0且q 0時(shí)P0穩(wěn)定 p 0或q 0時(shí)P0不穩(wěn)定 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 30 2 1 1 1 1 1 2 1 不穩(wěn)定 1 1 2 1 p 0而且q 0 P1 N1 0 P2 0 N2 P3 0 0 當(dāng)穩(wěn)定性定理無(wú)法給出全部穩(wěn)定性條件時(shí) 我們需要結(jié)合使用幾何方法 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 31 1 11 x2 x1 0 0 0 N2 N1 0 S1 S2 S3 幾何分析表明 此時(shí)P1 N1 0 穩(wěn)定 傳染病與微分方程穩(wěn)定性 32 2 1 1 2 1 x2 x1 0 0 0 N2