隨機振動(全88頁)PPT課件

.,1,第五章隨機振動,5-1引言,5-2隨機過程,5-3隨機過程的數字特征,5-4相關函數,5-5功率譜密度函數,5-6線性系統在隨機激勵下的響應,.,2,5-1引言,前面三章所考察的振動都是確定性振動振動系統的規(guī)律可以用時間的確定性函數來描述振動系統的物理量可以用隨時間變化的確定函數來描述，因此，確定性振動中的物理量在將來某一時刻的值是可以預測的。舉例：單自由度系統的簡諧強迫振動,.,3,自然界和工程上還存在著另一類振動，它們的規(guī)律不能用時間的確定函數來描述，但又具有一定的統計規(guī)律性。在數學上這類振動可以用隨機過程來加以描述。這類振動稱為隨機振動非確定而又具有統計規(guī)律。舉例：車輛行駛時由于路面不平引起的振動,.,4,確定性系統+確定性激勵確定性響應確定性系統+隨機激勵隨機響應隨機系統+任何激勵隨機響應,.,5,隨機振動與確定性振動的本質區(qū)別在于它一般指的不是單個現象，而是一個包含著大量現象的集合；從集合中的單個現象來看似乎是雜亂的，但從總體來看卻存在著一定的統計規(guī)律性。因此，它雖然不能用時間的確定函數來描述，但能用統計特性來描述。在確定性振動中，系統的激勵與響應之間有著確定的函數關系，而在隨機振動中，只能滿足于確定它們的統計特性之間的關系。,.,6,介紹隨機振動中物理量的描述方法（相關函數、功率譜密度）。討論受隨機激勵的振動系統的激勵、系統特性、響應三者統計規(guī)律性之間的關系。,本章內容：,.,7,過程：物理量隨時間變化的情況隨機過程：無法準確預知物理量隨時間的變化情況，但其變化規(guī)律服從統計規(guī)律隨機過程是大量現象的一個數學抽象，理論上是由無限多個無限長的樣本組成的集合。：樣本函數對于隨機現象，我們感興趣的往往不是各個樣本本身，而是力圖從這些樣本得出總體的統計特性。,5-2隨機過程,.,8,隨機過程的所有樣本函數在時刻的值構成一個隨機變量對隨機變量求集合平均稱為隨機過程在時刻的集合平均值。一般情況下依賴于采樣時刻。,一、集合平均.平穩(wěn)過程,5-3隨機過程的數字特征,.,9,、構成兩個隨機變量對它們的乘積求集合平均稱為隨機過程于時刻與的自相關函數。它是時差的函數，在一般情況下，它也依賴于采樣時刻，反映這兩個時刻的隨機變量的統計聯系。,自相關函數,.,10,隨機過程可以根據其統計特性是否隨采樣時刻而變化來進行分類。統計特性依賴于采樣時刻的過程非平穩(wěn)過程統計特性不依賴于采樣時刻的過程平穩(wěn)過程,平穩(wěn)過程,.,11,平穩(wěn)過程的特點,集合平均值為常數相關函數僅僅依賴于時差,.,12,二、時間平均.各態(tài)歷經過程,隨機過程的每一個樣本函數可以在時域內求得:時間平均值對第k個樣本求平均補充：求函數的平均值,.,13,自相關函數,在一般情況下，對于不同的樣本將得到不同的和,.,14,各態(tài)歷經過程,定義：各個樣本的時域統計值都是等同的，而且任一個樣本函數在時域的統計值與任一時刻的隨機變量的統計值相等。,.,15,結論：,集合平均與時刻t1無關，而時間平均與樣本標號k無關，是過程為各態(tài)歷經的充要條件。從任何一個樣本得出的時間特性就等于集合平均特性，將使數據處理容易的多。舉例：半主動懸掛特性評價,各態(tài)歷經過程一定是平穩(wěn)的，反之不一定。平穩(wěn)+各個樣本的統計特性相同各態(tài)歷經,.,16,例5-1：求正弦函數的相關函數,物理意義：表示樣本函數與其延時時刻得到的之間波形的相似程度。,，相似程度最高。，相似程度最低。,.,17,各個樣本函數在時刻t1的值構成一個隨機變量，考察不大于某個特定的值x這一隨機事件，可以得出發(fā)生這一事件的概率，它是x的確定函數，在一般情形下也依賴于采樣時刻t1。