第3章_效用函數(shù)

.,第三章效用函數(shù),.,引言決策的特點(diǎn)之一是后果的價(jià)值待定。為了用定量的方法研究決策問(wèn)題，除了要用主觀概率量化自然狀態(tài)的不確定性以外，還需要量化后果的價(jià)值。在量化后果的價(jià)值時(shí)，會(huì)遇到兩個(gè)主要問(wèn)題：（1）后果本身是用語(yǔ)言表達(dá)的，可能沒(méi)有任何合適的直接測(cè)量標(biāo)度。（2）即使有一個(gè)明確的標(biāo)度（通常是錢(qián)）可以測(cè)量后果，按這個(gè)標(biāo)度測(cè)得的量也可能并不反映后果對(duì)決策人的真正價(jià)值。,.,抽獎(jiǎng)的期望值有1250元，大于禮品的確定性收入1000元，但是一定有一部分人會(huì)選擇這確定的1000元收入。因?yàn)閷?duì)他們而言，抽獎(jiǎng)的期望值雖大，風(fēng)險(xiǎn)也大，實(shí)際價(jià)值還不如保險(xiǎn)的1000元。而有的人則相反，認(rèn)為禮品不如抽獎(jiǎng)，因?yàn)槌楠?jiǎng)提供了獲得2500元的機(jī)會(huì)。,例決策人面臨圖中決策樹(shù)所示的選擇：,.,在商業(yè)經(jīng)營(yíng)中，經(jīng)營(yíng)者經(jīng)常遇到類(lèi)似的情況，要在（1）期望收益較低但是有保險(xiǎn)；（2）期望收益較高風(fēng)險(xiǎn)也較大這兩種行動(dòng)中進(jìn)行選擇。,因此，在進(jìn)行決策分析時(shí)，存在如何描述或表達(dá)后果對(duì)決策人的實(shí)際價(jià)值，以便反映決策人心目中對(duì)各種后果的偏好次序（preferenceorder）的問(wèn)題。偏好次序是決策人的個(gè)性與價(jià)值觀的反映，與決策人所處的社會(huì)地位、經(jīng)濟(jì)地位、文化素養(yǎng)、心理和生理（身體）狀態(tài)等有關(guān)。,.,在決策理論中，后果對(duì)決策人的實(shí)際價(jià)值，即在有風(fēng)險(xiǎn)的情況下決策人對(duì)結(jié)果的偏好的量化是用效用（utility）來(lái)描述的。效用就是偏好的量化，是數(shù)（實(shí)值函數(shù)）。,.,3.1理性行為公理,問(wèn)題：某公司擬推出一種新產(chǎn)品，經(jīng)預(yù)測(cè)該產(chǎn)品在市場(chǎng)看好的情況下，可以獲利10萬(wàn)；在市場(chǎng)前景較差時(shí)，將虧損1萬(wàn)元。市場(chǎng)看好和較差的概率分別為0.6和0.4，是否推出該新產(chǎn)品？若另有一產(chǎn)品可穩(wěn)獲利2萬(wàn)元，推出哪種產(chǎn)品更好？這是一個(gè)隨機(jī)決策問(wèn)題。,.,3.1理性行為公理,在隨機(jī)決策中，決策系統(tǒng)（，A，F(xiàn)）中的決策方案均是在狀態(tài)空間背景中加以比較，并按照某種規(guī)則，選出決策者最滿(mǎn)意的行動(dòng)方案。在本章中，我們用事態(tài)體表示在隨機(jī)性狀態(tài)空間中的行動(dòng)方案，方案的比較表示為事態(tài)體的比較，并引入效用的概念，用以衡量事態(tài)體（行動(dòng)方案）的優(yōu)劣。,.,3.1理性行為公理,3.1.1事態(tài)體及其關(guān)系1事態(tài)體的概念定義3.1具有兩種或兩種以上有限個(gè)可能結(jié)果的方案（或事情），稱(chēng)為事態(tài)體。事態(tài)體中各可能結(jié)果出現(xiàn)的概率是已知的。事態(tài)體即隨機(jī)性狀態(tài)空間中的行動(dòng)方案。,.,1事態(tài)體的概念,設(shè)某事態(tài)體的n個(gè)可能結(jié)果為：o1,o2,on各結(jié)果出現(xiàn)的概率是相應(yīng)為：p1,p2,pn則該事態(tài)體記為：T（p1,o1；p2,o2；pn,on）特別當(dāng)n2時(shí)，稱(chēng)T為簡(jiǎn)單事態(tài)體，此時(shí)T（p,o1；1p,o2）,.,1事態(tài)體的概念,事態(tài)體可以用樹(shù)形圖表示如下：,當(dāng)n2時(shí)：,p,.,事態(tài)體集合的性質(zhì),在凸線(xiàn)性組合下，是閉集。