《 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算》導學案.doc

第3課時復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算1.理解復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算,并能用運算律進行復數(shù)的四則運算.2.能根據(jù)所給運算的形式選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行復數(shù)的四則運算.兩個多項式可以進行乘除法運算,例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;對于兩個復數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,dR),能像多項式一樣進行乘除法運算嗎?問題1:結合多項式乘法運算的特點,說明復數(shù)乘法運算有哪些特點?(1)復數(shù)的乘法與多項式的乘法類似,只是在運算過程中把i2換成,然后實部、虛部分別合并;(2)兩個復數(shù)的積仍是一個復數(shù);(3)復數(shù)的乘法與實數(shù)的乘法一樣,滿足交換律、結合律及分配律;(4)在復數(shù)范圍內(nèi),實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.問題2:什么是共軛復數(shù)? 一般地,當兩個復數(shù)的時,這兩個復數(shù)叫作互為共軛復數(shù).問題3:怎樣進行復數(shù)除法運算?復數(shù)的除法首先是寫成分數(shù)的形式,再利用兩個互為共軛復數(shù)的積是一個實數(shù),將分母化為實數(shù),從而化成一個具體的復數(shù).問題4:復數(shù)的四種基本運算法則(1)加法:(a+bi)+(c+di)=;(2)減法:(a+bi)-(c+di)=;(3)乘法:(a+bi)(c+di)=;(4)除法:(a+bi)(c+di)=a+bic+di=(c+di0).1.i是虛數(shù)單位,復數(shù)z=2+3i-3+2i的虛部是().A.0B.-1C.1D.22.復數(shù)z1=3+i,z2=1-i,則z=z1z2在復平面內(nèi)的對應點位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知復數(shù)z與(z+2)2-8i均是純虛數(shù),則z=.4.設復數(shù)z滿足i(z+1)=-3+2i(i為虛數(shù)單位),試求z的實部.復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算計算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.復數(shù)代數(shù)形式的除法運算計算:(1)(1+2i)(3-4i);(2)(1+i)3-(1-i)3(1+i)2-(1-i)2;(3)(12+32i)4+(1-3i)2(2+2i)2.復數(shù)四則運算的綜合應用已知|z|2+(z+z-)i=3-i2+i(i為虛數(shù)單位),試求滿足條件的z.計算:(1)(1-i)2;(2)(-12+32i)(32+12i)(1+i).計算:(1)(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i;(2)a+bib-ai+a-bib+ai.若關于x 的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有純虛數(shù)根,求實數(shù)t的值和該方程的根.1.復數(shù)z=(2-i)2i(i為虛數(shù)單位),則|z|等于().A.25B.41C.5D.52.i是虛數(shù)單位,則復數(shù)2i1+i+(1+2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i3.若復數(shù)z滿足z(1+i)=2,則復數(shù)z=.4.計算:3-4i4+3i+(1-i1+i)2014.(2014年山東卷)已知a,bR,i是虛數(shù)單位.若a-i與2+bi互為共軛復數(shù),則(a+bi)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i考題變式(我來改編):第3課時復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算知識體系梳理問題1:(1)-1問題2:實部相等,虛部互為相反數(shù)問題4:(1)(a+c)+(b+d)i(2)(a-c)+(b-d)i(3)(ac-bd)+(ad+bc)i(4)ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i基礎學習交流1.Bz=2+3ii(2+3i)=1i=-i,虛部為-1,故選B.2.Dz=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i.3.-2i設z=bi(bR),則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,依題意得4-b2=0,4b-80,解得b=-2.所以z=-2i.4.解:(法一)i(z+1)=-3+2i,z=-3+2ii-1=-(-3i-2)-1=1+3i,故z的實部是1.(法二)令z=a+bi(a、bR),由i(z+1)=-3+2i,得i(a+1)+bi=-3+2i,-b+(a+1)i=-3+2i,a+1=2,a=1.故z的實部是1.重點難點探究探究一:【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-312i+31i2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小結】三個或三個以上的復數(shù)相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算,混合運算與實數(shù)的運算順序一樣,對于能夠使用乘法公式計算的兩個復數(shù)的乘法,用乘法公式更簡捷,如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.探究二:【解析】(1)(1+2i)(3-4i)=1+2i3-4i=(1+2i)(3+4i)(3-4i)(3+4i)=-5+10i25=-15+25i.(2)(法一)原式=1+3i(1+i)+i3-1-3i(1-i)-i32i+2i=4i4i=1.(法二)原式=(1+i)-(1-i)(1+i)2+(1+i)(1-i)+(1-i)2(1+i)+(1-i)(1+i)-(1-i)=4i4i=1.(3)原式=(12+32i)22+-2-23i4(1+i)2=(-12+32i)2-1+3i4i=-12-32i+14i-34=(-12-34)+(14-32)i.【小結】進行復數(shù)的運算,除了應用四則運算法則之外,對于一些簡單算式要知道其結果,這樣可方便計算,簡化運算過程,比如1i=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i,a+bi=i(b-ai),a+bib-ai=i,等等.運算方法要靈活,有時要巧妙運用相應實數(shù)系中的乘法公式,比如第(2)題中的解法一.探究三:【解析】原方程化簡為|z|2+(z+z-)i=1-i,設z=x+yi(x,yR),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,x2+y2=1,2x=-1,x=-12,y=32,原方程的解為z=-1232i.【小結】對于此類復數(shù)方程我們一般是設出復數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x,yR),然后將其代入給定方程,利用復數(shù)四則運算將其整理,然后利用復數(shù)相等的充要條件來求解.思維拓展應用應用一:(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-12+32i)(32+12i)(1+i)=(-34-34)+(34-14)i(1+i)=(-32+12i)(1+i)=(-32-12)+(12-32)i=-1+32+1-32i.應用二:(1)(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i=1+4-3i+2+4i3+4i=7+i3+4i=(7+i)(3-4i)32+42=21+4+3i-28i25=25-25i25=1-i.(2)a+bib-ai+a-bib+ai=i(b-ai)b-ai+-i(ai+b)b+ai=i-i=0.應用三:設x=ai(aR且a0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一個純虛根,將其代入方程可得(ai)2+(t2+3t+tai)i=0,-a2-at+(t2+3t)i=0,由復數(shù)相等的充要條件可得-a2-at=0,t2+3t=0,t=-3,a=3,故t=-3,方程的兩個根為0或3i.基礎智能檢測1.Cz=3-4ii=-4-3i,所以|z|=5.2.D2i1+i+(1