2020中考數(shù)學壓軸題專題17 二次函數(shù)的面積問題

專題17二次函數(shù)的面積問題【考點1】二次函數(shù)的線段最值問題【例1】如圖，拋物線yax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DEBC于點E（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求線段DE長度的最大值【答案】（1）yx2+x+3；（2）最大值是【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得DM，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得DE的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案【詳解】解：（1）由題意得，解得，拋物線的函數(shù)表達式為yx2+x+3；（2）過點D作DMx軸交BC于M點，由勾股定理得，BC5，設直線BC的解析是為ykx+b，則，解得，直線BC的解析是為yx+3，設點M的坐標為（a，a+3），DM（a2+a+3）（a+3）a2+3a，DMEOCB，DEMBOC，DEMBOC，即，解得，DEDMDEa2+a（a2）2+，當a2時，DE取最大值，最大值是【點睛】本題考查的是二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關(guān)鍵【變式1-1】已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1，且m0（1）求拋物線的頂點坐標；（2）試說明拋物線與直線有兩個交點；（3）已知點T（t，0），且-1t1，過點T作x軸的垂線，與拋物線交于點P，與直線交于點Q，當0m3時，求線段PQ長的最大值【答案】（1）（-1，-1）；（2）見解析；（3）PQ的最大值為6.【解析】【分析】（1）化為頂點式即可求頂點坐標;（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知拋物線與直線有兩個交點; （3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點，點P的坐標為（t，mt2+2mt+m-1），點Q的坐標為（t，mt+m-1） 故分兩種情況進行討論：如圖1，當-1t0時；如圖2，當0t1時，求出對應的最大值即可【詳解】解：（1）y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，拋物線的頂點坐標為（-1，-1）（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，m0，x1=0，x2=-1拋物線與直線有兩個交點（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點，點P的坐標為（t，mt2+2mt+m-1），點Q的坐標為（t，mt+m-1）如圖1，當-1t0時，PQ=m0，當時，PQ有最大值，且最大值為0m3，即PQ的最大值為如圖2，當0t1時，PQ=m0，當t=1時，PQ有最大值，且最大值為2m0m3，02m6，即PQ的最大值為6綜上所述，PQ的最大值為6【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的應用，（1）（2）題相對簡單，（3）題要分情況進行討論方右解答，因此做此類題型，在進行分類討論時，盡量通過大致圖象數(shù)型結(jié)合進行解答【變式1-2】如圖1，已知拋物線y=x2+mx+m2的頂點為A，且經(jīng)過點B（3，3）（1）求頂點A的坐標（2）若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個動點，求OPB的面積的最大值及比時點P的坐標；（3）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】（1）（1，1）；（2）P（32，34）；（3）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標；（2）過點P作y軸的平行線交OB與點Q，求出直線BP的解析式，表示出點Q的坐標，根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得P點坐標；（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OA的解析式，可得C、D點的橫坐標，根據(jù)勾股定理，可得答案【詳解】解：（1）把B（3，3）代入y=x2+mx+m2得：3=32+3m+m2，解得m=2，y=x2+2x=（x+1）2+1，頂點A的坐標是（1，1）；（2）過點P作y軸的平行線交OB與點Q.直線OB的解析式為y=x，故設P（n，n2+2n），Q（n，n），PQ=n2+2n（n）=n2+3n，SOPB=（n2+3n）=（n）+，當n=時，SOPB的最大值為此時y=n2+2n=，P（，）；（3）直線OA的解析式為y=x，可設新的拋物線解析式為y=（xa）2+a，聯(lián)立，（xa）2+a=x，x1=a，x2=a1，即C、D兩點間的橫坐標的差為1，CD=【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，難度適中，是常見題型.