高量7-密度矩陣ppt課件

1 14密度矩陣 14 1純態(tài)和混合態(tài) 一 定義 1 純態(tài) 如果量子系統(tǒng)的態(tài)可以用Hilbert空間的一個(gè)矢量來(lái)描寫(xiě) 這種態(tài)稱(chēng)為純態(tài) 兩個(gè)純態(tài)通過(guò)疊加可以得到另一個(gè)狀態(tài) 顯然也是Hilbert空間中的一個(gè)矢量 故也是純態(tài) 2 注意 我們過(guò)去所討論的是某一物理量的取值概率 2 混合態(tài) 如果量子系統(tǒng)所處的狀態(tài) 由于統(tǒng)計(jì)物理的原因或量子力學(xué)本身的原因無(wú)法用一個(gè)態(tài)矢量來(lái)描寫(xiě) 系統(tǒng)并不處在一個(gè)確定的態(tài)中 而是有可能處在 這種狀態(tài)沒(méi)法用態(tài)矢量來(lái)表示 稱(chēng)為混合態(tài) 3 比如 一個(gè)系統(tǒng)處在態(tài)的概率為 處于態(tài)的概率為 系統(tǒng)的這個(gè)態(tài)目前還無(wú)法作簡(jiǎn)單的描寫(xiě) 只能用下面的寫(xiě)法來(lái)描述這個(gè)態(tài) 二 物理量A在純態(tài)和混合態(tài)中的平均值 通過(guò)研究這個(gè)問(wèn)題看純態(tài)與混合態(tài)的區(qū)別 對(duì)于純態(tài) 4 假設(shè) 則在上述純態(tài)中 物理量A取值的概率是 而在混合態(tài)中 若系統(tǒng)處在態(tài) 則A取的概率幅是 若系統(tǒng)處在態(tài) 則為 系統(tǒng)既然以概率處于態(tài) 以概率處在態(tài) 那么A取的概率為 這與上式顯然不同 5 具體到X表象 若純態(tài)的態(tài)函數(shù)為 則混合態(tài)的態(tài)函數(shù)可寫(xiě)成 粒子處于點(diǎn)的概率在純態(tài)中為 而在混合態(tài)中為 6 前者是概率幅的相加而后者則是概率本身的相加 我們說(shuō)微觀(guān)粒子表現(xiàn)波動(dòng)性 正是指相干疊加而言 由此可以看出 在純態(tài)中兩個(gè)態(tài)和發(fā)生干涉現(xiàn)象 而混合態(tài)則不發(fā)生干涉 各自表現(xiàn)出自己的位置概率 所以?xún)蓚€(gè)態(tài)形成純態(tài)是相干疊加 而形成混合態(tài)是不相干疊加 而在純態(tài)中 兩態(tài)疊加已形成一個(gè)新態(tài) 它原則上已不再原封不動(dòng)具有原來(lái)兩個(gè)態(tài)的性質(zhì)了 在混合態(tài)中 系統(tǒng)有一定的概率處于態(tài) 當(dāng)它處于此態(tài)時(shí) 它具有態(tài)所有的全部性質(zhì) 對(duì)于態(tài)也是一樣 7 三 兩點(diǎn)說(shuō)明 有時(shí)會(huì)看到一種解釋 說(shuō)在所表現(xiàn)的純態(tài)中 是系統(tǒng)處于態(tài)的概率 是處于態(tài)的概率 這種說(shuō)法是不對(duì)的 若把分別換成 這倒是對(duì)混合態(tài)的正確理解 純態(tài)是一個(gè)全新的態(tài) 處于純態(tài)的系統(tǒng) 不再有可能處于態(tài)或態(tài) 8 2 如果在中 都是某算符A的本征態(tài) 本征值分別為 則在純態(tài)中物理量A取值的概率確是 但物理量取或的概率并不等于系統(tǒng)處于態(tài)和態(tài)的概率 系統(tǒng)處于態(tài)中 不見(jiàn)得取值 比如算符B仍有取值的概率 對(duì)于純態(tài)來(lái)講 系統(tǒng)就是處于態(tài) 不存在 系統(tǒng)處在某態(tài)的概率 這一概念 就看測(cè)哪一個(gè)力學(xué)量 9 從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的角度看 由純態(tài)描寫(xiě)的統(tǒng)計(jì)系綜稱(chēng)為純粹系綜 而由混合態(tài)描寫(xiě)的統(tǒng)計(jì)系綜稱(chēng)為混合系綜 下面看如何用一個(gè)單一的數(shù)學(xué)量來(lái)描述混合態(tài) 14 2密度算符與密度矩陣 一 密度算符 1 定義 純態(tài)中的定義 