矩陣分析ppt精選課件

矩陣分析,主講教師：魏豐,第三章內(nèi)積空間，正規(guī)矩陣與H-陣定義：設(shè)是實(shí)數(shù)域上的維線性空間，對(duì)于中的任意兩個(gè)向量按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱為與的內(nèi)積，記為，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：,這里是中任意向量，為任意實(shí)數(shù)，只有當(dāng)時(shí)，我們稱帶有這樣內(nèi)積的維線性空間為歐氏空間。例1在中，對(duì)于規(guī)定容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，從而成為一個(gè)歐氏空間。如果規(guī)定,容易驗(yàn)證也是上的一個(gè)內(nèi)積，這樣又成為另外一個(gè)歐氏空間。,例2在維線性空間中，規(guī)定容易驗(yàn)證這是上的一個(gè)內(nèi)積，這樣對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。例3在線性空間中，規(guī)定,容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，這樣對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。定義：設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間，對(duì)于中的任意兩個(gè)向量按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱為與的內(nèi)積，記為，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：,這里是中任意向量，為任意復(fù)數(shù)，只有當(dāng)時(shí)，我們稱帶有這樣內(nèi)積的維線性空間為酉空間。歐氏空間與酉空間通稱為內(nèi)積空間。例1設(shè)是維復(fù)向量空間，任取,規(guī)定容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，從而成為一個(gè)酉空間。例2設(shè)表示閉區(qū)間上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，定義,容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，于是便成為一個(gè)酉空間。例3在維線性空間中，規(guī)定其中表示中所有元素取共軛復(fù)數(shù)后再轉(zhuǎn)置，容易驗(yàn)證是上的一個(gè)內(nèi)積，從而連同這個(gè)內(nèi)積一起成為酉空間。內(nèi)積空間的基本性質(zhì)：,歐氏空間的性質(zhì)：,酉空間的性質(zhì)：,定義：設(shè)是維酉空間，為其一組基底，對(duì)于中的任意兩個(gè)向量那么與的內(nèi)積,令,稱為基底的度量矩陣，而且定義：設(shè)，用表示以的元素的共軛復(fù)數(shù)為元素組成的矩陣，記,則稱為的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣。不難驗(yàn)證復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿足下列性質(zhì)：,定義：設(shè),如果，那么稱為Hermite矩陣；如果，那么稱為反Hermite矩陣。例判斷下列矩陣是H-陣還是反H-陣。,（5）實(shí)對(duì)稱矩陣（6）反實(shí)對(duì)稱矩陣（7）歐氏空間的度量矩陣（8）酉空間的度量矩陣內(nèi)積空間的度量定義：設(shè)為酉（歐氏）空間，向量的長度定義為非負(fù)實(shí)數(shù)例在中求下列向量的長度,解：根據(jù)上面的公式可知一般地，我們有:對(duì)于中的任意向量其長度為,這里表示復(fù)數(shù)的模。定理：向量長度具有如下性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，,例1：在線性空間中，證明例2設(shè)表示閉區(qū)間上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，證明：對(duì)于任意的，我們有,定義：設(shè)為歐氏空間，兩個(gè)非零向量的夾角定義為于是有定理：,因此我們引入下面的概念;定義：在酉空間中，如果，則稱與正交。定義：長度為1的向量稱為單位向量，對(duì)于任何一個(gè)非零的向量，向量總是單位向量，稱此過程為單位化。,標(biāo)準(zhǔn)正交基底與Schmidt正交化方法定義：設(shè)為一組不含有零向量的向量組，如果內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱其為正交的向量組。定義：如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例在中向量組,與向量組都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。