初三數(shù)學新題型解析-探究性問題-人教版

初三數(shù)學新題型解析 探究性問題 人教版一. 本周教學內(nèi)容： 新題型解析探究性問題 傳統(tǒng)的解答題和證明題，其條件和結(jié)論是由題目明確給出的，我們的工作就是由因?qū)Ч驁?zhí)果索因。而探究性問題一般沒有明確的條件或結(jié)論，沒有固定的形式和方法，要求我們認真收集和處理問題的信息，通過觀察、分析、綜合、歸納、概括、猜想和論證等深層次的探索活動，認真研究才能得到問題的解答。開放性、操作性、探索性和綜合性是探究性問題的明顯特征。這類題目形式新穎，格調(diào)清新，涉及的基礎知識和基本技能十分廣泛，解題過程中有較多的創(chuàng)造性和探索性，解答方法靈活多變，既需要扎實的基礎知識和基本技能，具備一定的數(shù)學能力，又需要思維的創(chuàng)造性和具有良好的個性品質(zhì)。 1. 閱讀理解型 這類題主要是對數(shù)學語言（也包括非數(shù)學語言）的理解和應用進行考查。要求能夠讀懂題目，理解數(shù)學語言，特別是非數(shù)學語言，并能進行抽象和轉(zhuǎn)化及文字表達，能根據(jù)引入的新內(nèi)容解題。這是數(shù)學問題解決的開始和基礎。 例1. （1）據(jù)北京日報2000年5月16日報道：北京市人均水資源占有量只有300立方米，僅是全國人均占有量的，世界人均占有量的。問：全國人均水資源占有量是多少立方米？世界人均水資源占有量是多少立方米。 （2）北京市一年漏掉的水，相當于新建一個自來水廠。據(jù)不完全統(tǒng)計，全市至少有個水龍頭、個抽水馬桶漏水。如果一個關(guān)不緊的水龍頭，一個月能漏掉a立方米水；一個漏水馬桶，一個月漏掉b立方米水，那么一年造成的水流失量至少是多少立方米（用含a、b的代數(shù)式表示）； （3）水源透支令人擔憂，節(jié)約用水迫在眉睫。針對居民用水浪費現(xiàn)象，北京市將制定居民用水標準，規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量，超標部分加價收費。假設不超標部分每立方米水費1.3元，超標部分每立方米水費2.9元，某住樓房的三口之家某月用水12立方米，交水費22元，請你通過列方程求出北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為多少立方米。 分析：本題是結(jié)合當前社會關(guān)注的熱點和難點問題環(huán)保問題設計的題組，著重考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力，以及閱讀理解、檢索、整理和處理信息的能力，解好本題的關(guān)鍵是認真閱讀理解題意，剖析基本數(shù)量關(guān)系。 解：（1） 答：全國人均水資源占有量是2400立方米，世界人均水資源占有量是9600立方米。 （2）依題意，一個月造成的水流失量至少為立方米 所以，一年造成的水流失量至少為立方米 （3）設北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為x立方米 依題意，得 解這個方程，得x=8 答：北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為8立方米。 例2. 閱讀下列題目的解題過程： 已知a、b、c為的三邊，且滿足，試判斷的形狀。 解： 問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號：_； （2）錯誤的原因為：_； （3）本題正確的結(jié)論為：_。 分析：認真閱讀，審查每一步的解答是否合理、有據(jù)、完整，從而找出錯誤及產(chǎn)生錯誤的原因。 答：（1）C；（2）也可以為零；（3）是等腰三角形或直角三角形。 例3. 先閱讀第（1）題的解法，再解第（2）題： （1）已知，p、q為實數(shù)，且，求的值。 解： （2）已知，m、n為實數(shù)，且，求的值。 分析：本題首先要求在閱讀第（1）題規(guī)范的解法基礎上，總結(jié)歸納出逆用方程根的定義構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式值的方法，并加以應用。但這種應用并非機械模仿，需要先對第（2）題的第二個方程變形轉(zhuǎn)化，才能實現(xiàn)信息遷移，建模應用。 解：且 由根與系數(shù)的關(guān)系可得 說明：本題考查了閱讀理解、舉一反三、觸類旁通、創(chuàng)造性地解決新問題的能力。 例4. 閱讀下列材料： “， 解答問題： （1）在和式中，第五項為_，第n項為_，上述求和的想法是：通過逆用_法則，將和式中各分數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)之差，使得除首、末兩項外的中間各項可以_，從而達到求和的目的。 （2）解方程 分析：本題是從一個和式的解題技巧入手，進而探索具有類似特征的分式方程的解題思路。 解：（1）第五項為，第n項為，上述求和的想法是：通過逆用分數(shù)減法法則，將和式中各分數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)之差，使得除首、末兩項外的中間各項都可以互相抵消，從而達到求和的目的。 （2）方程左邊的分式運用拆項的方法化簡： 化簡可得 例5. 閱讀以下材料并填空。 平面上有n個點（），且任意三個點不在同一直線上，過這些點作直線，一共能作出多少條不同的直線？ （1）分析：當僅有兩個點時，可連成1條直線； 當有3個點時，可連成3條直線； 當有4個點時，可連成6條直線； 當有5個點時，可連成10條直線； （2）歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)，發(fā)現(xiàn)： （3）推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線，取第一個點A有n種取法，取第二個點B有種取法，所以一共可連成條直線，但AB與BA是同一條直線，故應除以2，即 （4）結(jié)論： 試探究以下問題： 平面上有n（）個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形，一共能作出多少不同的三角形？ （1）分析：當僅有3個點時，可作_個三角形； 當有4個點時，可作_個三角形； 當有5個點時，可作_個三角形； （2）歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)： （3）推理：_ （4）結(jié)論：_ 分析：本題是從閱讀材料中得到研究數(shù)學問題的方法：分析歸納猜想推理結(jié)論，再用這種方法探究解決新的數(shù)學問題。 解：（1）當僅有3個點時，可作 1 個三角形； 當有4個點時，可作 4 個三角形； 當有5個點時，可作 10 個三角形。 （3）平面上有n個點，過不在同一條直線上的三點可以確定一個三角形，取第一個點A有n種取法，取第二個點B有種取法，取第三個點C有種取法，所以一共可以作個三角形，但是同一個三角形，故應除以6，即 （4） 2. 探究規(guī)律型 例6. 觀察下列各式： 想一想，什么樣的兩數(shù)之積等于這兩數(shù)之和？設n表示正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個規(guī)律為：_=_+_。 分析：本題從比較簡單的例子入手，探索算式的規(guī)律，易得出，其中n為正整數(shù)。 例7. 如圖，在直角坐標系中，第一次將變換成，第二次將變換成，第三次將變換成。 已知A（1，3），（2，3），（4，3），（8，3）；B（2，0），（4，0），（8，0），（16，0）。 （1）觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此變換規(guī)律再將變換成，則的坐標是_，的坐標是_。 （2）若按第（1）題找到的規(guī)律將進行了n次變換，得到，比較每次變換中三角形頂點坐標有何變化，找出規(guī)律，推測的坐標為_，的坐標是_。 分析：認真觀察不難發(fā)現(xiàn)，無論怎樣變換，A點和B點的縱坐標保持不變，橫坐標按兩倍遞增。所以得的坐標為（16，3），的坐標為（32，0），依此規(guī)律類推，不難推測出的坐標為（，3），的坐標為（）。 例8. 在中，D為BC邊的中點，E為AC邊上的任意一點，BE交AD于點O。某學生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)了如下的事實： （1）當時，有（如圖1）； （2）當時，有（如圖2）； （3）當時，有（如圖3）； 在圖4中，當時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用n表示的一般結(jié)論，并給出證明（其中n是正整數(shù)） 解：依題意可以猜想：當時，有成立。 證明：過D作DF/BE交AC于點F，如圖4。 D是BC的中點 F是EC的中點 說明：本題讓我們閱讀有關(guān)材料，從中感悟出結(jié)論，提出猜想，并對猜想進行證明。將閱讀理解與探索猜想連接在一起，是考查能力的一道好題，同時它又給予我們發(fā)現(xiàn)真理的一個思維過程：觀察分析歸納猜想驗證證明。 例9. 已知：是O的內(nèi)接三角形，BT為O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P做BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F。 （1）當點P在線段AB上時（如圖），求證：； （2）當點P為線段BA延長線上一點時，第（1）題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由； （3）若，求O的半徑。 分析：第（1）問是證明圓中等積式，利用弦切角定理及平行線性質(zhì)易得出兩個三角形相似，從而得比例式；第（2）問是研究題設條件下點P為線段BA延長線上一點時，第（1）問的結(jié)論是否還成立？探求圖形變化中不變的數(shù)量關(guān)系，需要據(jù)題意正確地畫出圖形，分析圖形的幾何性質(zhì)，進行猜想、判斷，并進行推理和證明。 證明：（1）BT切O于點B 解：（2）當P為BA延長線上一點時，第（1）題的結(jié)論仍成立（如圖）。 BT切O于點B （3）解法一：作直徑AH，連結(jié)BH BT切O于點B O半徑為3。 解法二：作直徑BH，連結(jié)AH（如圖） BT切O于點B 設AH=x，則BH=3x O半徑為3 3. 探究條件型 探究條件型問題是指問題中結(jié)論明確，而需要完備使結(jié)論成立的條件的題目。解答探求條件型問題的思路是，從所給結(jié)論出發(fā)，設想出合乎要求的一些條件，逐一列出，并進行邏輯證明，從而尋找出滿足結(jié)論的條件。 例10. 已知：如圖，在中，垂足為D，E、F分別是AB、AC的中點。 （1）EF和AD之間有什么特殊的位置關(guān)系？請證明你找到的結(jié)論。 （2）要使四邊形AEDF是菱形，需滿足什么條件？ 解：（1）EF垂直平分AD （2）由（1）知 要使四邊形AEDF是菱形，只需要 顯然需要滿足，即滿足是等腰三角形這個條件。 例11. 如圖，已知點A（0，6）、B（3，0）、C（2，0）、M（0，m），其中m6，以M為圓心，MC為半徑作圓，則 （1）當m為何值時，M與直線AB相切？ （2）當m=0時，M與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？當m=3時，M與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？ （3）由（2）驗證的結(jié)果，你是否得到啟發(fā)，從而說出m在什么范圍內(nèi)取值時，M與直線AB相離？相交？ （2）、（3）只寫結(jié)果，不必寫過程） 分析：（1）屬探求條件型問題，是由給定的結(jié)論以M為圓心，MC長為半徑的M與直線AB相切，反溯探究M點的縱坐標應具備的條件。過點M作，垂足為H，若MH等于半徑MC，根據(jù)直線與圓相切的判定定理，則M與直線AB相切，再進一步追溯使MH=MC時，M點縱坐標m的值。 解：（1）過點M作，垂足為H，若MH=MC，則以M為圓心、MC長為半徑的M與AB相切。 M與直線AB相切 （2）當m=0時，M與直線AB相離；當m=3時，M與直線AB相交 （3）當時，M與直線AB相離；當或時，M與直線AB相交。 例12. 當a取什么數(shù)值時，關(guān)于未知數(shù)x的方程只有正實數(shù)根？ 分析：本題是探究條件的題目，需要從關(guān)于x的方程只有正實數(shù)根出發(fā)，考慮a可取的所有值。首先要驗證a=0時，方程為一元一次方程，方程是否有正實根；然后再考慮，方程為一元二次方程的情況。 解：（1）當a=0時，方程為 （2）當 設方程的兩個實數(shù)根為 要使方程只有正實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，需 解之，得a0 由、可得，當時，原方程有兩個正實根 綜上討論可知：當時，方程只有正實數(shù)根 4. 探究結(jié)論型 探求結(jié)論型問題是指由給定的已知條件探求相應的結(jié)論的問題。解答這類問題的思路是：從所給條件（包括圖形特征）出發(fā)，進行探索、歸納，大膽猜想出結(jié)論，然后對猜想的結(jié)論進行推理、證明。 例13. 如圖，公路上有A、B、C三站，一輛汽車在上午8時從離A站10千米的P地出發(fā)向C站勻速前進，15分鐘后離A站20千米。 （1）設出發(fā)x小時后，汽車離A站y千米，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當汽車行駛到離A站150千米的B站時，接到通知要在中午12點前趕到離B站30千米的C站。汽車若按原速能否按時到達？若能，是在幾點幾分到達；若不能，車速最少應提高到多少？ 分析：這是生活中的一個實際問題。解第（1）問的關(guān)鍵是讀懂題意，求出汽車從P地出發(fā)向C站勻速前進的速度。 