即：若T1，T2，則當(dāng)01時(shí)，有T1(1)T2兩個(gè)事態(tài)體的凸線(xiàn)性組合仍是一個(gè)事態(tài)體。T(0,o1；0,o2；1,oj；0,on)稱(chēng)T為退化事態(tài)體。退化事態(tài)體仍屬于事態(tài)體集合。,.,2事態(tài)體的比較,定義3.2設(shè)o1，o2是事態(tài)體T的任意兩個(gè)結(jié)果值，根據(jù)決策目標(biāo)和決策者偏好，o1和o2有如下關(guān)系：若偏好結(jié)果值o1，則稱(chēng)o1優(yōu)于o2，記作o1o2；反之，稱(chēng)o1劣于o2，記作o1o2。若對(duì)結(jié)果值o1,o2無(wú)所偏好，則稱(chēng)o1無(wú)差異于o2，記作o1o2。若不偏好結(jié)果值o1，則稱(chēng)o1不優(yōu)于o2，記作o1o2；反之，稱(chēng)o1不劣于o2，記作o1o2。,.,2事態(tài)體的比較,定義3.3設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)單事態(tài)體T1，T2具有相同的結(jié)果值o1，o2，即：T1（p1,o1；1p1,o2）T2（p2,o1；1p2,o2）并假定o1o2，則：若p1p2，稱(chēng)事態(tài)體T1無(wú)差異于T2，記作T1T2。若p1p2，稱(chēng)事態(tài)體T1優(yōu)于T2，記作T1T2；反之，稱(chēng)事態(tài)體T1劣于T2，記作T1T2。,.,2事態(tài)體的比較,定義3.4設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)單事態(tài)體T1，T2僅具有一個(gè)相同結(jié)果值，另一個(gè)結(jié)果值不相同，即：T1（p1,o1；1p1,o0）T2（p2,o2；1p2,o0）且o2o1o0，若p1p2，則事態(tài)體T2優(yōu)于T1，記作T2T1。若T1T2，則必有p1p2。,.,3.1理性行為公理,3.1.2理性行為公理公理3.l（連通性，可比性）事態(tài)體集合上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是連通的。即若T1，T2則或者T1T2，或者T2T1，或者T1T2，三者必居其一。表示任意兩個(gè)事態(tài)體都是可以比較其優(yōu)劣的！,.,3.1理性行為公理,3.1.2理性行為公理公理3.2（傳遞性）事態(tài)體集合上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是傳遞的。即若T1、T2、T3，且T1T2，T2T3，則必有T1T3。表示任意多個(gè)事態(tài)體的優(yōu)劣是可以排序的（若有些事態(tài)體無(wú)差異，可排在同一位置。）滿(mǎn)足公理3.1和公理3.2的事態(tài)體集合稱(chēng)為全序集。,.,3.1理性行為公理,3.1.2理性行為公理公理3.3（復(fù)合保序性，替代性）若T1，T2，Q，且0p1，則T1T2當(dāng)且僅當(dāng)pT1(1p)QpT2(1p)Q。表示任意事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是可以復(fù)合的，復(fù)合后的事態(tài)體保持原有的優(yōu)劣關(guān)系不變。,.,3.1理性行為公理,3.1.2理性行為公理公理3.4（相對(duì)有序性，連續(xù)性，偏好的有界性）若T1，T2，T3，且T1T2T3則存在數(shù)p，q，0pl，0q1，使得：pT1(1p)T3T2qT1(1q)T3表示任意事態(tài)體都不是無(wú)限優(yōu)，也不是無(wú)限劣。,.,3.1理性行為公理,3.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì)性質(zhì)3.1設(shè)事態(tài)體T1（p,o1；1p,o0）T2（x,o2；1x,o0）且o1o0，o2o0，若o2o1則存在x=pp使得T1T2稱(chēng)x為可調(diào)概率值。,.,3.1理性行為公理,3.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì)性質(zhì)3.2（確定當(dāng)量和無(wú)差異概率）設(shè)事態(tài)體T（x,o1；1x,o2）且o1o2。