,定義：在維內(nèi)積空間中，由個(gè)正交向量組成的基底稱為正交基底；由個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組成的基底稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基底。注意：標(biāo)準(zhǔn)正交基底不唯一。在上面的例題中可以發(fā)現(xiàn)這一問題。定理：向量組為正交向量組的充分必要條件是;向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充分必要條件是,定理：正交的向量組是一個(gè)線性無關(guān)的向量組。反之，由一個(gè)線性無關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。Schmidt正交化與單位化過程:設(shè)為維內(nèi)積空間中的個(gè)線性無關(guān)的向量，利用這個(gè)向量完全可以構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。,第一步正交化容易驗(yàn)證是一個(gè)正交向量組。,第二步單位化顯然是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例1運(yùn)用正交化與單位化過程將向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。解：先正交化,再單位化,那么即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。例2求下面齊次線性方程組,其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。解：先求出其一個(gè)基礎(chǔ)解系下面對(duì)進(jìn)行正交化與單位化：,即為其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。,酉變換與正交變換定義：設(shè)為一個(gè)階復(fù)矩陣，如果其滿足則稱是酉矩陣，一般記為設(shè)為一個(gè)階實(shí)矩陣，如果其滿足則稱是正交矩陣，一般記為,例：,是一個(gè)正交矩陣,是一個(gè)正交矩陣,是一個(gè)正交矩陣,（5）設(shè)且，如果則是一個(gè)酉矩陣。通常稱為Householder矩陣。,是一個(gè)酉矩陣,酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)，那么設(shè)，那么,定理：設(shè)，是一個(gè)酉矩陣的充分必要條件為的個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。定義：設(shè)是一個(gè)維酉空間，是的一個(gè)線性變換，如果對(duì)任意的都有,則稱是的一個(gè)酉變換。定理：設(shè)是一個(gè)維酉空間，是的一個(gè)線性變換，那么下列陳述等價(jià)：（1）是酉變換；（3）將的標(biāo)準(zhǔn)正交基底變成標(biāo)準(zhǔn)正交基底；（4）酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為酉矩陣。注意：關(guān)于正交變換也有類似的刻劃。,冪等矩陣定義：設(shè)，如果滿足則稱是一個(gè)冪等矩陣。例是一個(gè)分塊冪等矩陣。,冪等矩陣的一些性質(zhì)：設(shè)是冪等矩陣，那么有（1）都是冪等矩陣；（2）（3）（4）的充分必要條件是（5）,定理：設(shè)是一個(gè)秩為的階矩陣，那么為一個(gè)冪等矩陣的充分必要條件是存在使得推論：設(shè)是一個(gè)階冪等矩陣，則有定義：設(shè)為一個(gè)維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么稱型矩陣,為一個(gè)次酉矩陣。一般地將其記為定理：設(shè)為一個(gè)階矩陣，則的充分必要條件是存在一個(gè)型次酉矩陣使得其中。,引理：的充分必要條件是證明：設(shè)，那么,必要性：如果為一個(gè)維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么,充分性：設(shè)，那么由，可得,即這表明是一個(gè)維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組。定理的證明：必要性：因，故有個(gè)線性無關(guān)的列向量，將這個(gè)列向量用Schmidt方法得出個(gè)兩兩正交的單位向量，以這個(gè)向量為列構(gòu)成一個(gè)型次酉矩陣,。注意到的個(gè)列向量都可以由的個(gè)列向量線性表出。即如果那么可得,其中,，由于向量組的秩為，所以的秩為。,下面證明。由可得，即注意到，所以,即因?yàn)椋?，這樣得到于是,充分性：若，則,Schur引理與正規(guī)矩陣定義：設(shè)，若存在，使得則稱酉相似(或正交相似)于定理(Schur引理)：任何一個(gè)階復(fù)矩陣酉相似于一個(gè)上(下)三角矩陣。,證明：用數(shù)學(xué)歸納法。的階數(shù)為1時(shí)定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè)的階數(shù)為時(shí)定理成立，考慮的階數(shù)為時(shí)的情況。