思科數(shù)學第9講指數(shù)與指數(shù)函數(shù).doc

第9講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)基礎梳理1根式(1)根式的概念如果一個實數(shù)x滿足xna(n1，nN*)，那么稱x為a的n次方根(2)根式的性質當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次實數(shù)方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次實數(shù)方根是一個負數(shù)這時，a的n次實數(shù)方根只有一個，記為x.當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次實數(shù)方根有兩個，它們互為相反數(shù)這時，正數(shù)a的正的n次實數(shù)方根用符號表示，負的n次實數(shù)方根用符號表示，它們可以合并寫成(a0)的形式.0的n次實數(shù)方根等于0，若xna，則x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.()na.當n為奇數(shù)時，a；當n為偶數(shù)時，|a|負數(shù)沒有偶次方根2分數(shù)指數(shù)冪的意義(1)a(a0，m，nN*，n1)(2)a(a0，m，nN*，n1)3指數(shù)冪的運算規(guī)律asatast，(as)tast，(ab)tatbt，其中s、tQ，a0，b0.4指數(shù)函數(shù)的圖象與性質yaxa10a1圖象定義域R值域(0，)指數(shù)函數(shù)的圖象及其變換將指數(shù)函數(shù)yf(x)ax(a0，a1)進行平移、翻折，可作出yy0f(xx0)，y|f(x)|，yf(|x|)等函數(shù)的圖象，要善于靈活應用這類函數(shù)圖象的變換畫圖和解題指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的性質指數(shù)函數(shù)除在定義域內具有單調性外，不具有奇偶性和周期性等，但可以與其他函數(shù)進行復合，所構成的簡單的復合函數(shù)可能具有奇偶性、周期性、對稱性等性質，要靈活應用這類性質解題雙基自測1._.解析|4|4.答案42已知函數(shù)f(x)4ax1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是_解析當x1時，f(1)5.答案(1,5)3已知f(x)2x2x，若f(a)3，則f(2a)_.解析f(x)2x2x，f(a)3，2a2a3，f(2a)22a22a(2a2a)22927.答案74已知a，函數(shù)f(x)ax，若實數(shù)m，n滿足f(m)f(n)，則m，n的大小關系為_解析a(0,1)，則f(x)ax為R上的減函數(shù)aman，mn.答案mn5函數(shù)f(x)的定義域是_解析由12x0，得2x1，x0.答案(，0考向一指數(shù)冪的運算【例1】計算下列各式：(1)1.5080.25()6 ；(2).審題視點 先化為分數(shù)指數(shù)冪，再進行運算解(1)原式1(23)262427110.(2)令am，bn，則原式mm3a. 化簡結果：若題目以根式形式給出，則結果用根式表示；若題目以分數(shù)指數(shù)冪的形式給出，則結果用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示；結果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負分數(shù)指數(shù)冪【訓練1】 化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù))(1)；(2)ab2.解(1)原式ab.(2)原式ab3ab3ab.考向二指數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例2】(1)函數(shù)ya2 010x2 010(a0，且a1)恒過點_(2)方程2x2x的解的個數(shù)為_審題視點 利用指數(shù)函數(shù)的圖象解析(1)a01，該函數(shù)的圖象過點(2 010,2 011)(2)方程的解可看作函數(shù)y2x和y2x的圖象交點的橫坐標，分別作出這兩個函數(shù)圖象(如圖)由圖象得只有一個交點，因此該方程只有一個解答案(2 010,2 011)(2)1 (1)指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過定點的實質是利用了a01(a0)，故應令冪指數(shù)等于0求定點的坐標(2)將方程解的問題轉化為兩函數(shù)圖象的交點問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用【訓練2】 如圖，過原點O的直線與函數(shù)y2x的圖象交于A，B兩點，過B作y軸的垂線交函數(shù)y4x的圖象于點C.若AC平行于y軸求點A的坐標解設C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，ACy軸，x1a，y12x12a，即A(a,2a)，又BCx軸y24a，y22x24a.x22a，即B(2a,4a)又點O、A、B共線，2a2，即a1，A的坐標為(1,2)考向三指數(shù)函數(shù)的性質及應用【例3】設a0且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值審題視點 換元令tax，利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性來研究函數(shù)的單調性，構建方程獲解解令tax(a0且a1)，則原函數(shù)化為y(t1)22(t0)當0a1時，x1,1，tax，此時f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因為a0，所以a.當a1時，x1,1，tax，此時f(t)在上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)綜上得a或3. 指數(shù)函數(shù)問題一般常與其它函數(shù)復合本題利用換元法將原函數(shù)化為二次函數(shù)，結合二次函數(shù)的單調性和指數(shù)函數(shù)的單調性判斷出原函數(shù)的單調性，從而獲解由于指數(shù)函數(shù)的單調性取決于底數(shù)的大小，所以要注意對底數(shù)的分類討論，避免漏解【訓練3】 已知函數(shù)f(x)x3.(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)求證：f(x)0.(1)解由2x10，可解得x0，定義域為x|x0(2)解f(x)(x)3x3x3x3x3x3x3x3f(x)f(x)是(，0)(0，)上的偶函數(shù)(3)證明當x0時，2x10，x30，即f(x)0.又f(x)是偶函數(shù)，當x0時f(x)f(x)0，f(x)在(，0)(0，)上恒大于零難點突破5如何求解新情景下指數(shù)函數(shù)的問題高考中對指數(shù)函數(shù)的考查，往往突出新概念、新定義、新情景中的問題，題目除最基本問題外，注重考查一些小、巧、活的問題，突出考查思維能力和化歸等數(shù)學思想一、新情景下求指數(shù)型函數(shù)的最值問題的解法【示例】 設函數(shù)yf(x)在(，)內有定義對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)取函數(shù)f(x)2xex，若對