設(shè)是Hilbert空間中的一個(gè)歸一化的矢量 用其來(lái)描寫(xiě)狀態(tài) 則A在態(tài)中平均值可寫(xiě)為 系綜 ensemble 在一定的宏觀(guān)條件下 大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的 處于各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的 各自獨(dú)立的系統(tǒng)的集合 10 密度算符與概率的關(guān)系 取一組基矢 利用其完全性關(guān)系有 這是一個(gè)新算符 稱(chēng)為密度算符 它由態(tài)矢量完全確定 注意構(gòu)造密度算符時(shí)必須注意使用歸一化的態(tài)矢量 我們?cè)賮?lái)看物理量A在態(tài)中取值的概率 這個(gè)概率是密度算符在本征態(tài)中的平均值 定義 此時(shí) 11 由以上兩式可知 對(duì)于純態(tài) 凡是能用態(tài)矢給出的信息 都可以同樣用密度算符給出 因此是可以完全代替態(tài)矢量來(lái)描寫(xiě)純態(tài)的另一種數(shù)學(xué)量 混合態(tài)中的定義 取如下一般的混合態(tài) 先求物理量A在此混合態(tài)中的平均值 12 在混合態(tài)中 一個(gè)物理量求平均值要通過(guò)兩次平均手續(xù) 2 統(tǒng)計(jì)物理平均求出各量子平均以不同的概率出現(xiàn)時(shí)的平均 即 1 量子力學(xué)平均求出A在每一個(gè)中的平均值 同樣利用一組基的完全性關(guān)系 有 13 如果令 稱(chēng)為混合態(tài)的密度算符或統(tǒng)計(jì)算符 同樣 在混合態(tài)中物理量A取值的概率應(yīng)為量子力學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)物理的概率乘積之和 即 則 14 在混合態(tài)中測(cè)A的平均值 在混合態(tài)中測(cè)A得概率 上式連同式 與純態(tài)情況下的形式一樣 只不過(guò)混合態(tài)的密度算符是參與混合的那些純態(tài)的密度算符的加權(quán)平均 15 來(lái)表示混合態(tài)方便多了 同時(shí)可以看到 純態(tài)是混合態(tài)的一個(gè)特殊情況 至此 我們找到了密度算符這個(gè)量取描述混合態(tài) 是Hilbert空間中的一個(gè)算符 這比用下式 16 方程的推導(dǎo) 2 Liouville方程 在HP空間中 態(tài)矢量不含時(shí) 因此密度算符是一個(gè)不隨時(shí)間而變的算符 在SP空間中 密度算符則是一個(gè)含時(shí)算符 利用薛定諤方程 對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo) 可得密度算符隨時(shí)間變化的規(guī)律 17 這就是密度算符的運(yùn)動(dòng)方程 稱(chēng)為L(zhǎng)iouville方程 注意此式的形式與HP中描述物理量算符的運(yùn)動(dòng)方程 有所不同 18 注意到跡的運(yùn)算 方程的應(yīng)用舉例 可以利用Liouville方程計(jì)算一個(gè)不顯含時(shí)間的物理量在混合態(tài)中的平均值隨時(shí)間的變化 tr A B C tr ABC BAC tr BCA BAC tr B CA AC tr B C A 這正是初量中所學(xué)的公式 力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化 則有 19 3 密度算符的性質(zhì) 對(duì)一個(gè)一般的混合態(tài) 其中是參與構(gòu)成混合態(tài)的那些態(tài) 是相應(yīng)的權(quán)重 通常是系統(tǒng)哈密頓的各個(gè)本征態(tài) 因此構(gòu)成一組基矢 但當(dāng)哈密頓有簡(jiǎn)并本征值時(shí) 未必是互相正交的 所以在下面混合態(tài)性質(zhì)的討論和證明中 盡可能不用互相正交的條件 也不要求它們一定線(xiàn)性相關(guān) 只要求它們是歸一化的 對(duì)于純態(tài) 20 密度算符的跡 有 證明 21 不重疊 因?yàn)楫?dāng)時(shí) 又 所以 對(duì)于 22 