【考點2】二次函數(shù)的面積定值問題【例2】已知二次函數(shù)（1）圖象經(jīng)過點時，則_；（2）當時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；（3）以拋物線的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正三角形（M，N兩點在拋物線上），請問：的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】（1）4；（2）m2；（3）的面積是與m無關(guān)的定值，SAMN.【解析】【分析】（1）將點代入二次函數(shù)解析式即可求出m；（2）求出二次函數(shù)的對稱軸為xm，由拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可求出m的取值范圍；（3）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計算三角形的面積，可得到AMN的面積是與m無關(guān)的定值【詳解】解：（1）將點代入可得：，解得：m=4；（2）二次函數(shù)的對稱軸是：xm，當x2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，m2；（3）的面積是與m無關(guān)的定值；如圖：頂點A的坐標為（m，m24m8），AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，MN交對稱軸于點B，tanAMBtan60，ABBMBN，設BMBNa，則ABa，點M的坐標為（ma，am24m8），點M在拋物線上，am24m8（ma）22m（ma）4m8，整理得：，解得：a或a0（舍去），AMN是邊長為的正三角形，AB=3，SAMN，與m無關(guān).【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)的應用，其中（3）問有一定難度，根據(jù)點M在拋物線上，求出正三角形的邊長是解題關(guān)鍵【變式2-1】如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，A點坐標為（1，0），OC=2，OB=3，點D為拋物線的頂點（1）求拋物線的解析式；（2）P為坐標平面內(nèi)一點，以B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點坐標；（3）若拋物線上有且僅有三個點M1、M2、M3使得M1BC、M2BC、M3BC的面積均為定值S，求出定值S及M1、M2、M3這三個點的坐標【答案】（1）y=x2+x+2；(2)見解析；（3）見解析.【解析】【詳解】分析：（1）由OC與OB的長，確定出B與C的坐標，再由A坐標，利用待定系數(shù)法確定出拋物線解析式即可；（2）分三種情況討論：當四邊形CBPD是平行四邊形；當四邊形BCPD是平行四邊形；四邊形BDCP是平行四邊形時，利用平移規(guī)律確定出P坐標即可；（3）由B與C坐標確定出直線BC解析式，求出與直線BC平行且與拋物線只有一個交點時交點坐標，確定出交點與直線BC解析式，進而確定出另一條與直線BC平行且與BC距離相等的直線解析式，確定出所求M坐標，且求出定值S的值即可詳解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），設拋物線解析式為y=a（x+1）（x3），把C（0，2）代入得：2=3a，即a=，則拋物線解析式為y=（x+1）（x3）=x2+x+2；（2）拋物線y=（x+1）（x3）=x2+x+2=（x1）2+，D（1，），當四邊形CBPD是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；當四邊形CDBP是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，）；當四邊形BCPD是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，）；（3）設直線BC解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得：，解得：，y=x+2，設與直線BC平行的解析式為y=x+b，聯(lián)立得：，消去y得：2x26x+3b6=0，當直線與拋物線只有一個公共點時，=368（3b6）=0，解得：b=，即y=x+，此時交點M1坐標為（，）；可得出兩平行線間的距離為，同理可得另一條與BC平行且平行線間的距離為的直線方程為y=x+，聯(lián)立解得：M2（，），M3（，），此時S=1點睛：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵【變式2-2】如圖：已知拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與交于點C，拋物線對稱軸與軸交于點D，為軸上一點（1）寫出點A、B、C的坐標（用表示）；（2）若以DE為直徑的圓經(jīng)過點C且與拋物線交于另一點F，求拋物線解析式；P為線段DE上一動（不與D、E重合），過P作作，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由；（3）如圖，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)30，與相交于點，連接.點是線段的中點，連接.