,三、概率分布、概率密度,（1）對于單個隨機變量，最完整的統計描述是給出它的概率分布或概率密度。,.,18,由概率論公理有：,.,19,隨機過程在時刻的概率分布函數,.,20,概率密度函數,顯然有：,取值于區(qū)間的概率為：,.,21,此外，概率密度函數有下列性質：,，極小值,，極大值,對于平穩(wěn)過程來說，其概率分布函數和概率密度函數也不依賴于采樣時刻。,.,22,（2）多個隨機變量的聯合概率分布,設：采樣時刻t1與t2的兩個隨機變量,定義：隨機過程于時刻t1與t2的二維聯合概率分布函數：不大于x1，同時不大于x2的聯合概率,.,23,性質：,.,24,定義：二維概率密度函數,類似地，可以定義隨機過程X(t)的n維概率分布與n維概率密度函數。,對平穩(wěn)過程，其二維概率密度只是時差的函數,.,25,四、矩,從隨機變量的概率分布出發(fā)，可以確定其它一系列統計特性。,定義：隨機變量X(t1)的n次矩,.,26,一次矩：,二次矩：,.,27,均值x可視為信號的靜態(tài)部分x(t)-x則視為信號圍繞其均值波動的動態(tài)成分此動態(tài)成分的均方值即為方差。,二次中心矩：,.,28,對于各態(tài)歷經過程，可以直接從時間平均求得各次矩。,.,29,除某些特殊情況外，確定隨機變量的概率分布函數和概率密度函數都比較困難。在隨機振動中經常遇見的正態(tài)分布過程和某些各態(tài)歷經過程，卻可以用一定的程序來計算。,五、確定隨機變量的概率分布函數和概率密度函數,.,30,各態(tài)歷經過程的集合概率與任何樣本的時間概率相同。,設各態(tài)歷經過程的一個樣本函數如圖所示，T表示樣本總長，幅值小于x所對應的各個時間區(qū)間為。,概率密度函數為：,單個樣本的概率分布函數按如下公式計算：,樣本的概率分布函數：,.,31,確定各態(tài)歷經過程分布函數和密度函數的步驟,在樣本曲線上，劃一根平行于x軸的水平線，其幅值為x。,用幾何關系求出x(t)的幅值在此水平線下的時間區(qū)段。,.,32,例5-2：各態(tài)歷經過程的一個樣本是圖示三角波，求其：概率分布函數、概率密度函數及均值、均方值和方差。,解：,.,33,水平線x,幾何關系：,每個周期T：,取n個周期，,則：,.,34,綜上,.,35,計算均值、均方值和方差：,或：,.,36,作業(yè)：,2.設為常數，X為隨機變量，求的平均值與方差。,1.用時間平均法求例5-2的均值、均方值和方差,.,37,5-4相關函數,引言：均值和方差只是描述了隨機過程單一時刻（隨機變量）的數學特征，要描述兩個不同時刻的隨機變量之間的聯系則要引入相關函數。,一、自相關函數二、互相關函數,.,38,設隨機過程在兩個任意時刻的隨機變量為是這兩個隨機變量的二維概率密度函數。,的自相關函數，是隨機變量,乘積的集合平均。描述隨機過程在兩個不同時刻之間的線性依賴關系。,一、自相關函數,定義：,.,39,對于平穩(wěn)過程,.,40,隨機過程在時刻t和t+形成的狀態(tài)（隨機變量）X(t)和X(t+)之間的相關程度。,物理意義：,規(guī)范化自協方差（自相關系數）：,.,41,自協方差,.,42,自相關函數的性質：,自相關函數是偶函數,周期平穩(wěn)過程的自相關函數也是周期函數，其周期與過程的周期相同。,.,43,自相關函數的性質：,=0時的自相關函數就是均方值,.,44,如果隨機過程不是周期過程，則：,.,45,自相關函數是一個有界函數,一般越大，則兩時刻的隨機變量X(t1)和X(t1+)之間的相關性愈差。,，Rx()。,.,46,例5-3：初相位是隨機的正弦函數隨機過程,x=Asin(t+)，其中是隨機變量，其均值為零。,原隨機過程是周期各態(tài)歷經的，其周期為,。