第（2）問，沒有給出明確的結(jié)論，需要根據(jù)所給的條件探求，汽車行駛到B站后，若按原速行駛，到達C站的時間。 解：（1）汽車從P地出發(fā)向C站勻速前進，速度為 （2）把代入上式，得 汽車要在中午12點前趕到離B站30千米的C站，車速最少應提高到60千米/時。 例14. 如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB=6，延長BA到F，使FA=AB。若P為線段AF上一個動點（P點與A點不重合），過P作半圓的切線，切點為C，作，垂足為D。過B點作，交PC的延長線于點E，連結(jié)AC、DE。 （1）判斷線段AC、DE所在直線是否平行，并證明你的結(jié)論； （2）設AC為x，AC+BE為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。 分析：本題是要根據(jù)圖形的條件探求AC、DE所在直線的位置關(guān)系。本題的難點在于P是一個動點，那么AC與DE也始終在隨P點的運動而變化。在這種變化中，它們的相對位置是否有一種特定的聯(lián)系？這就要求我們透過現(xiàn)象，抓住問題的本質(zhì)，考察其中的必然聯(lián)系?？捎蓜拥届o，把動點P設在AF上的任意一個位置，根據(jù)題意畫出草圖，再觀察、猜想、推理、判斷AC與DE是否平行。 解：（1）依題意畫出圖形，如圖，判斷線段AC、DE所在直線互相平行，即AC/DE。 證明： PC與O相切于C點，PAB為O的割線 （2）連結(jié)BC 例15. 已知：AB為O的直徑，P為AB延長線上的一個動點，過點P作O的切線，設切點為C。 （1）當點P在AB延長線上的位置如圖1所示時，連結(jié)AC，作APC的平分線，交AC于點D，請你測量出CDP的度數(shù)；圖1 （2）當點P在AB延長線上的位置如圖2和圖3所示時，連結(jié)AC，請你分別在這兩個圖中用尺規(guī)作APC的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡），設此角平分線交AC于點D，然后在這兩個圖中分別測量出CDP的度數(shù)； 猜想：CDP的度數(shù)是否隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化？請對你的猜想加以證明。 解：（1）測量結(jié)果：CDP=45o （2）（作圖略） 圖2中的測量結(jié)果：CDP=45o 圖3中的測量結(jié)果：CDP=45o 猜想：CDP=45o為確定的值，CDP的度數(shù)不隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化。 證法一：連結(jié)BC（如圖） AB是O的直徑 O于點C 證法二：連結(jié)OC（如圖） O于點C 5. 探究存在性型 探究存在性型問題是指在一定的條件下，判斷某種數(shù)學對象是否存在的問題，它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情形，解答這類問題，一般先對結(jié)論作肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結(jié)合已知條件進行推理論證，若導出矛盾，則否定先前假設；若推出合理的結(jié)論，則說明假設正確，由此得出問題的結(jié)論。 例16. 已知：點A（）在拋物線上 （1）求拋物線的對稱軸； （2）若點B與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，問是否存在與拋物線只交于一點B的直線。如果存在，求符合條件的直線；如果不存在，說明理由。 分析：要求過拋物線上點B且僅交拋物線于一點的直線，除了應用判別式解出直線外，不要遺漏與對稱軸平行的這一條直線。 解：（1） 假設存在直線只有一個交點 過B且與拋物線的對稱軸平行的直線是，也與拋物線只有一個交點 所以符合條件的直線為 例17. 已知拋物線，其頂點在x軸的上方，它與y軸交于點C（0，3）與x軸交于點A及點B（6，0），又知方程兩根的平方和等于40。 （1）求此拋物線的解析式； （2）試問：在此拋物線上是否存在一點P，在x軸上方且使。如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，說明理由。 解：（1）設是方程的兩根 拋物線頂點在x軸上方，且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點B（6，0） （2）假設拋物線上有一點P（x,y）使 拋物線的頂點坐標為（2，4），y的最大值是4 點P（x，6）不在拋物線上，即不存在點P在x軸上方且使 例18. 如圖，已知中，AB=4，點D在AB邊上移動（點D不與A、B重合