若點是線段上一個動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，延長交于點若的面積等于的面積的，求線段的長【答案】（1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0，)（2）， ，理由見解析；（3）線段的長為2或【解析】（1）A（-3m，0），B（m，0），C（0，）（2）DCE為直角三角形OC2=ODOE，m=，DE為直徑，DCE=DFE=90，PQEC，PHDF，PQDC，PHEF，（3）A（，0），B（，0），又OAM=60 ，cos30=，OM=6，M（0，6）又tanABM=，OBM=60 ，AMB=90 ，是線段的中點，OSM=60 ，AOS=30 ，又SOT=90 ，AOT=60 ，直線TK：y=-x；BM：y=x-6，聯(lián)立兩個方程，解得：K（，-3）設MN=a，TK=TO+OK=a+2，KTN的高h=TKsin60=NK=，SKTN=SABM， a=2或a=點睛：本題考查二次函數(shù)綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、解直角三角形等知識，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會轉(zhuǎn)化，屬于中考壓軸題【考點3】二次函數(shù)的面積最值問題【例3】已知拋物線（1）求證：拋物線與軸必定有公共點；（2）若P（，y1），Q（2，y2）是拋物線上的兩點，且y1y2，求的取值范圍；（3）設拋物線與x軸交于點、，點A在點B的左側(cè)，與y軸負半軸交于點C，且，若點D是直線BC下方拋物線上一點，連接AD交BC于點E，記ACE的面積為S1，DCE的面積為S2，求是否有最值？若有，求出該最值；若沒有，請說明理由【答案】（1）見解析；（2）或，（3）沒有最小值；有最大值是【解析】分析：（1）本題需先根據(jù)判別式解出無論m為任何實數(shù)都大于零，再判斷出物線與x軸總有交點（2）分兩種情況：當點P在對稱軸的左側(cè)時，隨的增大而減小，得；當點P在對稱軸的右側(cè)時，隨的增大而增大，故得解.詳解：（1）令 得 無論取何值， 拋物線與軸必定有公共點 （2），拋物線的對稱軸是當點P在對稱軸的左側(cè)時，隨的增大而減小，y1y2， 當點P在對稱軸的右側(cè)時，隨的增大而增大，Q（2，y2）關(guān)于對稱軸的對稱點是（3，y2）y1y2， 綜上所述：或（3）， 、 ，解得或 、， 直線BC的解析式是設點A到直線BC的距離是，點D到直線BC的距離是，ACE的面積S1，DCE的面積S2 ， 求的最值轉(zhuǎn)化為求的最值設過點D與直線BC平行的直線解析式為當點D在直線BC下方的拋物線上運動時，無最小值，僅當直線與拋物線只有一個公共點時，有最大值即方程組有兩個相等的實數(shù)根 ， ，此時 沒有最小值；有最大值是、 點睛：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時要注意找出各點的坐標問題，再把各點代入解析式是解題的關(guān)鍵【變式3-1】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點.求點的坐標；求拋物線的解析式；如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點的坐標和面積的最大值.【答案】；點的坐標是時，的面積最大，最大面積是.【解析】【分析】利用利用x軸上點的坐標特點代入一次函數(shù)即可.根據(jù)拋物線經(jīng)過、兩點，先求出B點坐標，再用待定系數(shù)法求解析式即可.根據(jù)“鉛垂高，水平寬”方法求面積.過點作軸的平行線交直線于點，交軸于點，利用E、M橫坐標相等及所在函數(shù)關(guān)系式設出坐標，求出EM的長，再利用，把EM看作BEM和MEC的底，求出面積寫出關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】解：直線與軸交于點，當y=0時，解得x=4C點坐標為：直線與軸交于點，與軸交于點，當x=0時，解得y=3點的坐標是，點的坐標是，拋物線經(jīng)過、兩點，解得,拋物線的解析式為.如圖，過點作軸的平行線交直線于點，交軸于點，已知點是直線上方拋物線上的一動點，則可設點的坐標是，點的坐標是，.，.即當時，即點的坐標是時，的面積最大，最大面積是.【點睛】此題考查的是一次函數(shù)的與坐標軸的交點坐標；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；用“鉛垂高，水平寬”求面積最值問題.【變式3-2】如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點.(1)求這個拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點的坐標為，點為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)；(2)的最大值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)A,B兩點坐標可得出函數(shù)表達式；（2）設點，根據(jù)列出S關(guān)于x的二次函數(shù)表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】解：（1）將A,B兩點的坐標代入解析式得，解得故拋物線的表達式為：；（2）連接，設點，由（1）中表達式可得點， 則，故有最大值，當時，的最大值為.