高量7-密度矩陣ppt課件

1 14密度矩陣 14 1純態(tài)和混合態(tài) 一 定義 1 純態(tài) 如果量子系統(tǒng)的態(tài)可以用Hilbert空間的一個矢量來描寫 這種態(tài)稱為純態(tài) 兩個純態(tài)通過疊加可以得到另一個狀態(tài) 顯然也是Hilbert空間中的一個矢量 故也是純態(tài) 2 注意 我們過去所討論的是某一物理量的取值概率 2 混合態(tài) 如果量子系統(tǒng)所處的狀態(tài) 由于統(tǒng)計(jì)物理的原因或量子力學(xué)本身的原因無法用一個態(tài)矢量來描寫 系統(tǒng)并不處在一個確定的態(tài)中 而是有可能處在 這種狀態(tài)沒法用態(tài)矢量來表示 稱為混合態(tài) 3 比如 一個系統(tǒng)處在態(tài)的概率為 處于態(tài)的概率為 系統(tǒng)的這個態(tài)目前還無法作簡單的描寫 只能用下面的寫法來描述這個態(tài) 二 物理量A在純態(tài)和混合態(tài)中的平均值 通過研究這個問題看純態(tài)與混合態(tài)的區(qū)別 對于純態(tài) 4 假設(shè) 則在上述純態(tài)中 物理量A取值的概率是 而在混合態(tài)中 若系統(tǒng)處在態(tài) 則A取的概率幅是 若系統(tǒng)處在態(tài) 則為 系統(tǒng)既然以概率處于態(tài) 以概率處在態(tài) 那么A取的概率為 這與上式顯然不同 5 具體到X表象 若純態(tài)的態(tài)函數(shù)為 則混合態(tài)的態(tài)函數(shù)可寫成 粒子處于點(diǎn)的概率在純態(tài)中為 而在混合態(tài)中為 6 前者是概率幅的相加而后者則是概率本身的相加 我們說微觀粒子表現(xiàn)波動性 正是指相干疊加而言 由此可以看出 在純態(tài)中兩個態(tài)和發(fā)生干涉現(xiàn)象 而混合態(tài)則不發(fā)生干涉 各自表現(xiàn)出自己的位置概率 所以兩個態(tài)形成純態(tài)是相干疊加 而形成混合態(tài)是不相干疊加 而在純態(tài)中 兩態(tài)疊加已形成一個新態(tài) 它原則上已不再原封不動具有原來兩個態(tài)的性質(zhì)了 在混合態(tài)中 系統(tǒng)有一定的概率處于態(tài) 當(dāng)它處于此態(tài)時 它具有態(tài)所有的全部性質(zhì) 對于態(tài)也是一樣 7 三 兩點(diǎn)說明 有時會看到一種解釋 說在所表現(xiàn)的純態(tài)中 是系統(tǒng)處于態(tài)的概率 是處于態(tài)的概率 這種說法是不對的 若把分別換成 這倒是對混合態(tài)的正確理解 純態(tài)是一個全新的態(tài) 處于純態(tài)的系統(tǒng) 不再有可能處于態(tài)或態(tài) 8 2 如果在中 都是某算符A的本征態(tài) 本征值分別為 則在純態(tài)中物理量A取值的概率確是 但物理量取或的概率并不等于系統(tǒng)處于態(tài)和態(tài)的概率 系統(tǒng)處于態(tài)中 不見得取值 比如算符B仍有取值的概率 對于純態(tài)來講 系統(tǒng)就是處于態(tài) 不存在 系統(tǒng)處在某態(tài)的概率 這一概念 就看測哪一個力學(xué)量 9 從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的角度看 由純態(tài)描寫的統(tǒng)計(jì)系綜稱為純粹系綜 而由混合態(tài)描寫的統(tǒng)計(jì)系綜稱為混合系綜 下面看如何用一個單一的數(shù)學(xué)量來描述混合態(tài) 14 2密度算符與密度矩陣 