倒易空間和布里淵區(qū)

上節(jié)回顧：,1、計算一個在周期場中運動的電子的波函數(shù)時常使用單電子近似方法，其主要內(nèi)容是什么?2、布洛赫定理的內(nèi)容是什么？如何理解？3、簡要介紹如何求解克龍尼克-潘納模型中電子的運動狀態(tài)？隱色散關系的意義是什么？4、請畫出三種能帶結構示意圖。（擴展，簡約，周期）5、什么是自由電子近似方法？在布里淵區(qū)邊界處采用簡并微擾，其基本思路是什么？這種方法可以告訴我們關于能帶的什么信息？6.什么是倒空間?如何理解倒空間?7.布里淵區(qū)和倒空間的關系如何?,倒格子與布里淵區(qū),簡單晶格,復式晶格,在晶格中取一個格點為頂點，以三個不共面的方向上的周期為邊長形成的平行六面體作為重復單元，這個平行六面體即為原胞，它是體積最小的重復單元。代表原胞三個邊的矢量稱為原胞的基本平移矢量，簡稱基矢。,1原胞,特點：格點只在平行六面體的頂角上，面上和內(nèi)部均無格點，平均每個固體物理學原胞包含1個格點。,(1)固體物理學原胞(原胞),基矢：固體物理學原胞基矢通常用表示。,體積為：,原胞內(nèi)任一點的位矢表示為：,(2)結晶學原胞（單胞）,構造：使三個基矢的方向盡可能地沿著空間對稱軸的方向，它具有明顯的對稱性和周期性。,基矢：結晶學原胞的基矢一般用表示。,特點：結晶學原胞不僅在平行六面體頂角上有格點，面上及內(nèi)部亦可有格點。其體積是固體學原胞體積的整數(shù)倍。,體積為：,(a)簡立方,(3)固體學原胞與結晶學原胞（單胞）的比較,結晶學原胞和固體學原胞相同包含1個格點。,平均每個結晶學原胞包含4個格點；體積為。,(b)面心立方(Cu,Ag,Au),固體物理學原胞的體積,(c)體心立方,平均每個布拉維原胞包含2個格點,固體物理學原胞的體積,（Na，Li,K),倒格子是相對于正格子而言的，因此首先確定要確定正格子。a1,a2,a3稱為正點陣。,a1,a2,a3,2.倒格子（ReciprocalLattice）,定義b1,b2,b3為新的基矢：,b1垂直于a2a3晶面b2垂直于a1a3晶面b3垂直于a1a2晶面,a1,a2,b3,a3,b2,b1,b1,b2,b3為不共面的基矢，稱為倒易點陣（reciprocallattice）或倒格子,下面簡單說一下b1與a2a3晶面面間距的關系：,為平行四邊形（a2,a3）的面積，則有,設(a2,a3)平面所在的晶面族的面間距為d1,表明倒易點陣基矢的長度正好與晶面間距的倒數(shù)成正比,說明：(1)倒易點陣基矢的大小是該晶面族的晶面間距的倒數(shù)的2倍。單位為長度的倒數(shù)。(2)倒易點陣基矢的方向是該晶面的法線方向，倒易點陣的一個基矢與正點陣的一組晶面相對應。也可以說正點陣里的一族晶面與倒易點陣中的一個點相對應。,a1,a2,b3,a3,b2,b1,Soeverycrystalstructurehastwolatticesassociatedwithit,thedirectlatticeandthereciprocallattice.Thuswhenwerotateacrystalinaholder,werotateboththedirectlatticeandthereciprocallattice.,Adiffractionpatternofacrystalisamapofthereciprocallatticeofacrystal.,Amicroscopeimage,ifitcouldberesolvedonafineenoughscale,isamapofthedirectlatticeofthecrystal,orthecrystalstructureinrealspace.,產(chǎn)生衍射的斑點是產(chǎn)生電子衍射的晶面（在厄瓦爾德球面上）的倒易點。