安徽--數(shù)學(xué)歸納法(吳中才).doc

第三屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評選數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例人教高三數(shù)學(xué)（選修II）第2章第1節(jié)選送單位:安徽省教科所參賽教師: 吳中才 選手單位:安徽師大附中2006年8月8日課題：數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例人民教育出版社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊(選修II)第二章第一節(jié)安徽師大附中 吳中才【教學(xué)目標(biāo)】1 使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)2 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題3 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想4 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率5 通過對例題的探究，體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神【教學(xué)重點(diǎn)】歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)【教學(xué)程序】第一階段：輸入階段創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容1 創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維 (1) 不完全歸納法引例：明朝劉元卿編的應(yīng)諧錄中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的(2) 完全歸納法對比引例：有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰更聰明一些他給每人一筐花生去剝皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包著，看誰先給出答案大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過一把花生顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法這些歸納法卻不能用完全歸納法2 回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識(shí)（從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納）(1) 不完全歸納法實(shí)例： 給出等差數(shù)列前四項(xiàng), 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式(2) 完全歸納法實(shí)例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況3 借助數(shù)學(xué)史料, 促使學(xué)生思辨（在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法的普遍性同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此那么，有沒有更好的歸納法呢？）問題1 已知（nN），(1)分別求；(2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論正確嗎？ （培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力概括能力是思維能力的核心魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程）問題2 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)nN時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了4 294 967 2976 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測沒想到當(dāng)n5這一結(jié)論便不成立問題3 , 當(dāng)nN時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？驗(yàn)證： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39）1 601但是f（40）1 681，是合數(shù)第二階段：新舊知識(shí)相互作用階段新舊知識(shí)作用，搭建新知結(jié)構(gòu)4 搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣（在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”興趣這種個(gè)性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn)）實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像關(guān)鍵：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下 于是, 我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會(huì)全部倒下 搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊(duì)對齊等5 類比數(shù)學(xué)問題, 激起思維浪花類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(1) 當(dāng)n1時(shí)等式成立； (2) 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立, 即, 則=, 即nk1時(shí)等式也成立 于是, 我們可以下結(jié)論： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對任何n都成立（布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)）6 引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(1) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確；(2) 假設(shè)當(dāng)nk (k，k) 時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法第三階段：操作階段鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實(shí)認(rèn)知過程7 蘊(yùn)含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識(shí)（本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和能力）例題 在數(shù)列中, 1, (n), 先計(jì)算，的值，再推測通項(xiàng)的公式, 最后證明你的結(jié)論8 基礎(chǔ)反饋練習(xí), 鞏固方法應(yīng)用（課本例題與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習(xí)，這樣既考慮到學(xué)生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，與前者是一個(gè)對比與補(bǔ)充通過這兩個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況）(1)（第63頁例1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：135（2n1）(2)（第64頁練習(xí)3）首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是9 師生共同小結(jié), 完成概括提升(1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；(2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；(3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；(4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想10 布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊(1) 課本第64頁練習(xí)第1, 2題； 第67頁習(xí)題2.1第2題(2) 在數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中，證明nk1時(shí)命題成立, 必須要用到nk時(shí)命題成立這個(gè)假設(shè)這里留一個(gè)辨析題給學(xué)生課后討論思考：用數(shù)學(xué)歸納法證明： (n)時(shí), 其中第二步采用下面的證法：設(shè)nk時(shí)等式成立, 即, 則當(dāng)nk1時(shí), 你認(rèn)為上面的證明正確嗎？為什么？【教學(xué)設(shè)計(jì)說明】1數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)2在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法目的是加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方