而當(dāng)時(shí) 這是個(gè)純態(tài) 顯然 從另一方面講 若是個(gè)純態(tài) 并用表示 則 那么 顯然上述證明不論是否兩兩正交都是成立的 23 密度算符的厄米性 若K表象的基矢為 則密度算符的矩陣元 后面還要介紹 可寫(xiě)為 所以密度算符是厄米算符 由此引出第三個(gè)性質(zhì) 24 厄米算符本征矢量的混合態(tài)的性質(zhì) 1 若混合態(tài)是由一系列相互正交態(tài)構(gòu)成 即對(duì)一切i j成立 則密度算符的本征矢量就是參與構(gòu)成此混合態(tài)的那些態(tài) 而相應(yīng)的本征值就是權(quán)重 即 證明 對(duì)于不是兩兩正交的情況 這一性質(zhì)不成立 但在這種情況下 密度算符仍是厄米算符 因而肯定有一系列本征矢 并設(shè)為 相應(yīng)的本征值為 即 25 則密度算符肯定可以寫(xiě)成 而作為厄米算符的本征矢 肯定彼此正交 2 由前面的討論可知 當(dāng)參與構(gòu)成混合態(tài)的各態(tài) 參與態(tài) 不全正交時(shí) 我們還可以用另外一套正交的參與態(tài)構(gòu)成一個(gè)相同的密度算符 問(wèn)題 這兩組混合態(tài)是否相同的態(tài) 兩種看法 1 從實(shí)驗(yàn)角度看 與兩式所表示的是分別由兩套不同的參與態(tài)構(gòu)成的混合態(tài) 當(dāng)然是不同的態(tài) 26 從理論角度看 對(duì)于這兩個(gè)混合態(tài) 量子力學(xué)所能得到的信息又是完全一樣的 從密度算符上完全無(wú)法判別它們的不同 因此又可以認(rèn)為是同一個(gè)混合態(tài) 我們采用后一種看法 3 一個(gè)密度算符為的混合態(tài) 可以用不同參與態(tài)以不同權(quán)重構(gòu)成 但若要求參與態(tài)彼此正交 則只有一種構(gòu)成方式 這時(shí)參與態(tài)就是本征態(tài) 這樣很自然地產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題 能否只用一組基矢作為參與態(tài) 把系統(tǒng)所有的混合態(tài)表現(xiàn)出來(lái) 從混合態(tài)中能得到什么量子力學(xué)信息 如某一力學(xué)量在其中取某個(gè)本征值的概率 27 用完全性關(guān)系作用于的左右兩邊 有 我們?cè)囈幌?即必須滿(mǎn)足兩個(gè)必要條件 即 令 這樣 則 28 由以上三式可見(jiàn) 用一組正交基表現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)的全部混合態(tài)是可能的 一個(gè)系統(tǒng)的任何混合態(tài)都可以用任何一組正交基表示成如下形式 29 這個(gè)形式的密度算符可以認(rèn)為是形式的推廣 這時(shí)不一定是混合態(tài)的參與態(tài) 當(dāng)是參與態(tài)時(shí) 14 27 恢復(fù)為上式 當(dāng)系統(tǒng)的混合態(tài)的參與態(tài)不是 而是其它正交基或是不完全正交的一組態(tài)時(shí) 系統(tǒng)的混合態(tài)就要用 14 27 表示 式中的可以看成是的推廣 其實(shí)就是以為基的密度矩陣 30 二 約化密度矩陣 1 定義 密度算符在一個(gè)具體表象中的矩陣表示稱(chēng)為密度矩陣 在SP表象中 密度矩陣是含時(shí)的 而在HP表象中則是不含時(shí)的 設(shè)K表象的基矢為 則K表象中的密度矩陣為 31 常常用到位置表象中的密度矩陣 這時(shí)密度矩陣是以連續(xù)編號(hào)的連續(xù)矩陣 其跡為 如果參與構(gòu)成混合態(tài)的都是物理量K的本征態(tài) 則這個(gè)混合態(tài)在K表象中的密度矩陣是對(duì)角矩陣 其對(duì)角元是相應(yīng)的本征值 32 2 約化密度矩陣 常常有這樣的情況 有一個(gè)大系統(tǒng) 而希望求平均值的那個(gè)物理量只與系統(tǒng)的一部分有關(guān) 例如在粒子1 2構(gòu)成的系統(tǒng)中 希望求粒子1的某一物理量F 1 的平均值 這時(shí)上述所有的內(nèi)容仍舊適用 不過(guò)可以做一些簡(jiǎn)化 對(duì)上述提到的雙粒子系統(tǒng) 設(shè)粒子1和2各有一組基矢 則在1 2兩粒子空間的直積空間中 