,Vectorsinthedirectlatticehavethedimensionsoflength;vectorsinthereciprocallatticehavethedimensionsof1/length.ThereciprocallatticeisalatticeintheFourierspaceassociatedwiththecrystal.,例題：試確定簡立方和BCC結構的倒易點陣解：BCC原胞的基矢一般如下選取：a1=(a/2)(-i+j+k)a2=(a/2)(i-j+k)a3=(a/2)(i+j-k)其中i、j、k為單位矢量,a為晶胞的邊長,原胞體積：倒格矢的基矢為：,倒易點陣與正點陣的關系1、兩種點陣的基矢之間的關系,2、兩種點陣位矢之間的關系設在正點陣中，位置矢量為：在倒易點陣中，位置矢量為：,則有：,3、兩種點陣的原胞之間的關系：,上式說明，如果兩個矢量滿足上式，其中一個是正格矢，另一個必為倒格矢。,4、同一物理量在正點陣和倒易點陣中的表達式滿足傅立葉變換關系。,為晶格平移矢量。將周期函數(shù),為相應的基矢。作傅里葉變換：,利用晶格的平移周期性有：,展開為傅里葉級數(shù),Fourierspace：,n為整數(shù).顯然，當?shù)垢褡踊竍j和正格子基矢ai之間滿足下列關系時上式必然成立。,于是,設晶格基矢為,相應的倒格子基矢定義為：,顯然倒格矢,滿足傅里葉變換。,式中是晶格原胞的體積,用波矢k空間的點來描述電子態(tài)是可取的。波矢空間就是倒格矢空間。（單位）,【討論】固體物理中為什么要引入波矢空間？,（正格矢空間稱為坐標空間或位置空間，倒格矢空間為狀態(tài)空間。）,3布里淵區(qū),要知道一個能帶中有多少個量子態(tài)，必須求出在一個布里淵區(qū)內(nèi)電子狀態(tài)的點數(shù)。考慮到k的周期性，可以把k的取值范圍限制在一個區(qū)域內(nèi)，這個區(qū)域是一個最小的周期性重復單元。這個最小的單元就是上面簡約布里淵區(qū)。布里淵區(qū)在研究晶體內(nèi)電子的運動時特別重要，因為當晶體中的電子表現(xiàn)出波動性時，它們也會在這些界面上發(fā)生反射。因此，如何做出布里淵區(qū)有重要意義。,作出布里淵區(qū)的方法？從倒格子點陣的原點出發(fā)，作出它最近鄰點的倒格子點陣矢量，并作出每個矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS(威格納-塞茲）原胞，稱為第一布里淵區(qū)（簡約）。同樣可以作出第二、第三布里淵區(qū)。,一維晶格點陣的布里淵區(qū)?,1）.一維晶格點陣的布里淵區(qū)一維晶格點陣的基矢為a=ai，對應的倒格子基矢，離原點最近的倒格矢為b和-b。這些矢量的垂直平分面構成第一布里淵區(qū)，其邊界為，如圖所示。,圖一維晶格的正格子點陣、倒格子點陣和第一布里淵區(qū),二維正方結構晶格點陣的基矢為a1=ai、a2=aj。相應的倒格子為即倒格子點陣也是正方點陣，點陣常數(shù)為,2）.二維正方結構晶格點陣的布里淵區(qū),圖二維正方晶格的布里淵區(qū),由圖可知，每個布里淵區(qū)的體積都與倒格子原胞的體積相等。將任一布里淵區(qū)的各個部分位移適當?shù)牡垢袷妇涂珊喜⒊傻谝徊祭餃Y區(qū)。第n個布里淵區(qū)必與第n-1個布里淵區(qū)相鄰。只需關注第一布里淵區(qū)的情況，便能得知其他布里淵區(qū)得情況。,三維簡立方結構晶格點陣的基矢a1=ai、a2=aj、a3=ak，原胞體積為a3，對應的倒格子基矢為：因此，它的倒格子點陣也是簡立方結構，結構常數(shù)為。,（請同學嘗試）,3）.計算題：三維簡立方結構晶格點陣的布里淵區(qū)的形狀如何？體積是多少？,離原點最近的六個倒格點的倒格矢為：它們的中點為：過中點作垂直平分面構成第一布里淵區(qū)，這六個面圍成了邊長為2/a，體積為（2/a）3的立方體。因此，簡立方點陣的第一布里淵區(qū)仍是一個簡立方。,4）.體心立方結構與面心立方晶格點陣的簡約布里淵區(qū)按照以上原則，可以得到體心立方與面心立方晶格點陣的布里淵區(qū)。,圖（a）體心的簡約布里淵區(qū)（b）面心的簡約布里淵區(qū),體心立方結構的第一布里淵區(qū)是菱形十二面體，其體積正好是倒格子原胞的大