河北省武邑中學2020屆高三年級下學期第二次質(zhì)檢考試 數(shù)學（文）（PDF版）

第第 1 頁頁 共共 6 頁頁 河北武邑中學河北武邑中學 2019201920202020 學年高三年級下學期第二次質(zhì)檢考試學年高三年級下學期第二次質(zhì)檢考試 數(shù)學試題（文科）數(shù)學試題（文科）命題人：劉玉芬命題人：劉玉芬 注意事項：注意事項： 1 1本試卷分第本試卷分第卷（選擇題）和卷（選擇題）和 IIII 卷（非選擇題）兩部分，滿分卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間分，考試時間120分鐘。分鐘。 2 2答題前請仔細閱讀答題卡（紙）上的答題前請仔細閱讀答題卡（紙）上的“注意事項注意事項” ，按照，按照“注意事項注意事項”的規(guī)定答題。的規(guī)定答題。 3 3選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡上相應(yīng)位置，在試卷和草稿紙上作答無效。選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡上相應(yīng)位置，在試卷和草稿紙上作答無效。 第第卷卷選擇題（共選擇題（共 6060 分）分） 一一. 選擇題選擇題：本題共本題共 12 小題小題，每小題每小題 5 分分，共共 60 分分，在每小題給出的四個選項中在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符有且只有一項符 合題目要求合題目要求,將正確答案填涂在答題卡上。將正確答案填涂在答題卡上。 1.1.已知集合已知集合A A x x| |x x 2 2 3 3x x4 400，B B y y| |y y2 2 x x+3 +3，則，則A AB B（） A A33，4 4）B B（1 1，+ +）C C（3 3，4 4）D D（3 3，+ +） 2.2.已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z z1 13 3bibi，z z2 21 12 2i i，若，若是實數(shù)，則實數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)b b的值為（的值為（） A A0 0B B6 6C C6 6D D 3.3.黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領(lǐng)域培育增長點、形成新動能黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領(lǐng)域培育增長點、形成新動能. .共享經(jīng)濟是公眾將閑置資共享經(jīng)濟是公眾將閑置資 源通過社會化平臺與他人共享源通過社會化平臺與他人共享， 進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象. .為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響， 在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經(jīng)濟對比試驗在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經(jīng)濟對比試驗， 根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個 等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（） A.A.B.B.C.C.D.D. 4.4.設(shè)設(shè) 1 tan 2 ， 4 cos()(0,) 5 ，則，則tan(2)的值為（的值為（） A A 7 24 B B 5 24 C C 5 24 D D 7 24 5.5.大衍數(shù)列來源于我國古代文獻大衍數(shù)列來源于我國古代文獻乾坤譜乾坤譜中對易傳中對易傳“大衍之數(shù)五十大衍之數(shù)五十”的推論的推論，主要用于解釋我國傳主要用于解釋我國傳 統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和. . 第第 2 頁頁 共共 6 頁頁 已知該數(shù)列前已知該數(shù)列前 1010 項是項是 0 0，2 2，4 4，8 8，1212，1818，2424，3232，4040，5050，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式 為（為（）A.A. 2 2 nn B.B. 2 1 2 n C.C. 2 1 2 n D.D. 2 2 n 6 橢圓橢圓 22 39 1 xy 的左的左、 右焦點分別為右焦點分別為 1 F、 2 F， 點點P在橢圓上在橢圓上， 如果如果 1 PF的中點在的中點在y軸上軸上， 那么那么 1 PF 是是 2 PF的（的（）A7 倍倍B6 倍倍C5 倍倍D4 倍倍 7.7.如圖所示如圖所示，某幾何體的正視圖與俯視圖均為邊長為某幾何體的正視圖與俯視圖均為邊長為 4 4 的正方形的正方形，其側(cè)其側(cè) 視圖中的曲線為視圖中的曲線為 1 4 圓周，則該幾何體的體積為（圓周，則該幾何體的體積為（） A AB BC CD D 8函數(shù)函數(shù)( )2 1 x x f x x 的圖象大致為（的圖象大致為（） AB CD 9.9.