則對(duì)于滿(mǎn)足優(yōu)劣關(guān)系o1oo2的任意結(jié)果值o，必存在xp（0pl），使得T（p,o1；1p,o2）o稱(chēng)結(jié)果值o為事態(tài)體T的確定當(dāng)量，稱(chēng)p為o關(guān)于o1與o2的無(wú)差異概率。,.,3.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì),性質(zhì)3.3任一事態(tài)體無(wú)差異于一個(gè)簡(jiǎn)單事態(tài)體。設(shè)有事態(tài)體T（p1,o1；p2,o2；pn,on）則必存在一個(gè)簡(jiǎn)單事態(tài)體T（p,o*；1p,o0）T其中：o*maxo1,o2,ono0mino1,o2,on且：,這里，qj(j=1,2,n)為oj關(guān)于o*與o0的無(wú)差異概率。,.,3.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì),根據(jù)性質(zhì)3.3比較一般事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系（將問(wèn)題簡(jiǎn)化）得到事態(tài)體之間兩兩的優(yōu)劣或無(wú)差異關(guān)系后，再根據(jù)公理3.2（傳遞性）即可得到所討論事態(tài)體的排序。,.,3.2效用函數(shù)的定義和構(gòu)造,設(shè)有決策系統(tǒng)（，A，F(xiàn)），在離散情況下，結(jié)果值可以表示為決策矩陣：,.,3.2效用函數(shù)的定義和構(gòu)造,矩陣O的第i行表示第i個(gè)可行方案的n個(gè)可能結(jié)果值，即事態(tài)體Ti（p1,oi1；p2,oi2；pn,oin）(i=1,2,m)決策就是要對(duì)這m個(gè)事態(tài)體進(jìn)行排序。由第一節(jié)中的性質(zhì)3.3知，存在簡(jiǎn)單事態(tài)體T，使得Ti（pi,o*；1pi,o0）Ti問(wèn)題又化為對(duì)這m個(gè)簡(jiǎn)單事態(tài)體Ti進(jìn)行排序。,.,3.2效用函數(shù)的定義和構(gòu)造,Ti（pi,o*；1pi,o0）Ti注意到這m個(gè)簡(jiǎn)單事態(tài)體Ti具有相同的結(jié)果值o*、o0，根據(jù)定義3.3，其優(yōu)劣關(guān)系可以由比較pi的大小決定。根據(jù)性質(zhì)3.3,qij是結(jié)果值oij關(guān)于o*與o0的無(wú)差異概率。其中：,問(wèn)題：如何測(cè)定無(wú)差異概率？,o*,o0,.,3.2效用函數(shù)的定義和構(gòu)造,3.2.1效用和效用函數(shù)的概念效用的概念定義3.5設(shè)決策問(wèn)題的各可行方案有多種可能的結(jié)果值o，依據(jù)決策者的主觀愿望和價(jià)值傾向，每個(gè)結(jié)果值對(duì)決策者均有不同的價(jià)值和作用。反映結(jié)果值o對(duì)決策者的價(jià)值和作用大小的量值稱(chēng)為效用。,.,3.2效用函數(shù)的定義和構(gòu)造,3.2.1效用和效用函數(shù)的概念效用函數(shù)的概念效用函數(shù)(曲線(xiàn))：反映決策者的期望值與效用值的對(duì)應(yīng)關(guān)系.效用決策：將結(jié)果用效用值代替，以期望效用最大為決策準(zhǔn)則.,.,3.2效用函數(shù)的定義和構(gòu)造,3.2.1效用和效用函數(shù)的概念效用函數(shù)的概念定義3.6若在事態(tài)體集合上存在實(shí)值函數(shù)u，有：(1)對(duì)任意的T1、T2，T1T2當(dāng)且僅當(dāng)u(T1)u(T2)(2)對(duì)任意的T1、T2，且01，有uT1(1)T2=u(T1)(1)u(T2)則稱(chēng)u(T)為定義在上的效用函數(shù)。,.,3.2.1效用和效用函數(shù)的概念,估計(jì)效用函數(shù)的方法（1）標(biāo)準(zhǔn)效用測(cè)定法(概率當(dāng)量法，VM法)思路：對(duì)于給定的結(jié)果值，測(cè)定其效用值。