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)表達式的求法以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，有一定的綜合性.對于二次函數(shù)中的面積問題，常需用到“割補法”.【考點4】二次函數(shù)面積的其它問題【例4】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于兩點，拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于另一點.（1）求拋物線解析式及點坐標；（2）連接，求的面積；（3）若點為拋物線上一動點，連接，當點運動到某一位置時，面積為的面積的倍，求此時點的坐標.【答案】（1），；（2）；（3）點的坐標為， ，見解析.【解析】【分析】（1）利用兩點是一次函數(shù)上的點求出兩點，再代入二次函數(shù)求解即可.（2）根據(jù)，求出，求出ABC.（3）根據(jù)面積為的面積的倍，求出，得出求出此時M的坐標即可.【詳解】（1）解：直線令，則，解得令，則， 將點，代入中得，解得拋物線的解析式為：； 令，則，解得. （2）解：， （3）面積為的面積的倍，AB=4 ,， 拋物線的頂點坐標為符合條件，當時，解的，x1=，x2=，點的坐標為（3，-4）， ，.【點睛】本題考查的是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.【變式4-1】如圖，拋物線yax2bxc經(jīng)過原點O，與x軸交于另一點N，直線ykx4與兩坐標軸分別交于A、D兩點，與拋物線交于點B(1，m)、C(2，2)1. 求直線與拋物線的解析式2.若拋物線在x軸上方的部分有一動點P(x，y)，設PON，求當PON的面積最大時tan的值3. 若動點P保持（2）中的運動線路，問是否存在點P，使得POA的面積等于PON的面積的815？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1) 所求的拋物線為y=-2x2+5x (2)tan=52 (3) 存在點P，其坐標為（1，3）【解析】【分析】（1）根據(jù)C點的坐標可確定直線AD的解析式，進而可求出B點坐標，將B、C、O三點坐標代入拋物線中，即可求得此二次函數(shù)的解析式；（2）此題的關(guān)鍵是求出P點的坐標；PON中，ON的長為定值，若PON的面積最大，那么P點離ON的距離最遠，即P點為拋物線的頂點，根據(jù)（1）所得的拋物線解析式即可求得P點的坐標，進而可求出的正切值；（3）設出點P的橫坐標，根據(jù)拋物線的解析式可表示出P點的縱坐標；根據(jù)直線AD和拋物線的解析式可求出A、N的坐標；以ON為底，P點縱坐標為高可得到OPN的面積，以OA為底，P點橫坐標為高可得到OAP的面積，根據(jù)題目給出的POA和PON的面積關(guān)系即可求出P點的橫坐標，進而可求出P點的坐標【詳解】（1）將點C（2，2）代入直線y=kx+4，可得k=-1所以直線的解析式為y=-x+4當x=1時，y=3，所以B點的坐標為（1，3）將B、C、O三點的坐標分別代入拋物線y=ax2+bx+c，可得a+b+c=34a+2b+c=2c=0解得a=-2b=5c=0，所以所求的拋物線為y=-2x2+5x（2）因為ON的長是一定值，所以當點P為拋物線的頂點時，PON的面積最大，又該拋物線的頂點坐標為（54,258)，此時tan=yx=258:54=52（3）存在；把x=0代入直線y=-x+4得y=4，所以點A（0，4）把y=0代入拋物線y=-2x2+5x得x=0或x=52，所以點N（52，0）設動點P坐標為（x，y），其中y=-2x2+5x （0x52）則得：SOAP=12|OA|x=2xSONP=12|ON|y=1252（-2x2+5x）=54（-2x2+5x）由SOAP=815SONP，即2x=81554（-2x2+5x）解得x=0（舍去）或x=1， 得x=1，由此得y=3所以得點P存在，其坐標為（1，3）【點睛】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、圖形面積的求法等知識，主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法【變式4-2】如圖，拋物線與直線交于、兩點，過作軸交拋物線于點，直線交軸于點求、三點的坐標；若點是線段上的一個動點，過作軸交拋物線于點，連接、，當時，求的值；如圖，連接，及，設點是的中點，點是線段上任意一點，將沿邊翻折得到，求當為何值時，與重疊部分的面積是面積的【答案】（1）點坐標，點坐標，點坐標；（2）；（3）當或時，與重疊部分的面積是面積的【解析】【分析】（1）列方程組可知A、B兩點坐標，根據(jù)點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，列方程可求得點C坐標（2）如圖1中，設，則，根據(jù) 列出方程求出點H的橫坐標，根據(jù)三角形的面積公式計算即可解決問題（3）分兩種情形若翻折后，點G在直線OC下方時，連接CG如圖2，可證四邊形PFCG是平行四邊形，得，在RtPBO中，根據(jù)，即可解決問題若翻折后，點G在直線OC上方時，連接CG如圖3，可證四邊形PFGC是平行四邊形，得即可解決問題【詳解】解：由解得或，點坐標，點坐標，軸，點縱坐標為，由，解得或，點坐標如圖中，設，則，由題意，解得或（舍棄），若翻折后，點在直線下方時，連接如圖，四邊形是平行四邊形，在中，若翻折后，點在直線上方時，連接如圖，四邊形是平行四邊形，綜上所述:當或時，與重疊部分的面積是面積的【點睛】屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性比較強，難度較大.