已知函數(shù)已知函數(shù) 2 0 , 0, 0 A與與 軸交于點軸交于點 2 3 , 0M，距離距離 軸最近的軸最近的 最高點最高點 3 , 9 N，若若，且且，恒有恒有，則實數(shù)則實數(shù) 的最大值為的最大值為（） A A 3 B B 6 C C 9 D D 9 2 10.10.唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說： “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河 ”詩中隱含著詩中隱含著 一個有趣的數(shù)學問題一一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊 第第 3 頁頁 共共 6 頁頁 飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x x 2 2+ +y y2 2 1 1， 若將軍從點若將軍從點A A（3 3，0 0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x x+ +y y4 4，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū) 域即回到軍營，則域即回到軍營，則“將軍飲馬將軍飲馬”的最短總路程為（的最短總路程為（） A A117 B B217 C C17D D23 11.11.如圖，如圖， 為為的外心，的外心，為鈍角，為鈍角，是邊是邊的中點，的中點， 則則的值為（的值為（）A.A. 4 4B.B.C.C.D.D. 12已知定義在已知定義在R上的函數(shù)上的函數(shù) yf x對任意對任意x都滿足都滿足 1f xf x，且當且當 01x時，時， f xx，則函數(shù)，則函數(shù) ln|g xf xx的零點個數(shù)為的零點個數(shù)為() A5B4C3D2 第第卷卷 非選擇題（共非選擇題（共 9090 分）分） 二二填空題：本大題共填空題：本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分，將答案填在答題卡上相應(yīng)位置。分，將答案填在答題卡上相應(yīng)位置。 13.13. 若若 , x y滿足約束條件 滿足約束條件 220 330 0 xy xy x ，則，則z xy 的最小值為的最小值為_._. 14.利用隨機模擬方法計算利用隨機模擬方法計算4y和和 2 yx=所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積.首先利用計算機產(chǎn)生兩組首先利用計算機產(chǎn)生兩組 01 區(qū)間的均區(qū)間的均 勻隨機數(shù)勻隨機數(shù)， 1 aRAND，RANDb 1 ，然后進行平移和伸縮變換然后進行平移和伸縮變換， 11 4,5 . 04bbaa，若共產(chǎn)若共產(chǎn) 生了生了N個樣本點個樣本點( , )a b，其中落在所圍成圖形內(nèi)的樣本點數(shù)為，其中落在所圍成圖形內(nèi)的樣本點數(shù)為 1 N，則所圍成圖形的面積可估計為，則所圍成圖形的面積可估計為 _.（結(jié)果用（結(jié)果用N， 1 N表示）表示） 15 已知雙曲線已知雙曲線C： 22 22 1 xy ab 0,0ab的左右焦點分別為的左右焦點分別為 1 F， 2 F，P為雙曲線為雙曲線C上一點上一點，Q 為雙曲線為雙曲線 C 漸近線上一點漸近線上一點，P，Q均位于第一象限均位于第一象限，且且 2 2QPPF ， 12 0QF QF ，則雙曲線則雙曲線 C的離心率為的離心率為_ 16.16.點點 P P 為棱長是為棱長是 3 3 的正方體的正方體的內(nèi)切球的內(nèi)切球 O O 球面上的動點，點球面上的動點，點 P P 滿足滿足 則動點則動點 P P 的軌跡的長度為的軌跡的長度為_ 三三解答題：本大題共解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 第第 4 頁頁 共共 6 頁頁 17（本題滿分（本題滿分 12 分）分） 為利于分層教學為利于分層教學，某學校根據(jù)學生的情況分成了某學校根據(jù)學生的情況分成了 A,B,C 三類三類，經(jīng)過一段時間的學習后在三類學生中分經(jīng)過一段時間的學習后在三類學生中分 別隨機抽取了別隨機抽取了 1 個學生的個學生的 5 次考試成績，其統(tǒng)計表如下：次考試成績，其統(tǒng)計表如下： A 類類 第第 x 次次12345 分數(shù)分數(shù) y（小于等于（小于等于 150）145839572110 180,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx； B 類類 第第 x 次次12345 分數(shù)分數(shù) y（小于等于（小于等于 150）85939076101 60,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx C 類類 第第 x 次次12345 分數(shù)分數(shù) y（小于等于（小于等于 150）8592101100112 63,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx （1）經(jīng) 計 算 已 知經(jīng) 計 算 已 知 A,B 的 相 關(guān) 系 數(shù)的 相 關(guān) 系 數(shù)r分 別 為分 別 為,25. 