一 密度算符 1 定義 純態(tài)中的定義 設(shè)是Hilbert空間中的一個歸一化的矢量 用其來描寫狀態(tài) 則A在態(tài)中平均值可寫為 系綜 ensemble 在一定的宏觀條件下 大量性質(zhì)和結(jié)構(gòu)完全相同的 處于各種運(yùn)動狀態(tài)的 各自獨(dú)立的系統(tǒng)的集合 10 密度算符與概率的關(guān)系 取一組基矢 利用其完全性關(guān)系有 這是一個新算符 稱為密度算符 它由態(tài)矢量完全確定 注意構(gòu)造密度算符時必須注意使用歸一化的態(tài)矢量 我們再來看物理量A在態(tài)中取值的概率 這個概率是密度算符在本征態(tài)中的平均值 定義 此時 11 由以上兩式可知 對于純態(tài) 凡是能用態(tài)矢給出的信息 都可以同樣用密度算符給出 因此是可以完全代替態(tài)矢量來描寫純態(tài)的另一種數(shù)學(xué)量 混合態(tài)中的定義 取如下一般的混合態(tài) 先求物理量A在此混合態(tài)中的平均值 12 在混合態(tài)中 一個物理量求平均值要通過兩次平均手續(xù) 2 統(tǒng)計(jì)物理平均求出各量子平均以不同的概率出現(xiàn)時的平均 即 1 量子力學(xué)平均求出A在每一個中的平均值 同樣利用一組基的完全性關(guān)系 有 13 如果令 稱為混合態(tài)的密度算符或統(tǒng)計(jì)算符 同樣 在混合態(tài)中物理量A取值的概率應(yīng)為量子力學(xué)的概率與統(tǒng)計(jì)物理的概率乘積之和 即 則 14 在混合態(tài)中測A的平均值 在混合態(tài)中測A得概率 上式連同式 與純態(tài)情況下的形式一樣 只不過混合態(tài)的密度算符是參與混合的那些純態(tài)的密度算符的加權(quán)平均 15 來表示混合態(tài)方便多了 同時可以看到 純態(tài)是混合態(tài)的一個特殊情況 至此 我們找到了密度算符這個量取描述混合態(tài) 是Hilbert空間中的一個算符 這比用下式 16 方程的推導(dǎo) 2 Liouville方程 在HP空間中 態(tài)矢量不含時 因此密度算符是一個不隨時間而變的算符 在SP空間中 密度算符則是一個含時算符 利用薛定諤方程 對上式進(jìn)行求導(dǎo) 可得密度算符隨時間變化的規(guī)律 17 這就是密度算符的運(yùn)動方程 稱為Liouville方程 注意此式的形式與HP中描述物理量算符的運(yùn)動方程 有所不同 18 注意到跡的運(yùn)算 方程的應(yīng)用舉例 可以利用Liouville方程計(jì)算一個不顯含時間的物理量在混合態(tài)中的平均值隨時間的變化 tr A B C tr ABC BAC tr BCA BAC tr B CA AC tr B C A 這正是初量中所學(xué)的公式 力學(xué)量的平均值隨時間的變化 則有 19 3 密度算符的性質(zhì) 對一個一般的混合態(tài) 其中是參與構(gòu)成混合態(tài)的那些態(tài) 是相應(yīng)的權(quán)重 通常是系統(tǒng)哈密頓的各個本征態(tài) 因此構(gòu)成一組基矢 但當(dāng)哈密頓有簡并本征值時 未必是互相正交的 所以在下面混合態(tài)性質(zhì)的討論和證明中 盡可能不用互相正交的條件 也不要求它們一定線性相關(guān) 只要求它們是歸一化的 對于純態(tài) 20 密度算符的跡 有 證明 21 不重疊 因?yàn)楫?dāng)時 又 所以 對于 22 而當(dāng)時 這是個純態(tài) 顯然 從另一方面講 若是個純態(tài) 并用表示 則 那么 顯然上述證明不論是否兩兩正交都是成立的 23 