取階矩陣的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的單位特征向量為，構(gòu)造以為第一列的階酉矩陣，,因?yàn)闃?gòu)成的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故,，因此,其中是階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在階酉矩陣滿足,(上三角矩陣),令那么,注意:等號(hào)右端的三角矩陣主對(duì)角線上的元素為矩陣的全部特征值.定理(Schur不等式):設(shè)為矩陣的特征值,那么例:已知矩陣,試求酉矩陣使得為上三角矩陣.解:首先求矩陣的特征值,所以為矩陣的三重特征值.當(dāng)時(shí),有單位特征向量再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解向量,再解與內(nèi)積為零的方程組求得一個(gè)單位解向量取,計(jì)算可得,令,再求矩陣的特征值所以為矩陣的二重特征值.當(dāng)時(shí),有單位特征向量,再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個(gè)單位解向量,取計(jì)算可得,令于是有,則,矩陣即為所求的酉矩陣.正規(guī)矩陣定義:設(shè),如果滿足,那么稱矩陣為一個(gè)正規(guī)矩陣.設(shè),如果同樣滿足那么稱矩陣為一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣.例:(1)為實(shí)正規(guī)矩陣,(2)其中是不全為零的實(shí)數(shù),容易驗(yàn)證這是一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣.,(3)這是一個(gè)正規(guī)矩陣.(4)H-陣,反H-陣,正交矩陣,酉矩陣,對(duì)角矩陣都是正規(guī)矩陣.正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理,引理1:設(shè)是一個(gè)正規(guī)矩陣,則與酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理2:設(shè)是一個(gè)正規(guī)矩陣,且又是三角矩陣,則必為對(duì)角矩陣.由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理定理:設(shè),則是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個(gè)酉矩陣使得,其中是矩陣的特征值.推論1:階正規(guī)矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,推論2:正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量彼此正交.例1:設(shè)求正交矩陣使得為對(duì)角矩陣.解:先計(jì)算矩陣的特征值,其特征值為對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系現(xiàn)在將單位化并正交化,得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量,對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量,將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣,則矩陣即為所求正交矩陣且有,例2:設(shè),求酉矩陣使得為對(duì)角矩陣.,解:先計(jì)算矩陣的特征值其特征值為對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系,現(xiàn)在將單位化,得到一個(gè)單位向量,對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量,對(duì)于特征值解線性方程組求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個(gè)單位向量,將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣,則矩陣即為所求酉矩陣且有,例3證明:(1)H-矩陣的特征值為實(shí)數(shù);H-矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的.(2)反H-矩陣的特征值為零或純虛數(shù).(3)酉矩陣的特征值模長為1.定理:設(shè)是正規(guī)矩陣,則(1)是H-陣的充要條件是的特征值為實(shí)數(shù).,(2)是反H-陣的充要條件是的特征值的實(shí)部為零.(3)是U-陣的充要條件是的特征值的模長為1.注意:正規(guī)矩陣絕不僅此三類.例4:設(shè)是一個(gè)反H-陣,證明:是U-陣.證明:根據(jù)U-陣的定義,由于是反H-陣,所以,這樣于是可得,這說明為酉矩陣.,例5:設(shè)是一個(gè)階H-陣且存在自然數(shù)使得,證明:.證明:由于是正規(guī)矩陣,所以存在一個(gè)酉矩陣使得,于是可得從而這樣,即Hermite二次型(Hermite二次齊次多項(xiàng)式)Hermite矩陣的基本性質(zhì)引理:設(shè),則(1)都是H-陣.,(2)是反H-陣.(3)如果是H-陣,那么也是H-陣,為任意正整數(shù).(4)如果是可逆的H-陣,那么也是可逆的H-陣.