0,45. 0 21 rr請 計 算 出請 計 算 出 C 學 生 的學 生 的 5 , 4 , 3 , 2 , 1,iyx ii 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)，并通過數(shù)據(jù)的分析回答抽到的哪類學生學習成績最穩(wěn)定并通過數(shù)據(jù)的分析回答抽到的哪類學生學習成績最穩(wěn)定； （結(jié)果保結(jié)果保 留三位有效數(shù)字，留三位有效數(shù)字，r越大認為成績越穩(wěn)定越大認為成績越穩(wěn)定） 。 （2）利用利用（1）中成績最穩(wěn)定的學生的樣本數(shù)據(jù)中成績最穩(wěn)定的學生的樣本數(shù)據(jù)，已知線性回歸方程為已知線性回歸方程為axy2 . 6，利用線性回歸利用線性回歸 方程預(yù)測該生第九次的成績。方程預(yù)測該生第九次的成績。 參考公式參考公式： （1）樣本）樣本()(,1,2, ) ii x yin的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 第第 5 頁頁 共共 6 頁頁 （2）對于一組數(shù)據(jù)對于一組數(shù)據(jù) 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，(,) nn xy，其回歸方程其回歸方程 ybxa 的斜率和截距的最小的斜率和截距的最小 二乘估計分別為二乘估計分別為 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ，a ybx . 18 （本題滿分（本題滿分 12 分）分） 已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列 n a的公比的公比1q ，且且 135 42aaa， 3 9a 是是 15 ,a a的等差中項的等差中項，數(shù)列數(shù)列 n b的通項的通項 公式公式 1 2 11 n n nn b aa ， * nN . （1）求數(shù)列）求數(shù)列 n a的通項公式；的通項公式； （2）求數(shù)列）求數(shù)列 n b的前的前 n 項和項和 n S. 19如圖如圖，四邊形四邊形PCBM是直角梯形是直角梯形，90PCB，/PMBC，1PM ，2BC ，又又1AC ， 120ACB，ABPC，直線，直線AM與直線與直線PC所成的角為所成的角為 60. （1）求證：）求證：PCAC； （2）求點）求點B到平面到平面ACM的距離的距離. 第第 6 頁頁 共共 6 頁頁 20.（本題滿分（本題滿分 12 分）分） 已知拋物線已知拋物線 2 2yx，過點，過點(1,1)P分別作斜率為分別作斜率為 1 k， 2 k的拋物線的動弦的拋物線的動弦AB、 CD，設(shè)，設(shè)M、N分別為線段分別為線段AB、CD的中點的中點 （）若）若P為線段為線段AB的中點，求直線的中點，求直線AB的方程；的方程； （）若）若 12 1kk，求證直線，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標恒過定點，并求出定點坐標 21.（本題滿分（本題滿分 12 分）分） 已知函數(shù)已知函數(shù)( ) x f xex （1）討論討論( )f x的單調(diào)性；的單調(diào)性； （2）若若 12 ()()f xf x， 12 xx，求證：，求證： 12 2 xx ee 請考生在請考生在 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分做答時，請用題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分做答時，請用 2B 鉛鉛 筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。 22(本小題滿分本小題滿分 10 分分)選修選修 44：坐標系與參數(shù)方程：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中中，曲線曲線 1 C的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 3cos 33sin x y （為參數(shù)為參數(shù)） ，以坐標原點以坐標原點O為為 極點，極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 2 C的極坐標方程為的極坐標方程為2cos. . （1 1）求曲線）求曲線 1 C的普通方程和的普通方程和 2 C的直角坐標方程；的直角坐標方程； （2 2）已知曲線已知曲線 3 C的極坐標方程為的極坐標方程為（0 ，R） ，點點A是曲線是曲線 3 C與與 1 C的交點的交點，點點B是是 曲線曲線 3 C與與 2 C的交點，的交點，A、B均異于原點均異于原點O，且，且| | 2 2AB ，求實數(shù)，求實數(shù)的值的值. . 