密度算符的厄米性 若K表象的基矢為 則密度算符的矩陣元 后面還要介紹 可寫為 所以密度算符是厄米算符 由此引出第三個性質(zhì) 24 厄米算符本征矢量的混合態(tài)的性質(zhì) 1 若混合態(tài)是由一系列相互正交態(tài)構(gòu)成 即對一切i j成立 則密度算符的本征矢量就是參與構(gòu)成此混合態(tài)的那些態(tài) 而相應(yīng)的本征值就是權(quán)重 即 證明 對于不是兩兩正交的情況 這一性質(zhì)不成立 但在這種情況下 密度算符仍是厄米算符 因而肯定有一系列本征矢 并設(shè)為 相應(yīng)的本征值為 即 25 則密度算符肯定可以寫成 而作為厄米算符的本征矢 肯定彼此正交 2 由前面的討論可知 當(dāng)參與構(gòu)成混合態(tài)的各態(tài) 參與態(tài) 不全正交時 我們還可以用另外一套正交的參與態(tài)構(gòu)成一個相同的密度算符 問題 這兩組混合態(tài)是否相同的態(tài) 兩種看法 1 從實(shí)驗(yàn)角度看 與兩式所表示的是分別由兩套不同的參與態(tài)構(gòu)成的混合態(tài) 當(dāng)然是不同的態(tài) 26 從理論角度看 對于這兩個混合態(tài) 量子力學(xué)所能得到的信息又是完全一樣的 從密度算符上完全無法判別它們的不同 因此又可以認(rèn)為是同一個混合態(tài) 我們采用后一種看法 3 一個密度算符為的混合態(tài) 可以用不同參與態(tài)以不同權(quán)重構(gòu)成 但若要求參與態(tài)彼此正交 則只有一種構(gòu)成方式 這時參與態(tài)就是本征態(tài) 這樣很自然地產(chǎn)生一個問題 能否只用一組基矢作為參與態(tài) 把系統(tǒng)所有的混合態(tài)表現(xiàn)出來 從混合態(tài)中能得到什么量子力學(xué)信息 如某一力學(xué)量在其中取某個本征值的概率 27 用完全性關(guān)系作用于的左右兩邊 有 我們試一下 即必須滿足兩個必要條件 即 令 這樣 則 28 由以上三式可見 用一組正交基表現(xiàn)一個系統(tǒng)的全部混合態(tài)是可能的 一個系統(tǒng)的任何混合態(tài)都可以用任何一組正交基表示成如下形式 29 這個形式的密度算符可以認(rèn)為是形式的推廣 這時不一定是混合態(tài)的參與態(tài) 當(dāng)是參與態(tài)時 14 27 恢復(fù)為上式 當(dāng)系統(tǒng)的混合態(tài)的參與態(tài)不是 而是其它正交基或是不完全正交的一組態(tài)時 系統(tǒng)的混合態(tài)就要用 14 27 表示 式中的可以看成是的推廣 其實(shí)就是以為基的密度矩陣 30 二 約化密度矩陣 1 定義 密度算符在一個具體表象中的矩陣表示稱為密度矩陣 在SP表象中 密度矩陣是含時的 而在HP表象中則是不含時的 設(shè)K表象的基矢為 則K表象中的密度矩陣為 31 常常用到位置表象中的密度矩陣 這時密度矩陣是以連續(xù)編號的連續(xù)矩陣 其跡為 如果參與構(gòu)成混合態(tài)的都是物理量K的本征態(tài) 則這個混合態(tài)在K表象中的密度矩陣是對角矩陣 其對角元是相應(yīng)的本征值 32 2 約化密度矩陣 常常有這樣的情況 有一個大系統(tǒng) 而希望求平均值的那個物理量只與系統(tǒng)的一部分有關(guān) 例如在粒子1 2構(gòu)成的系統(tǒng)中 希望求粒子1的某一物理量F 1 的平均值 這時上述所有的內(nèi)容仍舊適用 不過可以做一些簡化 對上述提到的雙粒子系統(tǒng) 設(shè)粒子1和2各有一組基矢 則在1 2兩粒子空間的直積空間中 系統(tǒng)態(tài)矢的一般形式為 