設(shè)有決策系統(tǒng)（，A，F(xiàn)），其結(jié)果值集合為：O（o1,o2,on）記：o*maxo1,o2,ono0mino1,o2,on對(duì)于每一個(gè)結(jié)果值oj都存在一個(gè)概率值pj，使得oj（pj,o*；1pj,o0）pj就可以作為結(jié)果值oj的效用值。,.,3.2.1效用和效用函數(shù)的概念,（1）標(biāo)準(zhǔn)效用測(cè)定法(概率當(dāng)量法，VM法)步驟設(shè)u(o*)=1，u(o0)=0；建立簡(jiǎn)單事態(tài)體（x,o*；1-x,o0），其中x稱(chēng)為可調(diào)概率；通過(guò)反復(fù)提問(wèn)，不斷改變可調(diào)概率值x，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)x=pj時(shí)oj（pj,o*；1pj,o0）測(cè)得結(jié)果值oj的效用u(oj)=pj=pju(o*)(1pj)u(o0),.,3.2.1效用和效用函數(shù)的概念,估計(jì)效用函數(shù)的方法（2）確定當(dāng)量法(修正的VM法)思路：對(duì)于給定的效用值，測(cè)定其結(jié)果值。步驟設(shè)u(o*)=1，u(o0)=0；對(duì)于給定的效用值pj，構(gòu)造簡(jiǎn)單事態(tài)體（pj,o*；1pj,o0）通過(guò)反復(fù)提問(wèn)，不斷改變結(jié)果值o，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)o=oj時(shí)oj（pj,o*；1pj,o0）得效用值pj對(duì)應(yīng)的結(jié)果值為oj，即u(oj)=pj。,.,3.2.2效用函數(shù)的構(gòu)造,介紹一種實(shí)用的效用函數(shù)的構(gòu)造方法?；舅悸穼?duì)于決策問(wèn)題的結(jié)果值集合，先用確定當(dāng)量法找出一個(gè)基準(zhǔn)效用值，即效用值等于0.5的結(jié)果值，稱(chēng)為確定當(dāng)量o。其余效用值按照類(lèi)似方法測(cè)定，或是按比例用線(xiàn)性?xún)?nèi)插的方法，用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算得到。,.,3.2.2效用函數(shù)的構(gòu)造,方法設(shè)決策問(wèn)題結(jié)果值集合為：O（o1,o2,on）取o*maxo1,o2,ono0mino1,o2,on并令u(o*)=1，u(o0)=0；構(gòu)造簡(jiǎn)單事態(tài)體（0.5,o*；0.5,o0），用確定當(dāng)量法找到該事態(tài)體的確定當(dāng)量o，使得：o（0.5,o*；0.5,o0）,.,3.2.2效用函數(shù)的構(gòu)造,方法對(duì)結(jié)果值進(jìn)行歸一化處理，記歸一化的結(jié)果值為x(oj),則：x*=x(o*)=1，x0=x(o0)=0，0x(oj)1,記確定當(dāng)量o的歸一化值為，也記為x0.5,.,得到經(jīng)歸一化變換后的效用曲線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)：,（0,0）,（,0.5）,（1,1）,u,x,0,1,1,0.5,.,3.2.2效用函數(shù)的構(gòu)造,方法在新區(qū)間0,和,1按同樣方法插入點(diǎn)（x0.25,0.25）和（x0.75,0.75），保持比例關(guān)系,計(jì)算得：,.,效用曲線(xiàn)上新增兩個(gè)點(diǎn)：,（2,0.25）,（22,0.75）,u,x,0,1,1,0.5,0.25,2,0.75,22,.,若認(rèn)為點(diǎn)數(shù)太少，效用曲線(xiàn)不夠精確，可繼續(xù)按同樣方法在新產(chǎn)生的區(qū)間內(nèi)插入效用中點(diǎn)，直到產(chǎn)生足夠的點(diǎn)為止。,.,做該問(wèn)題的決策樹(shù)，如圖所示。決策人對(duì)四種后果優(yōu)劣的排序是：,例天氣預(yù)報(bào)說(shuō)球賽時(shí)可能下雨，一個(gè)足球愛(ài)好者要決定是否去球場(chǎng)看球。不下雨去球場(chǎng)看球是最理想的，如果肯定下雨則留在家中看電視為好；不下雨在家中看電視雖然不如下雨看電視，但比下雨去球場(chǎng)看球挨淋要強(qiáng)。