23(本小題滿分本小題滿分 10 分分)選修選修 4-5：不等式選講：不等式選講 已知函數(shù)已知函數(shù) 23fxxax， 23g xx 1解不等式解不等式 6g x ； 2若對任意的若對任意的 2 xR，均存在，均存在 1 xR，使得，使得 12 g xf x成立，求實數(shù)成立，求實數(shù)a a的取值范圍的取值范圍 第第 7 頁頁 共共 21 頁頁 河北武邑中學河北武邑中學 2019201920202020 學年高三年級下學期第二次質(zhì)檢考試學年高三年級下學期第二次質(zhì)檢考試 數(shù)學試題（文科）答案數(shù)學試題（文科）答案 一一. .選擇題：本題共選擇題：本題共 1212 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符 合題目要求合題目要求, ,將正確答案填涂在答題卡上。將正確答案填涂在答題卡上。 1.1.已知集合已知集合A A x x| |x x 2 2 3 3x x4 400，B B y y| |y y2 2 x x+3 +3，則，則A AB B（） A A33，4 4）B B（1 1，+ +）C C（3 3，4 4）D D（3 3，+ +） 解：解：集合集合A A x x| |x x 2 2 3 3x x4 400 x x| |1 1x x44，B B y y| |y y2 2 x x+3 +3 y y| |y y33， A AB B x x| |x x11（1 1，+ +）故選：）故選：B B 2 2已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z z1 13 3bibi，z z2 21 12 2i i，若，若是實數(shù)，則實數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)b b的值為（的值為（） A A0 0B B6 6C C 6 6D D 解：解：是實數(shù)，是實數(shù)， 則則 6 6b b0 0，實數(shù)實數(shù)b b的值為的值為 6 6， 故選故選 C C 3.3.黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領(lǐng)域培育增長點、形成新動能黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領(lǐng)域培育增長點、形成新動能. .共享經(jīng)濟是公眾將閑置資共享經(jīng)濟是公眾將閑置資 源通過社會化平臺與他人共享源通過社會化平臺與他人共享， 進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象. .為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響， 在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經(jīng)濟對比試驗在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經(jīng)濟對比試驗， 根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個 等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（） A.A.B.B.C.C.D.D. 解：解： 根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知，根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知， 圖中圖中 D D 中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟活躍度的差異最大中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟活躍度的差異最大， 它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選 D D 4 4設(shè)設(shè) 1 tan 2 ， 4 cos()(0,) 5 ，則，則tan(2)的值為（的值為（） A A 7 24 B B 5 24 C C 5 24 D D 7 24 第第 8 頁頁 共共 21 頁頁 解：解： 1 tan 2 ， 2 2tan4 tan2 1tan3 ， 4 cos()cos 5 ，(0,)， 4 cos 5 ， 3 sin 5 ， 3 tan 4 ， 43 tan2tan7 34 tan(2) 43 1tan2tan24 1 34 【答案】【答案】D D 5.5.大衍數(shù)列來源于我國古代文獻大衍數(shù)列來源于我國古代文獻乾坤譜乾坤譜中對易傳中對易傳“大衍之數(shù)五十大衍之數(shù)五十”的推論的推論，主要用于解釋我國傳主要用于解釋我國傳 統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和. . 