為使歸一化 系數(shù)應(yīng)滿足 33 處于純態(tài)時 系統(tǒng)的密度算符是 則密度矩陣元是 現(xiàn)在求粒子1的某物理量F 1 的平均值 比較式 34 即 令 的意思是只對粒子2取跡 取跡后的仍是粒子1空間的算符 稱為描寫粒子1的約化密度算符 它在粒子1的某一表象 例如以為基矢的表象 中的矩陣 稱為粒子1的約化密度矩陣 35 這一表示完全與粒子2無關(guān) 是一個只在粒子1空間中的關(guān)系 即 由上式可知 在一個雙粒子系統(tǒng)中 只討論一個粒子的物理量的平均值 其關(guān)系與粒子1處于一個單粒子狀態(tài)時的一樣 這樣F 1 的平均值成為 36 這是一與式相同類型的密度算符 37 14 3例題 關(guān)于自旋態(tài)的例子 例1設(shè)是自旋的本征態(tài) 分別對應(yīng)于本征值 比較下列的純態(tài)和混合態(tài) 純態(tài) 混合態(tài) 解 我們?nèi)”硐?設(shè) 38 1 純態(tài) 39 注意 與通常方法所算出的平均值一樣 同理可得 2 混合態(tài) 由此算出 40 3 討論 由所得結(jié)果可明顯看出 混合態(tài)確是兩個態(tài)的不相干疊加 在混合態(tài)中保存了原有兩態(tài)的特點(diǎn) 如在態(tài)中 的平均值均為零 即 在這兩個態(tài)的混合態(tài)中 平均值仍保持為零 而的平均值為原兩態(tài)的加權(quán)平均 即 41 所以可以說 處于混合態(tài)中的粒子 以權(quán)重處于態(tài)中 以權(quán)重處于態(tài)中 42 因此不能說 處于純態(tài)中的粒子 部分地處于態(tài) 部分地處于態(tài) 可見當(dāng)討論兩個態(tài)疊加成一個純態(tài)時 僅僅用一個算符 如 的本征態(tài)為例來說明是不夠的 只有用一個算符 如 的兩個非本征態(tài)才能明顯看出純態(tài)與同權(quán)重的混合態(tài)的不同 而純態(tài)則不相同 本例的純態(tài)有意選擇 的平均值與混合態(tài)相同 但兩個態(tài)疊加后出現(xiàn)了原態(tài)中都沒有的性質(zhì) 疊加態(tài)中平均值不再為零 43 把表象基矢稍微改變一下 給換一相因子 取 在則純態(tài)的密度矩陣發(fā)生很大變化 由此得出 44 平均值也發(fā)生了很大變化 顯然已經(jīng)不是原來那個純態(tài)了 此時混合態(tài)的密度矩陣為 可見并沒有發(fā)生變化 這就是說 在相干疊加構(gòu)成純態(tài)時 兩個態(tài)的相因子非常重要 嚴(yán)格來說 本例開頭問題的提法是不完全的 因?yàn)橹唤o出了 而沒有給出其相對相位 選擇基矢時必須連同相位一起選定 45 是密度算符 其本征矢量與本征值很容易算出為 解 這個態(tài)的密度矩陣是 可以算出 例2研究下列混合態(tài) 46 例3討論一個約化密度矩陣 設(shè)有一個雙粒子系統(tǒng) 第一個是電子 第二個是質(zhì)子 設(shè)在二粒子自旋空間的直積空間中 4個基矢的次序及定義如下 14 38 式所表示的混合態(tài) 其密度矩陣是 14 37 式 與 14 36 式所表示的混合態(tài)密度矩陣相同 通常認(rèn)為 14 36 式與 14 38 式是相同的混合態(tài) 前者的參與態(tài)是不正交的 而后者則是正交的 14 38 47 現(xiàn)在取這個雙粒子系統(tǒng)的一個純態(tài) 求其中電子自旋的平均值 首先用整個系統(tǒng)的密度矩陣來做 然后再用約化密度矩陣來做 解 1 用整個系統(tǒng)的密度矩陣來做 取雙粒子自旋表象 系統(tǒng)態(tài)矢量