數(shù)學(xué)華東師大版七年級(jí)下冊(cè)多邊形復(fù)習(xí)小結(jié)

多邊形知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：三角形及有關(guān)概念1三角形：由三條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三角形。2三角形的內(nèi)角：在三角形中，每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角。3三角形的外角：三角形中內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做三角形的外角。4三角形的分類：按角分類：三角形 按邊分類：三角形5三角形的三條重要線段中線：連結(jié)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，頂點(diǎn)與垂足間的線段叫做三角形的高。鈍角三角形有兩條邊上的高在三角形外。三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與對(duì)邊相交于一點(diǎn)，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。重要規(guī)律：三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心。三角形的三條高（或其所在直線）相交于一點(diǎn)。三角形的三條高（或其所在直線）相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三角形的三邊的距離相等。6三角形的內(nèi)角和等于180。7三角形的外角和等于360。8三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。9三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊； 三角形的任意兩邊之差小于第三邊。知識(shí)點(diǎn)二：多邊形及有關(guān)概念1、 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn) 內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應(yīng)注意： 一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù)）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時(shí)要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件,其目的是為了排除幾個(gè)點(diǎn)不共面的情況,即空間 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸多邊形 凸多邊形 凹多邊形(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形知識(shí)點(diǎn)三：正多邊形各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點(diǎn)詮釋： 各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形.知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的對(duì)角線多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線. 如圖2，BD為四邊形ABCD的一條對(duì)角線。要點(diǎn)詮釋： (1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n2)個(gè)三角形。(2)n邊形共有條對(duì)角線。證明：過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)有n3條對(duì)角線(n3的正整數(shù))，又共有n個(gè)頂點(diǎn)，共有n(n3)條對(duì)角線，但過(guò)兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對(duì)角線重復(fù)了一次，凸n邊形，共有條對(duì)角線。知識(shí)點(diǎn)五：多邊形的內(nèi)角和公式1.公式：邊形的內(nèi)角和為.2.公式的證明：證法1：在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來(lái)，共構(gòu)成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和為，再減去一個(gè)周角，即得到邊形的內(nèi)角和為.證法2：從邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以作條對(duì)角線，并且邊形被分成個(gè)三角形，這個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.證法3：在邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，即.要點(diǎn)詮釋： (1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決的基礎(chǔ)思想。(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。 知識(shí)點(diǎn)六：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)。要點(diǎn)詮釋： (1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù). (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180(n3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加 1條邊，內(nèi)角和增加180。 多邊形的外角和等于360，與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)。知識(shí)點(diǎn)七：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問(wèn)題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360；相鄰的多邊形有公共邊。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問(wèn)題：(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對(duì)于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形。事實(shí)上，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，要求k個(gè)正n邊形各有一個(gè)內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360，由此導(dǎo)出k2，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無(wú)空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問(wèn)題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖： 又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)周角360。規(guī)律方法指導(dǎo)1內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少. 每增加一條邊，內(nèi)角的和就增加180（反過(guò)來(lái)也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180的整數(shù)倍.2多邊形外角和恒等于360，與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).3多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；