已知該數(shù)列前已知該數(shù)列前 1010 項是項是 0 0，2 2，4 4，8 8，1212，1818，2424，3232，4040，5050，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式 為（為（）A.A. 2 2 nn B.B. 2 1 2 n C.C. 2 1 2 n D.D. 2 2 n 解：由題意解：由題意 1 0a ，排除，排除 D D， 3 4a ，排除，排除 A A，C C同時同時 B B 也滿足也滿足 5 12a ， 7 24a ， 9 40a ， 故選：故選：B B 6 橢圓橢圓 22 39 1 xy 的左的左、 右焦點分別為右焦點分別為 1 F、 2 F， 點點P在橢圓上在橢圓上， 如果如果 1 PF的中點在的中點在y軸上軸上， 那么那么 1 PF 是是 2 PF的（的（） A7 倍倍B6 倍倍C5 倍倍D4 倍倍 【答案】【答案】C 7 7如圖所示如圖所示，某幾何體的正視圖與俯視圖均為邊長為某幾何體的正視圖與俯視圖均為邊長為 4 4 的正方形的正方形， 其側(cè)視圖中的曲線為其側(cè)視圖中的曲線為 圓周，則該幾何體的體積為（圓周，則該幾何體的體積為（） A AB BC CD D 第第 9 頁頁 共共 21 頁頁 解：結(jié)合題意，繪制圖像，如圖所示解：結(jié)合題意，繪制圖像，如圖所示 平面平面 DEFDEF 的面積為的面積為，故該幾何體的體積，故該幾何體的體積 ，故選，故選 B.B. 8函數(shù)函數(shù)( )2 1 x x f x x 的圖象大致為（的圖象大致為（） AB CD 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】【分析】 根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)的變化趨勢，即可得到答案根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)的變化趨勢，即可得到答案 【詳解】【詳解】 解：解： 1 ( )221 11 xx x f x xx 的定義域為的定義域為(, 1)( 1,) ， 2 1 ( )2 ln20 (1) x fx x 恒成立，恒成立， ( )f x在在(, 1) ，( 1,) 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 當當 0 xx時，時，( )0fx，函數(shù)單調(diào)遞增，故排除，函數(shù)單調(diào)遞增，故排除C，D， 當當x 時，時，20 x ，1 1 x x ， ( )1f x ，故排除，故排除B， 第第 10 頁頁 共共 21 頁頁 故選：故選：A 【點睛】【點睛】 本題主要考查函數(shù)圖象的識別，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化趨勢，屬于中檔題本題主要考查函數(shù)圖象的識別，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化趨勢，屬于中檔題 9.9.已知函數(shù)已知函數(shù) 2 0 , 0, 0 A與與 軸交于點軸交于點 2 3 , 0M，距離距離 軸最近的軸最近的 最高點最高點 3 , 9 N，若若，且且，恒有恒有，則實數(shù)則實數(shù) 的最大值為的最大值為（） A AB BC CD D 解：由題意得，解：由題意得， ，由五點作圖法知，由五點作圖法知，解得，解得， ，令，令，. . 解得解得，. .，故選，故選:C.:C. 10.10.唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說： “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河 ”詩中隱含著詩中隱含著 一個有趣的數(shù)學問題一一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊 飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為x x 2 2+ +y y2 2 1 1， 若將軍從點若將軍從點A A（3 3，0 0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x x+ +y y4 4，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū) 域即回到軍營，則域即回到軍營，則“將軍飲馬將軍飲馬”的最短總路程為（的最短總路程為（） A A117 B BC CD D 【答案】【答案】A A 【解析】分析：求出【解析】分析：求出A A關(guān)于關(guān)于x x+ +y y4 4 的對稱點的對稱點A A ，根據(jù)題意，根據(jù)題意，A A C C為最短距離，求出即可為最短距離，求出即可 解：設(shè)點解：設(shè)點A A關(guān)于直線關(guān)于直線x x+ +y y4 4 的對稱點的對稱點A A （a a，b b） ，設(shè)軍營所在區(qū)域為的圓心為，設(shè)軍營所在區(qū)域為的圓心為C C， 根據(jù)題意，根據(jù)題意，A A C C1 1 為最短距離，先求出為最短距離，先求出A A 的坐標，的坐標， 第第 11 頁頁 共共 21 頁頁 AAAA 的中點為（的中點為（，） ，直線，直線AAAA 的斜率為的斜率為 1 1， 故直線故直線AAAA 為為y yx x3 3， 由由，聯(lián)立得故，聯(lián)立得故a a4 4，b b1 1， 所以所以A A C C， 故故A A C C1 1117 ，故選：，故選：A A 11.11.