一、解答題1如圖，拋物線交軸于、兩點，其中點坐標為，與軸交于點.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖，連接，點在拋物線上，且滿足求點的坐標；（3）如圖，點為軸下方拋物線上任意一點，點是拋物線對稱軸與軸的交點，直線、分別交拋物線的對稱軸于點、請問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由【答案】（1）（2）或（3）為定值【解析】【分析】（1）把點、坐標代入拋物線解析式即求得、的值（2）點可以在軸上方或下方，需分類討論若點在軸下方，延長到，使構(gòu)造等腰，作中點，即有，利用的三角函數(shù)值，求、的長，進而求得的坐標，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點坐標若點在軸上方，根據(jù)對稱性，一定經(jīng)過點關(guān)于軸的對稱點，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點坐標（3）設點橫坐標為，用表示直線、的解析式，把分別代入即求得點、的縱坐標，再求、的長，即得到為定值【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點，.，解得：.拋物線的函數(shù)表達式為.（2）若點在軸下方，如圖1，延長到，使，過點作軸，連接，作中點，連接并延長交于點，過點作于點.當，解得：，.，中，為中點，即，中，.，中，.，即，設直線解析式為，解得：，直線：.，解得：（即點），.若點在軸上方，如圖2，在上截取，則與關(guān)于軸對稱，設直線解析式為，解得：，直線：.，解得：（即點），.綜上所述，點的坐標為或（3）為定值.拋物線的對稱軸為：直線，設，設直線解析式為，解得：，直線：，當時，設直線解析式為，解得：，直線：，當時，為定值【點睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應用解題關(guān)鍵在于第（2）題由于不確定點位置需分類討論；（2）（3）計算量較大，應認真理清線段之間的關(guān)系再進行計算.2如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PFBC于點F，點D、E的坐標分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點P的位置是發(fā)現(xiàn)：當點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；（3）請直接寫出PDE周長的最大值和最小值【答案】（1）yx2+8；（2）正確，d|PDPF|為定值2；理由見解析；（3）PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）首先表示出P，F(xiàn)點坐標，再利用兩點之間距離公式得出PD，PF的長，進而求出即可；（3）過E作EFx軸，交拋物線于點P，求得CPDEEDPEPDEDPEPF2ED2（PEPF），當P、E、F三點共線時，PEPF最??；當P與A重合時，PEPF最大；即可解答【詳解】（1）邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，C（0，8），A（8，0），設拋物線解析式為：yax2+c，則，解得：拋物線解析式為yx2+8（2）設P（x，x2+8），則F（x，8），則PF8（x2+8）x2PD2x2+6（x2+8）2x4+x2+4（x2+2）2PDx2+2，d|PDPF|x2+2x2|2d|PDPF|為定值2；（3）如圖，過點E作EFx軸，交拋物線于點P，由d|PDPF|為定值2，得CPDEED+PE+PDED+PE+PF+2ED+2+（PE+PF），又D（0，6），E（4，0）DECPDE2+2+（PE+PF），當PE和PF在同一直線時PE+PF最小，得CPDE最小值2+2+82 +10設P為拋物線AC上異于點A的任意一點，過P作PMx軸，交AB于點M，連接ME，如圖2由于E是AO的中點，易證得MEPE（當點P接近點A時，在PME中，顯然MPE是鈍角，故MEPE，與A重合時，等號成立），而MEAE+AM，所以PEAE+AM所以當P與A重合時，PE+PF最大，AE844，PD10得CPDE最大值2+4+102+14綜上所述，PDE周長的最大值是2+14，最小值是2+10【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及兩點距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵3如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=16 cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度勻速運動設運動時間為t秒（1）用含t的式子表示OPQ的面積S；（2）判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個定值，如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由；（3）當OPQABP時，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過B、P兩點，求拋物線的解析式；（4）在（3）的條件下，過線段BP上一動點M作y軸的平行線交拋物線于N，求線段MN的最大值【答案】（1）；（2）是；（3）；（4）9【解析】試題分析：（1）根據(jù)速度與時間的關(guān)系分別表示出CQ、OP、OQ的長度，然后利用三角形的面積公式列列式整理即可得解；（2）用矩形OABC的面積減去ABP與BCQ的面積，根據(jù)面積公式分別列式進行整理即可得解；（3）根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式，然后代入數(shù)據(jù)求解即可得到t值，從而得到點P的坐標；（4）先求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線解析式與拋物線解析式設出點M、N的坐標，再根據(jù)兩點間的距離表示出MN的長度，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答（1）CQ=t，OP=2t，CO=8，OQ=8-t，=128-64+8t-8t=64，四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于64；（3）當OPQABP時，./解得：t1=2，t2=8（舍去），此時P（4，0），B（16，8），拋物線解析式是；（4）設直線BP的解析式為y=kx+b直線BP的解析式是M在BP上運動，4m16，當時，MN有最大值是9考點：二次函數(shù)的綜合題點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型4如圖1所示，拋物線交x軸于點和點，交y軸于點 求拋物線的函數(shù)表達式；如圖2所示，若點M是拋物線上一動點，且，求點M的坐標；如圖3所示，設點N是線段AC上的一動點，作軸，交拋物線于點P，求線段PN長度的最大值【答案】（1）；（2）點P坐標為或或或； 線段PN長度最大值為4【解析】【分析】（1）把函數(shù)設為交點式，代入C點坐標，進而求出a的值即可；（2）設M點坐標為（x，-x2-3x+4），根據(jù)SAOM=3SBOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+4，再設N點坐標為（x，x+4），則P點坐標為（x，-x2-3x+4），然后用含x的代數(shù)式表示PN，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段PN長度的最大值【詳解】解：（1）把函數(shù)設為交點式，由，得，把代入，得，故拋物線的解析式為；（2）設M點坐標為，整理得或，解得或，則符合條件的點P坐標為或或或；（3）設直線AC的解析式為，將，代入，解得，即直線AC的解析式為，設點N坐標為，則P點坐標為，設，則，即當時，y有最大值4，故線段PN長度最大值為4【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，面積問題以及線段最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）該拋物線有一點D（x，y），使得SABCSDBC，求點D的坐標【答案】（1）y，x3；（2）P（3，）；（3）D的坐標為（6，4）【解析】【分析】（1）因為拋物線經(jīng)過點B（1，0），C（5，0），可以假設拋物解析式為y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解決問題，對稱軸根據(jù)圖象即可解決（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P，此時PAB周長最小求出直線AC的解析式即可解決問題；（3）根據(jù)面積相等且底邊相等的三角形的高也應該相等得出D的縱坐標為4，代入拋物線的解析式即可求得【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點B（1，0），C（5，0），可以假設拋物解析式為ya（x1）（x5），把A（0，4）代入得45a，a，拋物線解析式為y（x1）（x5）x2x+4拋物線對稱軸x3（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P，此時PAB周長最小設直線AC的解析式為ykx+b，A（0，4），C（5，0），解得，直線AC解析式為yx+4，把x3代入得，y，交點P為（3，）；（3）根據(jù)題意得D的縱坐標為4，把y4代入yx2x+4得，x2x+44，解得x0或6，把y4代入yx2x+4得，x26x+100，b24ac3641100，無解，(0,4)為A點(舍)，D的坐標為（6，4）【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、兩點之間線段最短、一次函數(shù)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會利用對稱解決最短問題6如圖，拋物線與軸相交于點（1，0）、（3，0），與軸相交于點，點為線段上的動點（不與、重合），過點垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點、，點在軸正半軸上，=2，連接、（1）求拋物線的解析式；（2）當四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；（3）過點的直線將（2）中的平行四邊形分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式（不必說明平分平行四邊形面積的理由）【答案】（1）拋物線的解析式為：；(2) 點坐標為或；(3) 當時，所求直線的解析式為：；當時，所求直線的解析式為：.