(5)如果是H-陣(反H-陣),那么是反H-矩陣(H-陣),這里為虛數(shù)單位.(6)如果都是H-陣,那么也是H-陣,這里均為實(shí)數(shù).(7)如果都是H-陣,那么也是H-陣的充分必要條件是,定理:設(shè),則(1)是H-陣的充分必要條件是對(duì)于任意的是實(shí)數(shù).(2)是H-陣的充分必要條件是對(duì)于任意的階方陣為H-陣.H-陣的結(jié)構(gòu)定理定理:設(shè),則是H-陣的充分必要條件是存在一個(gè)酉矩陣使得,其中,此定理經(jīng)常敘述為:H-陣酉相似于實(shí)對(duì)角矩陣.推論:實(shí)對(duì)稱陣正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣.,例:設(shè)為一個(gè)冪等H-陣,則存在酉矩陣使得證明:由于為一個(gè)H-陣,所以存在酉矩陣使得,又由于為一個(gè)冪等H-陣,從而或?qū)?放在一起,將0放在一起,那么可找到一個(gè)酉矩陣使得,這里為矩陣的秩.Hermite二次型(Hermite二次齊次多項(xiàng)式)定義:由個(gè)復(fù)變量,系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊次多項(xiàng)式,稱為Hermite二次型,這里如果記,那么上面的Hermite二次型可以記為稱為Hermite二次型對(duì)應(yīng)的矩陣,并稱的秩為Hermite二次型的秩.對(duì)于Hermite二次型作可逆的線性替換則,這里Hermite二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只含有純的平方項(xiàng)無交叉項(xiàng)的二次型我們稱這種形狀的Hermite二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的Hermite二次型.定理:對(duì)于任意一個(gè)Hermite二次型,必存在酉線性替換可以將Hermite二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是H-矩陣的特征值.進(jìn)一步,我們有定理:對(duì)于Hermite二次型,必存在可逆的線性替換可以將Hermite二次型化為其中.我們稱上面的標(biāo)準(zhǔn)形為Hermite二次型的規(guī)范形.例:寫出下面Hermite二次型的矩陣表達(dá)式,并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形.,解:,正定Hermite二次型與正定Hermite矩陣定義:對(duì)于給定的Hermite二次形如果對(duì)于任意一組不全為零復(fù)數(shù)都有,則稱該Hermite二次形為正定的(半正定的),并稱相應(yīng)的H-矩陣為正定的(半正定的).例:判斷下列Hermite二次形的類別,與正定的實(shí)二次形一樣,關(guān)于正定的Hermite二次形我們有定理:對(duì)于給定的Hermite二次形下列敘述是等價(jià)的,(1)是正定的(2)對(duì)于任何階可逆矩陣都有為正定矩陣(3)的個(gè)特征值都大于零(4)存在階可逆矩陣使得(5)存在階可逆矩陣使得(6)存在正線上三角矩陣使得,且此分解是唯一的.例1:設(shè)是一個(gè)正定的H-陣,且又是酉矩陣,則證明:由于是一個(gè)正定H-陣,所以必存在,酉矩陣使得由于又是酉矩陣,所以,這樣必有,從而例2:設(shè)是一個(gè)正定的H-陣,是一個(gè)反H-陣,證明:與的特征值實(shí)部為零.證明:設(shè)為矩陣的任意一個(gè)特征值,那么有.由于是一個(gè)正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得將其代入上面的特征多項(xiàng)式有,這說明也是矩陣的特征值.另一方面注意矩陣為H-反陣,從而實(shí)部為零.同樣可以證明另一問.,例3:設(shè)是一個(gè)正定的H-陣,是一個(gè)反H-陣,證明:是可逆矩陣.證明:由于是一個(gè)正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得這表明是可逆的.于是另一方面注意矩陣仍然為正定H-陣,而矩陣為H-反陣,由上面的例題結(jié)論可知,矩陣的特征值實(shí)部為零,那么矩陣的特征值中不可能有零,從而,定理:對(duì)于給定的Hermite二次形下列敘述是等價(jià)的:(1)是半正定的,(2)對(duì)于任何階可逆矩陣都有為半正定矩陣(3)的個(gè)特征值全是非負(fù)的存在階可逆矩陣使得(5)存在秩為的階矩陣使得,定理:設(shè)是正定(半正定)Hermite矩陣,那么存在正定(半正定)Hermite矩陣使得例1:設(shè)是一個(gè)半正定的H-陣且證明:證明:設(shè)為的全部特征值,由于是半正定的,所以.于是有,例2:設(shè)是一個(gè)半正定的H-陣且是一個(gè)正定的H-陣,證明:證明:由于是一個(gè)正定的H-陣,所以存在可逆矩陣使得這樣有,注意矩陣仍然是一個(gè)半正定的H-陣,有上面的例題可知從而,例3:證明：（1）半正定H-矩陣之和仍然是半正定的;（2）半正定H-矩陣與正定H-陣之和和是正定的;證明：設(shè)都是半正定H-陣，那么二者之和仍然是一個(gè)H-陣，其對(duì)應(yīng)的Hermite二次型為其中,由于都是半正定H-矩陣，所以對(duì)于任意一組不全為零的復(fù)數(shù)我