試設(shè)定各種后果的效用值。,.,第一步：令第二步：詢(xún)問(wèn)決策人，下雨在家看電視這種后果與去球場(chǎng)看球有多大概率下雨被淋相當(dāng)，若決策人的回答是0.3，則,C1：下雨看球，C2：無(wú)雨看球，C3：下雨看電視，C4：無(wú)雨看電視,第三步：詢(xún)問(wèn)決策人，無(wú)雨看電視這種后果與去球場(chǎng)看球有多大概率下雨被淋相當(dāng)，若決策人回答是0.6，則得到,.,看球：0.5*0+0.5*1=0.5看電視:0.5*0.7+0.5*0.4=0.55,看球：0.4*0+0.6*1=0.6看電視:0.4*0.7+0.6*0.4=0.52,下雨概率0.5：,下雨概率0.4：,.,產(chǎn)品開(kāi)發(fā)問(wèn)題(i)Noteminimumpossiblepayoffis-60(103)maximumpossiblepayoffis175(103)Chooseleastfavourablepayoff=-80mostfavourablepayoff=200(anyconvenientnumbers-60forleastfavourablepayoffand175formostfavourablepayoffwilldo)Setu(-80)=0u(200)=1Thisestablishestheendpointsoftheutilitycurveas(-80,0),(200,1),.,產(chǎn)品開(kāi)發(fā)問(wèn)題(ii)PosetotheDMaquestionwhichwillgivehiscertainmonetaryequivalent(CME)ofthefollowinglottery,DenotetheCMEofthislotterytobex,.,Thenu(x)=0.5u(200)+0.5u(-80)=0.51+0.50=0.5WhatevervalueDMspecifiesforx,itsutilitywillbe0.5asxistheCMEoftheabovelottery.Forx=200,thecertainoptionwillbepreferredtothelottery,butasxisreduced,indifferencewilloccuratsomepoint.Themorerisk-averseDMis,thelowerthisCMEvaluewillbeandthemoreconcavetheutilitycurve.,(iii)ObtainfurtherpointsbyputtingquestionstoDMusingothermonetaryvalueswhoseutilitieshavepreviouslybeenfound,.,Thenu(y)=0.5u(200)+0.5u(x)=0.51+0.50.5=0.75Continueuntilsufficientpointsareobtained.,e.g.wemightaskDMtoevaluateysuchthat,.,產(chǎn)品開(kāi)發(fā)問(wèn)題,(i),(ii),.,SupposeDMprovidesthefollowingpreferences,(iii),(iv),.,SupposeDMprovidesthefollowingpreferences,(v),.,3.2.3效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系,在風(fēng)險(xiǎn)型或不確定型決策問(wèn)題中，決策者選擇方案幾乎都要承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)，不同的決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度是有區(qū)別的。效用表示了決策者對(duì)決策方案各結(jié)果值的偏好程度，也反映了不同類(lèi)型的決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同態(tài)度。因此從不同類(lèi)型的效用函數(shù)可以看出決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同態(tài)度。