系統(tǒng)態(tài)矢的一般形式為 為使歸一化 系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足 33 處于純態(tài)時(shí) 系統(tǒng)的密度算符是 則密度矩陣元是 現(xiàn)在求粒子1的某物理量F 1 的平均值 比較式 34 即 令 的意思是只對(duì)粒子2取跡 取跡后的仍是粒子1空間的算符 稱(chēng)為描寫(xiě)粒子1的約化密度算符 它在粒子1的某一表象 例如以為基矢的表象 中的矩陣 稱(chēng)為粒子1的約化密度矩陣 35 這一表示完全與粒子2無(wú)關(guān) 是一個(gè)只在粒子1空間中的關(guān)系 即 由上式可知 在一個(gè)雙粒子系統(tǒng)中 只討論一個(gè)粒子的物理量的平均值 其關(guān)系與粒子1處于一個(gè)單粒子狀態(tài)時(shí)的一樣 這樣F 1 的平均值成為 36 這是一與式相同類(lèi)型的密度算符 37 14 3例題 關(guān)于自旋態(tài)的例子 例1設(shè)是自旋的本征態(tài) 分別對(duì)應(yīng)于本征值 比較下列的純態(tài)和混合態(tài) 純態(tài) 混合態(tài) 解 我們?nèi)”硐?設(shè) 38 1 純態(tài) 39 注意 與通常方法所算出的平均值一樣 同理可得 2 混合態(tài) 由此算出 40 3 討論 由所得結(jié)果可明顯看出 混合態(tài)確是兩個(gè)態(tài)的不相干疊加 在混合態(tài)中保存了原有兩態(tài)的特點(diǎn) 如在態(tài)中 的平均值均為零 即 在這兩個(gè)態(tài)的混合態(tài)中 平均值仍保持為零 而的平均值為原兩態(tài)的加權(quán)平均 即 41 所以可以說(shuō) 處于混合態(tài)中的粒子 以權(quán)重處于態(tài)中 以權(quán)重處于態(tài)中 42 因此不能說(shuō) 處于純態(tài)中的粒子 部分地處于態(tài) 部分地處于態(tài) 可見(jiàn)當(dāng)討論兩個(gè)態(tài)疊加成一個(gè)純態(tài)時(shí) 僅僅用一個(gè)算符 如 的本征態(tài)為例來(lái)說(shuō)明是不夠的 只有用一個(gè)算符 如 的兩個(gè)非本征態(tài)才能明顯看出純態(tài)與同權(quán)重的混合態(tài)的不同 而純態(tài)則不相同 本例的純態(tài)有意選擇 的平均值與混合態(tài)相同 但兩個(gè)態(tài)疊加后出現(xiàn)了原態(tài)中都沒(méi)有的性質(zhì) 疊加態(tài)中平均值不再為零 43 把表象基矢稍微改變一下 給換一相因子 取 在則純態(tài)的密度矩陣發(fā)生很大變化 由此得出 44 平均值也發(fā)生了很大變化 顯然已經(jīng)不是原來(lái)那個(gè)純態(tài)了 此時(shí)混合態(tài)的密度矩陣為 可見(jiàn)并沒(méi)有發(fā)生變化 這就是說(shuō) 在相干疊加構(gòu)成純態(tài)時(shí) 兩個(gè)態(tài)的相因子非常重要 嚴(yán)格來(lái)說(shuō) 本例開(kāi)頭問(wèn)題的提法是不完全的 因?yàn)橹唤o出了 而沒(méi)有給出其相對(duì)相位 選擇基矢時(shí)必須連同相位一起選定 45 是密度算符 其本征矢量與本征值很容易算出為 解 這個(gè)態(tài)的密度矩陣是 可以算出 例2研究下列混合態(tài) 46 例3討論一個(gè)約化密度矩陣 設(shè)有一個(gè)雙粒子系統(tǒng) 第一個(gè)是電子 第二個(gè)是質(zhì)子 設(shè)在二粒子自旋空間的直積空間中 4個(gè)基矢的次序及定義如下 14 38 式所表示的混合態(tài) 其密度矩陣是 14 37 式 與 14 36 式所表示的混合態(tài)密度矩陣相同 通常認(rèn)為 14 36 式與 14 38 式是相同的混合態(tài) 前者的參與態(tài)是不正交的 而后者則是正交的 14 38 47 現(xiàn)在取這個(gè)雙粒子系統(tǒng)的一個(gè)純態(tài) 求其中電子自旋的平均值 首先用整個(gè)系統(tǒng)的密度矩陣來(lái)做 然后再用約化密度矩陣來(lái)做 解 1 用整個(gè)系統(tǒng)的密度矩陣來(lái)做 取雙粒子自旋表象 系統(tǒng)態(tài)矢量