(1)彈性波的基本理論

第一節(jié)彈性介質與地震波一 彈性介質地震勘探的地球物理前提是地層間的彈性差異 地震勘探中將地層叫做介質 因此需要研究地層介質的彈性性質 第一章地震勘探的理論基礎 巖層受外力產(chǎn)生形變 將巖層隨外力消失而恢復原形的形變稱為彈性形變 產(chǎn)生彈性形變的介質叫彈性介質 在彈性介質內傳播的地震波稱地震彈性波 研究地震彈性波可用彈性波理論 如虎克定律等 可以對介質進行分類如下 一 各向同性介質和各向異性介質對某一特定巖層 如果沿不同方向測定的物理性質均相同 稱各向同性介質 否則是各向異性介質 二 均勻介質 層狀介質若介質的彈性性質不僅與測定方向無關 而且與坐標位置無關 就稱為均勻各向同性介質 如速度v c 常數(shù) 非均勻介質中 介質的性質表現(xiàn)出成層性 稱這種介質為層狀介質 其中每一層是均勻介質 不同介質層的分界處稱界面 平面或曲面 兩個界面之間的間隔稱為該層的厚度 界面 h厚度 界面 將速度v是空間連續(xù)變化函數(shù)的介質定義為連續(xù)介質 連續(xù)介質是層狀介質的一種極限情況 即當層狀介質的層數(shù)無限增加 每層的厚度h無限減小 層狀介質就過渡為連續(xù)介質 如v v0 1 z 叫線性連續(xù)介質 V0是表層介質的速度 z是深度 是速度隨深度的變化率 三 連續(xù)介質 一 應力與應變應力 彈性體受力后產(chǎn)生的恢復原來形狀的內力稱內應力 簡稱為應力 應力和外力相抗衡 阻止彈性體的形變 二 應力應變與彈性參數(shù) 對于一個均勻各向同性的彈性圓柱體 設作用于s面上的法向應力為N 若力f在s面上均勻分布 則應力pn定義為Pn f s 1 1 1 若外力f非均勻分布 則可以取一小面元 S 作用于小面元上的外力為 f 則應力定義為 因此應力的數(shù)學定義為 單位橫截面上所產(chǎn)生的內聚力稱為應力 根據(jù)力的分解定理 可以將力分解成垂直于單元面積的應力 法向應力 相切于單元面積的應力 切向應力 剪切應力 應力與應變 正應力 x y z使介質產(chǎn)生縱波 切應力 xy xz yz ij使介質產(chǎn)生橫波 下腳標i表示應力方向 j表示應力作用于垂直于j軸的平面 物理定義 彈性體受應力作用 產(chǎn)生的體積和形狀的變化稱為應變 只發(fā)生體積變化而形狀不變的應變稱正應變 反之 只發(fā)生形狀變化的應變稱為切應變 數(shù)學定義 彈性理論中 將單位長度所產(chǎn)生的形變稱應變 2 應變 例如 柱體原長為L 長度的變化量位 L 則應變等于 L L3 應力與應變的關系應力與應變成正比關系的物體叫完全彈性體 虎克定律表示了應力與應變之間的線性關系 對于一維彈性體 虎克定律為F kx對于三維彈性體 用廣義虎克定律表示應力與應變之間的關系 二 彈性模量 彈性參數(shù) 1 楊氏彈性模量 E E表示膨脹或壓縮情況下應力與應變的關系 所以又叫壓縮模量 數(shù)學定義 物體受脹縮力時應力與應變之比 設沿x方向受應力為f s 產(chǎn)生的應變?yōu)?L L 則楊氏彈性模量物理定義 楊氏彈性模量表示固體對所受作用力的阻力的度量 固體介質對拉伸力的阻力越大 則楊氏彈性模量越大 物體越不易變形 反過來說 堅硬的不易變形的物體 楊氏彈性模量大 在拉伸變形中 物體的伸長總是伴隨著垂直方向的收縮 所以把介質橫向應變與縱向應變之比稱泊松比 2 泊松比 式中加負號表示縱向拉長總是伴隨著橫向縮短 為使泊松比為正 要加負號 顯然泊松比是表示物體變形性質的一個參數(shù) 如果介質堅硬 在同樣作用力下 橫向應變小 泊松比就小 可小到0 05 而對于軟的未膠結的土或流體 泊松比可高達0 45 0 5 一般巖石的泊松比為0 25左右 設一物體 受到靜水柱壓力p的作用 產(chǎn)生體積形變 v v 其中v是物體的原體積 v是體積變化量 但形狀未發(fā)生變化 則這種情況下的應力與應變的比稱為體變模量 3 體變模量 指物體受剪切應力作用 并發(fā)生形狀變化時 應力與應變之比 如圖所示 受剪切力為 xy 切變角為 則剪切模量為 xy 4 剪切模量 彈性模量 是阻止剪切應變的度量 液體的 0 因此沒有抗剪切能力 液體內也不會產(chǎn)生橫波 彈性模量之間的關系式 三 波動方程 是地震波傳播規(guī)律的方程 在不同的介質模型中 地震波傳播有不同的規(guī)律 各種不同的傳播規(guī)律需用不同的傳播方程描述 均勻 各向同性 理想彈性介質是一種最簡單的介質模型 根據(jù)固體彈性動力學理論 地震波在均勻 各向同性 理想彈性介質中傳播滿足以下偏微分方程 該式稱為矢量彈性波方程 式中矢量U表示介質質點受外力 F 作用后的位移 稱為位移矢量 U U u v w u v w分別為三個坐標軸的位移分量 矢量F表示對介質的外力 稱為力矢量 在彈性波方程中 外力F 爆炸力或錘擊 既包含脹縮力 正壓力 也包含旋轉力 剪切力 位移U也包含體變和形變兩部分 對 1 1 7 式兩邊取散度 div 即對介質只施加脹縮力 可得縱波滿足的方程 同樣 若對 1 1 7 式兩邊取旋度 即只對介質施加旋轉力 可得橫波滿足的方程 令 1 1 10 rotF代表旋轉力 該式描述了在只有旋轉力作用時 彈性介質只產(chǎn)生與形變 有關的擾動 1 1 9 式為用位移表示的橫波波動方程 式中vs為橫波傳播速度 為使縱 橫波方程簡單化 在場滿足一定的物理條件下 可進一步用標量位函數(shù)表達縱 橫波方程 位函數(shù)表示的縱 橫波波動方程 式 1 1 12 1 1 13 是標量位函數(shù)表示的三分量標量波動方程 1 1 12 式是縱波標量波動方程 在波傳播方程中 當速度vp vs分別為