【解析】試題分析：（1）將點和點的坐標代入拋物線函數(shù)中，可求出未知量，.則可求出該拋物線解析式；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可知，用含未知量的代數(shù)式表示的長度。則可得點坐標 ；（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或?qū)蔷€的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點與對稱中心的直線平分的面積求得此直線，首先要求得對稱中心的坐標.則兩點坐標可確定該直線.試題解析：（1）點、在拋物線上，解得，拋物線的解析式為：（2）在拋物線解析式中，令，得，設直線BC的解析式為，將，坐標代入得：，解得，設點坐標為，則，四邊形是平行四邊形，即，解得或，點坐標為或（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或?qū)蔷€的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點與對稱中心的直線平分的面積當時，點坐標為，又設對角線的中點為，則設直線的解析式為，將，坐標代入得：，解得， ，所求直線的解析式為：；當時，點坐標為，又，設對角線的中點為，則設直線的解析式為，將，坐標代入得：，解得，所求直線的解析式為:綜上所述，所求直線的解析式為：或【考點】1.一次函數(shù)解析式的解法；2.二次函數(shù)解析式的解法.7平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別為(0，3)、(，0)，將此平行四邊形繞點0順時針旋轉(zhuǎn)90，得到平行四邊形(1)若拋物線過點C，A，求此拋物線的解析式；(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形重疊部分的周長；(3)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，間：點M在何處時的面積最大?最大面積是多少?并求出此時點M的坐標【答案】解：(1)由ABOC旋轉(zhuǎn)得到，且點A的坐標為(0，3)，點的坐標為(3，0)所以拋物線過點C(-1，0)，A(0，3)，(3，0)設拋物線的解析式為，可得解得過點C，A，的拋物線的解析式為(2)因為ABCO，所以OAB=AOC=90,又.,又,又ABO的周長為的周長為（3）連接OM，設M點的坐標為，點M在拋物線上，=因為，所以當時，AMA的面積有最大值所以當點M的坐標為()時，AMA的面積有最大值，且最大值為【解析】（1）由圖形翻折性質(zhì)可知點的坐標為(3，0)，把有關(guān)點的坐標代入拋物線解析式，求得待定系數(shù)，即可知拋物線解析式；（2）相似三角形周長之比等于相似比；（3）（3）求面積最大值，可把面積化為二次函數(shù)形式，然后求最大值8如圖，已知拋物線經(jīng)過點、.（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；（2）若點在拋物線上，且點的橫坐標為8，求四邊形的面積（3）定點在軸上，若將拋物線的圖象向左平移2各單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線，點在新的拋物線上運動，求定點與動點之間距離的最小值（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1），;（2）36;（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)的表達式為：y=（x+1）（x-5），即可求解；（2）S四邊形AMBC=AB（yC-yD），即可求解；（3）拋物線的表達式為：y=x2，即可求解【詳解】（1）函數(shù)的表達式為：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，點M坐標為（2，-3）；（2）當x=8時，y=（x+1）（x-5）=9，即點C（8，9），S四邊形AMBC=AB（yC-yD）=6（9+3）=36；（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，拋物線的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線，則新拋物線表達式為：y=x2，則定點D與動點P之間距離PD=，0，PD有最小值，當x2=3m-時，PD最小值d=【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到圖形平移、面積的計算等知識點，難度不大9如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點在拋物線上，且，求點的坐標；（3）如圖，設點是線段上的一動點，作軸，交拋物線于點，求線段長度的最大值，并求出面積的最大值.