,.,3.2.3效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系,中立型效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對(duì)xlx2，有,則稱(chēng)該效用函數(shù)為中立型。,其效用曲線(xiàn)是一條直線(xiàn)。,中立型效用函數(shù)的效用值和結(jié)果值成正比例，因此可以用結(jié)果值直接評(píng)選方案。,.,3.2.3效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系,保守型效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對(duì)xlx2，有,則稱(chēng)該效用函數(shù)為保守型。,其效用曲線(xiàn)是一條上凸曲線(xiàn)，表示效用值隨結(jié)果值的增加而增加，但增加的速度逐漸由快至慢。反映了決策者隨結(jié)果值增加越來(lái)越謹(jǐn)慎，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持厭惡態(tài)度。,.,3.2.3效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系,冒進(jìn)型效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對(duì)xlx2，有,則稱(chēng)該效用函數(shù)為冒進(jìn)型。,其效用曲線(xiàn)是一條下凸曲線(xiàn)，表示效用值隨結(jié)果值的增加而增加，且增加的速度越來(lái)越快。反映了決策者隨結(jié)果值增加越來(lái)越敢于冒險(xiǎn)追求高額回報(bào)的態(tài)度。,.,3.2.3效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系,中立型效用函數(shù),保守型效用函數(shù),冒進(jìn)型效用函數(shù),.,3.2.3效用與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系,混合型效用函數(shù)三種基本效用函數(shù)的混合，如：,混合型效用函數(shù),表示當(dāng)xx0時(shí)，即結(jié)果值不大時(shí)，決策者具有一定冒險(xiǎn)精神；當(dāng)xx0時(shí)，即結(jié)果值較大時(shí)，決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)而持謹(jǐn)慎態(tài)度。,x0,.,3.3效用函數(shù)表,一、效用函數(shù)表的構(gòu)造實(shí)際構(gòu)造效用函數(shù)時(shí)，取n=6定出效用曲線(xiàn)上的26（64）個(gè)點(diǎn)，效用函數(shù)的精度已經(jīng)足夠。書(shū)后附表6給出了n=6對(duì)于不同的權(quán)衡指標(biāo)值(0.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的是冒進(jìn)（下凸）型效用函數(shù)，效用函數(shù)值無(wú)法直接查表。,.,3.3效用函數(shù)表,一、效用函數(shù)表的構(gòu)造可以證明：0.5的效用曲線(xiàn)u(x)與=1的效用曲線(xiàn)u(x)是關(guān)于直線(xiàn)u=x對(duì)稱(chēng)的。因此，0.5的效用函數(shù)值可以按下面的方法求得：u(x)1u(1x)具體步驟見(jiàn)教材P62。注：查表時(shí)在給定的列若沒(méi)有對(duì)應(yīng)的x值，則找出與之相鄰的兩個(gè)值x1、x2，查出對(duì)應(yīng)的效用值后用線(xiàn)性?xún)?nèi)插的方法確定u(x)。,.,3.3效用函數(shù)表,二、效用函數(shù)表的使用例3.1某企業(yè)欲投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有三種方案可供選擇。已知市場(chǎng)存在三種狀態(tài)：暢銷(xiāo)、一般、滯銷(xiāo)，三種方案在不同的市場(chǎng)狀態(tài)下所獲利潤(rùn)額構(gòu)成以下的決策矩陣：,決策者認(rèn)為：o4.5（0.5,20；0.5,5）,.,例3.