如圖如圖， 為為的外心的外心，為鈍角為鈍角，是邊是邊的中點的中點， 則則的值為（的值為（） A.A. 4 4B.B.C.C.D.D. 12已知定義在已知定義在R上的函數(shù)上的函數(shù) yf x對任意對任意x都滿足都滿足 1f xf x，且當，且當01x時，時， f xx，則函數(shù)，則函數(shù) ln|g xf xx的零點個數(shù)為的零點個數(shù)為() A5B4C3D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【詳解】【詳解】 當當 01x 時，則時，則110 x， 此時有此時有( )(1)1f xf xx ， 1f xf x， 21( )( )f xf xf xf x ， 函數(shù)函數(shù) yf x是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) 第第 12 頁頁 共共 21 頁頁 令令 ln0g xf xx，則，則 lnf xx， 由題意得函數(shù)由題意得函數(shù) lng xf xx的零點個數(shù)即為函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù) yf x的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)yln x的圖象交的圖象交 點的個數(shù)點的個數(shù) 在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù) yf x和函數(shù)和函數(shù)yln x的圖象（如圖所示的圖象（如圖所示） ， 結(jié)合圖象可得兩函數(shù)的圖象有三個交點，結(jié)合圖象可得兩函數(shù)的圖象有三個交點， 函數(shù)函數(shù) lng xf xx的零點個數(shù)為的零點個數(shù)為 3.選選 C 點睛：已知函數(shù)有零點點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根方程有根)求參數(shù)值求參數(shù)值(取值范圍取值范圍)常用的方法常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖 象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解 13.13.若若 , x y滿足約束條件 滿足約束條件 220 330 0 xy xy x ，則，則z xy 的最小值為（的最小值為（） A A3B B1 1C C2 解：先作可行域，則直線解：先作可行域，則直線z xy 過點過點(0,2)A時取最小值時取最小值2， 選選 C.C. 14.利用隨機模擬方法計算利用隨機模擬方法計算4y和和 2 yx=所圍成圖形的面積所圍成圖形的面積.首先利首先利 用計算機產(chǎn)生兩組用計算機產(chǎn)生兩組 01 區(qū)間的均勻隨機數(shù)，區(qū)間的均勻隨機數(shù)， 1 aRAND， RANDb 1 ，然后進行平移和伸縮變換，然后進行平移和伸縮變換， 11 4,5 . 04bbaa， 若共產(chǎn)生了若共產(chǎn)生了N個樣本點個樣本點( , )a b，其中落在所圍成圖形內(nèi)的樣本點數(shù)為其中落在所圍成圖形內(nèi)的樣本點數(shù)為 1 N，則所圍成圖形的面積可估則所圍成圖形的面積可估 第第 13 頁頁 共共 21 頁頁 計為計為_.（結(jié)果用（結(jié)果用N， 1 N表示）表示） 【答案】【答案】 N N116 15 已知雙曲線已知雙曲線C： 22 22 1 xy ab 0,0ab的左右焦點分別為的左右焦點分別為 1 F， 2 F，P為雙曲線為雙曲線C上一點上一點，Q 為雙曲線為雙曲線 C 漸近線上一點漸近線上一點，P，Q均位于第一象限均位于第一象限，且且 2 2QPPF ， 12 0QF QF ，則雙曲線則雙曲線C 的離心率為的離心率為_. 【答案】【答案】 132 【解析】【解析】 由雙曲線的方程由雙曲線的方程 22 22 1 xy ab 的左右焦點分別為的左右焦點分別為 12 ,F F，P為雙曲線為雙曲線C上的一點，上的一點，Q為雙曲線為雙曲線C的的 漸近線上的一點，且漸近線上的一點，且,P Q都位于第一象限，且都位于第一象限，且 212 2,0QPPFQF QF ， 可知可知P為為 2 QF的三等分點，且的三等分點，且 12 QFQF , 點點Q在直線在直線 0bxay 上，并且上，并且OQc，則，則( , )Q a b， 2( ,0) F c， 設(shè)設(shè) 11 (,)P x y，則，則 1111 2(,)(,)xa ybcxy， 解得解得 11 22 , 33 acb xy ，即，即 22 (,) 33 acb P ， 代入雙曲線的方程可得代入雙曲線的方程可得 2 2 (2)4 1 99 ac a ，解得，解得132 c e a 