【答案】（1）；（2）符合條件的點的坐標為：或或；（3）面積的最大值為.【解析】【分析】（1）把點A、C的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值；（2）設P點坐標為（x，-x2-2x+3），根據(jù)SAOP=4SBOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設Q點坐標為（x，x+3），則D點坐標為（x，-x2-2x+3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值,再根據(jù)求得最大面積【詳解】（1）把，代入，得，解得.故該拋物線的解析式為：. （2）由（1）知，該拋物線的解析式為，則易得.設P點坐標為（x，-x2-2x+3），.整理，得或，解得或.則符合條件的點的坐標為：或或； （3）設直線的解析式為，將，代入，得， 解得.即直線的解析式為.設點坐標為，則點坐標為，當時，有最大值. 此時，面積的最大值為.【點睛】考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想10拋物線經(jīng)過點A（-1,0）、B（4,0），與y軸交于點C（0,4）.(1)求拋物線的表達式；(2)點P為直線BC上方拋物線的一點，分別連接PB、PC，若直線BC恰好平分四邊形COBP的面積，求P點坐標；(3)在（2）的條件下，是否在該拋物線上存在一點Q,該拋物線對稱軸上存在一點N，使得以A、P、Q、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出Q點坐標，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）點P坐標為（2,6）；（3）Q點坐標為（，-)或（，）.【解析】分析：（1）把A、B、C三點坐標代入拋物線y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；（2）設P點坐標為（x，-x2+3x+4），根據(jù)四邊形COBP的面積=SCOP+ SBOP以及四邊形COBP的面積=2SCOB求解即可；(3)分AQ和AN分別為對角線時進行討論可得解.詳解：（1）把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三點坐標代入拋物線y=ax2+bx+c得， ,解得： 故拋物線的表達式為：y=-x2+3x+4；（2）設P點坐標為（x，-x2+3x+4），如圖，四邊形COBP的面積=SCOP+ SBOP=-2x2+8x+8直線BC平分四邊形COBP的面積四邊形COBP的面積=2SCOB 即：-2x2+8x+8= 解得x=2 將x=2代入拋物線表達式得y=6故點P坐標為（2,6）(3)存在當AQ為平行四邊形的對角線時，Q點橫坐標為，故Q（）當AN為平行四邊形的對角線時，Q點橫坐標為，故Q（）綜上所述，Q點坐標為（)或（）點睛：本題綜合考查了二次函數(shù)和平行四邊形存在性的判定等相關(guān)知識，應用了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論的數(shù)學思想.11如圖，頂點為的拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，過點作軸交拋物線于另一點，作軸，垂足為點.雙曲線經(jīng)過點，連接，.(1)求拋物線的表達式；(2)點，分別是軸，軸上的兩點，當以，為頂點的四邊形周長最小時，求出點，的坐標；【答案】(1)；(2)；【解析】【分析】（1）先求D的坐標，再代入二次函數(shù)解析式解析式求解；（2）分別作點，關(guān)于軸，軸的對稱點，連接交軸，軸于點，.即，F(xiàn),N，在同同一直線上時，四邊形的周長最小，用待定系數(shù)法求直線的表達式，再求N,F的坐標；【詳解】解：(1)由題意，得點的坐標，.，.點的坐標.將點，分別代人拋物線，得解得拋物線的表達式為.(2)分別作點，關(guān)于軸，軸的對稱點，連接交軸，軸于點，.由拋物線的表達式可知，頂點的坐標，點的坐標.設直線為，點的坐標，解得直線的表達式為.令，則，解得，點的坐標.令，則，點的坐標.【點睛】考核知識點：二次函數(shù)的綜合運用.數(shù)形結(jié)合分析問題是關(guān)鍵.12如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，頂點為，其對稱軸交軸于點直線經(jīng)過、兩點，交拋物線的對稱軸于點，其中點的橫坐標為(1)求拋物線的表達式；(2)連接，求的周長；(3)若是拋物線位于直線的下方且在其對稱軸左側(cè)上的一點，當四邊形的面積最大時，求點的坐標【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）；（3）【解析】【分析】（1）將A，B兩點的坐標代入拋物線的解析式即可求出.（2）首先求出D點、A點、B點坐標，進而利用待定系數(shù)法求出直線DB的解析式，再利用勾股定理得出BM的長，即可得出ABM的周長；（3）首先表示出P，Q點的坐標，進而表示出S四邊形DPHMSDPMSPMH，利用二次函數(shù)最值求出即可【詳解】將，點坐標代入解析式，得，解