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。,解：o*maxoij20，o0minoij5u(o*)=1，u(o0)=0將決策矩陣的結(jié)果值歸一化：,得歸一化后的決策矩陣為：,.,例3.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。,由o4.5（0.5,20；0.5,5）得：,查P369附表6，0.38所在列，以x220.5為例：0.490621x220.50.503698而u(0.490621)0.65625，u(0.503698)0.671875用線(xiàn)性?xún)?nèi)插法：,解得u(x22)0.6675。,.,例3.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。,同理得：u(x11)0.7300，u(x12)0.6091，u(x13)0.4306，u(x31)0.8742u(x32)0.5596，u(x33)0.2068且u(x21)u(o*)=1，u(x23)u(o0)=0,得決策者的效用矩陣為：,.,例3.2在上例中，若決策者認(rèn)為：o11.25（0.5,20；0.5,5）試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。,解：同上例方法得歸一化后的決策矩陣為：,.,例3.2,由o11.25（0.5,20；0.5,5）得：,查P369附表6，1-0.65=0.35所在列，以x320.44為例，u(x32)1u(1x32)1u(0.56)：0.536890.560.5775而u(0.53689)0.734375，u(0.5775)0.75用線(xiàn)性?xún)?nèi)插法解得u(0.56)0.7433，因此：u(x32)1u(0.56)0.2567,.,例3.2,同理得：u(x11)0.3819，u(x12)0.2598，u(x13)0.1271，u(x22)0.2920u(x31)0.5725，u(x33)0.0251且u(x21)u(o*)=1，u(x23)u(o0)=0,得決策者的效用矩陣為：,.,3.4效用函數(shù)的曲線(xiàn)擬合,前面討論了針對(duì)特定的結(jié)果值，如何測(cè)定其效用，我們得到的只是一些離散的效用值，要得到連續(xù)的效用函數(shù)，則需要用曲線(xiàn)擬合的方法。常見(jiàn)的擬合曲線(xiàn)形式線(xiàn)性函數(shù)型u(x)c1a1（xc2）其中c1、a1、c2為待定參數(shù)。前面查表時(shí)用內(nèi)插法確定某些效用值，實(shí)際上就相當(dāng)于效用函數(shù)為分段線(xiàn)性函數(shù)。,.,3.4效用函數(shù)的曲線(xiàn)擬合,常見(jiàn)的擬合曲線(xiàn)形式指數(shù)函數(shù)型,其中ci、ai（i1，2，3）均為待定參數(shù)。,雙指數(shù)函數(shù)型,指數(shù)加線(xiàn)性函數(shù)型,.,3.4效用函數(shù)的曲線(xiàn)擬合,常見(jiàn)的擬合曲線(xiàn)形式冪函數(shù)型,其中c1、a1、c2為待定參數(shù)。不論采用哪種形式的函數(shù)，一般都盡可能化為線(xiàn)性函數(shù)通過(guò)最小二乘法確定待定參數(shù)。,對(duì)數(shù)函數(shù)型,.,3.4效用函數(shù)的曲線(xiàn)擬合,3.4.1冪函數(shù)型效用曲線(xiàn)的擬合冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)ta（0a1）當(dāng)0a1時(shí)，冪函數(shù)曲線(xiàn)是上凸的。在區(qū)間（0，）上，曲線(xiàn)的曲率是變化的，因此為了取得最佳的曲線(xiàn)擬合效果，一般取冪函數(shù)曲線(xiàn)的某一段(待定)，作為效用函數(shù)的近似曲線(xiàn)。為此，作坐標(biāo)平移變換：參見(jiàn)教材P66圖3.6,.,3.4.1冪函數(shù)型效用曲線(xiàn)的擬合,冪函數(shù)型的效用函數(shù)坐標(biāo)變換后得：Y-ca(Tc)a（0a1）令：,且Tx，則：,其中b、c為待定常數(shù)，這就是冪函數(shù)型的效用函數(shù)表達(dá)式。當(dāng)a取特定值時(shí)，可設(shè)法用線(xiàn)性回歸的