點睛點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力，雙曲線的離心雙曲線的離心 率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法常見有兩種方法：求出求出 , a c，代入公式 ，代入公式 c e a ；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于, ,a b c的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，轉(zhuǎn)化為 , a c的齊次式，然 的齊次式，然 后轉(zhuǎn)化為關(guān)于后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程的方程(不等式不等式)，解方程，解方程(不等式不等式)，即可得，即可得e(e的取值范圍的取值范圍) 16.點點P為棱長是為棱長是3的正方體的正方體 1111 ABCDABC D的內(nèi)切球的內(nèi)切球O球面上的動點，點球面上的動點，點P滿足滿足 1 BPAC， 則動點則動點P的軌跡的長度為的軌跡的長度為 第第 14 頁頁 共共 21 頁頁 17 （本題滿分（本題滿分 12 分）分） 為利于分層教學為利于分層教學，某學校根據(jù)學生的情況分成了某學校根據(jù)學生的情況分成了 A,B,C 三類三類，經(jīng)過一段時間的學習后在三類學生中分經(jīng)過一段時間的學習后在三類學生中分 別隨機抽取了別隨機抽取了 1 個學生的個學生的 5 次考試成績，其統(tǒng)計表如下：次考試成績，其統(tǒng)計表如下： A 類類 第第 x 次次12345 分數(shù)分數(shù) y（小于等于（小于等于 150）145839572110 180,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx； B 類類 第第 x 次次12345 分數(shù)分數(shù) y（小于等于（小于等于 150）85939076101 60,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx C 類類 第第 x 次次12345 分數(shù)分數(shù) y（小于等于（小于等于 150）8592101100112 第第 15 頁頁 共共 21 頁頁 63,10 5 1 2 5 1 2 5 1 i i i i i i yyxxxx （3）經(jīng)計算已經(jīng)計算已知知A,B的相關(guān)系數(shù)分別為的相關(guān)系數(shù)分別為,25. 0,45. 0 21 rr請計算請計算出出C學生的學生的5 , 4 , 3 , 2 , 1,iyx ii 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)，并通過數(shù)據(jù)的分析回答抽到的哪類學生學習成績最穩(wěn)定并通過數(shù)據(jù)的分析回答抽到的哪類學生學習成績最穩(wěn)定； （結(jié)果保留三位有效數(shù)字結(jié)果保留三位有效數(shù)字，r 越大認為成績越穩(wěn)定越大認為成績越穩(wěn)定） 。 （4）利用利用（1）中成績最穩(wěn)定的學生的樣本數(shù)據(jù)中成績最穩(wěn)定的學生的樣本數(shù)據(jù)，已知線性回歸方程為已知線性回歸方程為axy2 . 6，利用線性回歸利用線性回歸 方程預(yù)測該生第九次的成績。方程預(yù)測該生第九次的成績。 參考公式參考公式： （1）樣本）樣本()(,1,2, ) ii x yin的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy （2）對于一組數(shù)據(jù)對于一組數(shù)據(jù) 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，(,) nn xy，其回歸方程其回歸方程 ybxa 的斜率和截距的最小的斜率和截距的最小 二乘估計分別為二乘估計分別為 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ，a ybx . 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)984. 0 63 62 3 r， 第第 16 頁頁 共共 21 頁頁 又因為又因為 213 rrr，則，則 C 類學生學習成績最穩(wěn)定類學生學習成績最穩(wěn)定 當當9x時，時，2 .135 y， 所以預(yù)測該生的第九次成績約為所以預(yù)測該生的第九次成績約為 135.2. 18.已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列 n a的公比的公比1q ，且，且 135 42aaa， 3 9a 是是 15 ,a a的等差中項，數(shù)列的等差中項，數(shù)列 n b的的 通項公式通項公式 1 2 11 n n nn b aa ， * nN . （1）求數(shù)列）求數(shù)列 n a的通項公式；的通項公式； （2）求數(shù)列）求數(shù)列 n b的前的前 n 項和項和 n S. 