向心加速度公式推導(dǎo)的幾種方法.doc

【字體： A】向心加速度公式推導(dǎo)向心加速度是勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的教學(xué)難點(diǎn)，這是由于學(xué)生因長(zhǎng)期接受標(biāo)量運(yùn)算而產(chǎn)生的思維定勢(shì)，認(rèn)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)中物體運(yùn)動(dòng)速率不變，故其因此我們?cè)诮虒W(xué)中必須強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)，一的矢量性，速度的方向變化也表示速度有變化，故v0，另一是速度變化的方向就是加速度的方向。因此在教學(xué)中必須說清楚v的方向。教材中引進(jìn)了速度三角形的方法，實(shí)際上已經(jīng)考慮到了上述兩點(diǎn)。關(guān)于向心加速度公式的推導(dǎo)方法甚多，下面提供幾種有別于課本的推導(dǎo)方法，供大家參考。1 矢量合成法如圖1所示，物體自半徑為r的圓周a勻速率運(yùn)動(dòng)至b，所經(jīng)時(shí)間為t，若物體在a、b點(diǎn)的速率為va=vb=v，則其速度的增量v=vb-va=vb+（-va），由平行四邊形法則作出其矢量圖如圖1。由余弦定理可得可見當(dāng)0時(shí)，=90，即v的方向和vb垂直，由于vb方向?yàn)閳A周切線方向，故v的方向指向圓心.因v的方向即為加速度的方向，可見勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度的方向指向圓心， 。. .2 運(yùn)動(dòng)合成法眾所周知，物體作圓周運(yùn)動(dòng)的條件一是受到一個(gè)指向圓心的向心力的作用.另一是有一個(gè)初速度.可以設(shè)想，若沒有初速度則物體將向著圓心方向作勻加速運(yùn)動(dòng).若沒有向心力，則物體將沿初速度方向作勻速運(yùn)動(dòng).可見圓周運(yùn)動(dòng)應(yīng)當(dāng)是沿圓心方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)和沿初速度方向的勻速運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).如圖2所示，物體自a至b的運(yùn)動(dòng)，可看成先由a以速度v勻速運(yùn)動(dòng)至c，再由c以加速度勻加速運(yùn)動(dòng)至b，由圖可知當(dāng)to時(shí)ac方向的運(yùn)動(dòng)可以忽略.故物體只有指向圓心方向的加速度.3 位移合成法如圖3所示，設(shè)物體自a點(diǎn)經(jīng)t沿圓周運(yùn)動(dòng)至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向運(yùn)動(dòng)為勻加速由圖知：acbadb，故有acab=abad，4 類比法設(shè)有一位置矢量r繞o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其矢端由a至b時(shí)發(fā)生的位移為s（如圖4）.若所經(jīng)時(shí)間為t，則在此段時(shí)間內(nèi)的平均速率顯然這個(gè)速率描述的是位置矢量矢端的運(yùn)動(dòng)速率，當(dāng)t趨近于零時(shí)，這個(gè)平均速率就表示位置矢量的矢端在某一時(shí)刻的即時(shí)速率，如果旋轉(zhuǎn)是勻角速的，則其矢端的運(yùn)動(dòng)也是勻速率的，易知其速率（1）式中t為旋轉(zhuǎn)周期.再如圖5是一物體由a至b過程中，每轉(zhuǎn)過1/8圓周，速度變化的情況?，F(xiàn)將其速度平移至圖6中，容易看出圖6和圖5相類似，所不同的是圖5表示的是位置矢量的旋轉(zhuǎn).，而圖6則是速度矢量的旋轉(zhuǎn)，顯然加速度是速度的變化率，即由圖6可知，這個(gè)速度變化率其實(shí)就是端的旋轉(zhuǎn)速率，其旋轉(zhuǎn)半徑就是速率v的大小，故有比較圖5圖6可以看出當(dāng)to時(shí)v的方向和s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相