解解： （1）由）由 3 9a 是是 1 a， 5 a的等差中項得的等差中項得 153 218aaa， 所以所以 135 aaa 3 31842a，解得，解得 3 8a ， 由由 15 34aa，得，得 2 2 8 834q q ，解得，解得 2 4q 或或 2 1 4 q ，因為，因為1q ，所以，所以2q =. 所以，所以，2n n a . （2）由（）由（1）可得）可得 1 2 2121 n n nn b ， * nN . 所以所以 1 2 2121 n n nn b 1 11 2 ( 2121) ( 2121)( 2121) nnn nnnn 1 1 2 ( 2121) 21 21 nnn nn 1 1 2 ( 2121) 2121 2 nnn nn n ， 所以所以+. 第第 17 頁頁 共共 21 頁頁 19如圖如圖，四邊形四邊形PCBM是直角梯形是直角梯形，90PCB，/PMBC，1PM ，2BC ，又又1AC ， 120ACB，ABPC，直線，直線AM與直線與直線PC所成的角為所成的角為 60. （1）求證：）求證：PCAC； （2）求點）求點B到平面到平面ACM的距離的距離. 【答案【答案】 （1）證明見解析）證明見解析； （2） 2 21 7 . 【解析】【解析】 【分析】【分析】 （1）根據(jù)已知根據(jù)已知BCPC，ABPC，可得可得PC 平面平面 ABC，即可證明結(jié)論；，即可證明結(jié)論； （2）過）過M做做/ /MOPC，交，交BC于于O，連，連AO，根據(jù)，根據(jù) （1）可得）可得OM 平面平面ABC，得到，得到OMA為異面直線為異面直線 AM與直線 與直線PC所成的角，在所成的角，在AOC求出求出OA，Rt AOM中可得出中可得出,OM AM，求出，求出, ACMABC SS ， 用等體積法，即可求解用等體積法，即可求解. 【詳解】【詳解】 （1）BCPC，ABPC，ABBCB， PC 平面平面ABC， AC 平面平面ABC，PCAC. （2）過）過M做做/ /MOPC，交，交BC于于O，連，連AO， 第第 18 頁頁 共共 21 頁頁 1PM ，2BC ，O為為BC中點，中點， PC 平面平面ABC，OM 平面平面ABC，OMOA， OMA為異面直線為異面直線AM與直線與直線PC所成的角，所成的角， 60OMA，在，在AOC中，由余弦定理得，中，由余弦定理得， 222 2cos3OACAOCCA OCACB ， 3,1,2 tan60 OA OAOMAM ， 2MC 在在ACM中，中， 222 4 1 23 cos 22 2 14 AMACMC MAC AM AC ， 2 7 sin1 cos 4 MACMAC ， 17 sin 24 MAC SAC AMMAC ， 13 sin 22 ABC SCA CBACB ， 設(shè)點設(shè)點B到平面到平面ACM的距離為的距離為, MABCB MAC h VV ， 3 112 21 2 , 3377 4 ABCMAC SOMShh ， 點點B到平面到平面ACM的距離為的距離為 2 21 7 . 【點睛】【點睛】 本題考查空間點本題考查空間點、線線、面位置關(guān)系面位置關(guān)系，證明直線與直線垂直證明直線與直線垂直，應(yīng)用等體積法求點到平面的距離應(yīng)用等體積法求點到平面的距離，考查直考查直 觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題. . 第第 19 頁頁 共共 21 頁頁 20.（本題滿分（本題滿分 12 分）分）已知拋物線已知拋物線 2 2yx，過點，過點(1,1)P分別作斜率為分別作斜率為 1 k， 2 k的拋物線的動弦的拋物線的動弦AB、 CD，設(shè)，設(shè)M、N分別為線段分別為線段AB、CD的中點的中點 （）若）若P為線段為線段AB的中點，求直線的中點，求直線AB的方程；的方程； （）若）若 12 1kk，求證直線，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標恒過定點，并求出定點坐標 解解： （）設(shè)設(shè) 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，則，則 2 11 2yx， 2 22 2yx ，得，得 121212 ()()2()yyyyxx 又因為又因為(1,1)P是線段是線段AB的中點，所以的中點，所以 12 2yy 所以，所以， 21 1 2121 2 =1 yy k xxyy 又直線又直線AB過過(1,1)P，所以直線，所以直線AB的方程為的方程為yx；5 5 分分 （）依題設(shè)依題設(shè)(,) MM M xy，直線，直線AB的方程為的方程為 1 1(1)yk x ，即，即 11 1yk xk ， 亦即亦即 12 yk xk，代入拋物線方程并化簡得，代入拋物線方程并化簡得 222 1122 (22)0k xk kxk 所以，所以， 1212 12 22 11 2222k kk k xx kk 7 7 分分 于是，于是， 12 2 1 1 M k k x k ， 12 1212 2 1 1 1 1 MM k k ykxkkk k k 同理，同理， 12 2 2 1 N k k x k ， 2 1 N y k 9 9 分分 易知易知 1 2 0k k ，所以直線，所以直線MN的斜率的斜率 21 21 1 MN MN yyk k k xxk k 故直線故直線MN的方程