而Rx()亦是周期函數,.,47,.,48,例5-4：交流電電路中的電壓和電流分別為v=Vsint，i=Isin(t+)瞬時功率P=vi=VIsintsin(t+)相應的平均功率為：,而自相關函數,比較P和Rx()，可見Rx()體現了隨機過程的平均功率隨時差的變化。,.,49,二、互相關函數,兩個隨機過程：,.,50,定義：,的互相關函數。,描述：兩個隨機過程之間的線性依賴關系。,一般：,.,51,對于平穩(wěn)過程：,對于各態(tài)歷經過程：,其中x(t)、y(t+)分別是隨機過程的代表性樣本函數。,.,52,（1）,互相關函數一般不是的偶函數，一般也不在0時取極大值。,Rxy()與Ryx()=Rxy(-)之間一般并沒有關系。,互相關函數的性質：,.,53,（2）Rxy()是有界函數,證明：,.,54,互協方差：,結論：,.,55,互相關系數：,當X，Y的均值都等于零時，互相關系數就等于規(guī)范化互協方差。,定義：,規(guī)范化互協方差,.,56,（3）Rxy()與Rx(0)，Ry(0)之間的關系,.,57,（4）兩個統計獨立的隨機變量一定是不相關的，但兩個不相關的隨機變量不一定是統計獨立的。,證明：,.,58,5-5功率譜密度函數,一、自功率譜密度函數二、互功率譜密度函數,自相關函數Rx()描述“平均功率”隨時差的變化“平均功率”的時間結構。功率譜密度Sx(f)：描述“平均功率”在頻域（譜域）的分布頻率結構。二者在不同的域（時域或頻域）反映著同一個統計特性。在不同的場合，各有所長，相輔相成。,.,59,一、自功率譜密度函數,定義：,圓頻率（角頻率）,存在上述傅立葉變換的條件：,一般地，Rx(),Rx()的傅立葉變換一般是存在的。,.,60,為什么稱為“功率譜”？,設是作用在R1上的電壓信號，則是瞬時功率信號，而平均功率,一方面，此式表示平均功率的時間結構，即各個瞬時的功率對于平均功率的貢獻。另一方面，又表示了平均功率的頻率結構，即各種頻率的功率成分Sx(f)df對于平均功率的貢獻，因此稱為功率譜。,.,61,為什么稱為功率譜“密度”,量綱：,.,62,自譜密度Sx(f)的性質：,（1）Sx(f)0,（2）,.,63,相應地，,.,64,（3）隨機過程的自譜在整個頻域上的積分等于隨機過程的均方值。,（4）雙邊譜,工程上，把自譜定義在正半軸上，稱為單邊譜。,.,65,（5）導數過程的自譜,.,66,從Parseval定理角度來定義功率譜密度信號在時域的總能量等與它在頻域的總能量,.,67,設是平穩(wěn)隨機過程的一個樣本函數，一般情況下它不一定能滿足絕對可積的條件，為此引入輔助函數：,根據Parseval定理,.,68,.,69,對于各態(tài)歷經過程：,.,70,二、互功率譜密度函數,定義：,對于各態(tài)歷經過程：,對于平穩(wěn)過程：,.,71,互功率譜密度函數性質（自學）,（1）互譜一般是復函數,（2）,（3）互譜是有界函數,（4）兩個不相關且均值為零的隨機過程,.,72,作業(yè)：,5.15.35.55.9,.,73,5-6線性系統在隨機激勵下的響應,設系統受到的平穩(wěn)隨機激勵為，它的一個樣本函數，引起的響應可根據Duhamel積分得到：,討論線性振動系統只受一個平穩(wěn)隨機激勵時的情況。,所有的樣本函數引起的響應的全體為一個隨機過程，討論：統計性質以及它與激勵的統計性質的關系。,.,74,1響應的均值,對于平穩(wěn)過程：,因此,.,75,2.響應的自相關函數,根據Duhamel積分，有,.,76,因此,線性振動系統受到平穩(wěn)過程激勵后的響應也是平穩(wěn)過程。如果激勵是各態(tài)遍歷過程，則響應也是各態(tài)遍歷過程。,.,77,3.響應的自譜以及均方值,在上面的證明過程中用到了傅里葉變換的性質：,.,78,響應的均方值,.,79,4.激勵與響應的互相關函數和互譜,激勵與響應的互相關函數為,.,80,例5-5如果激勵為白噪聲，求激勵與響應的互相關函數。,激勵的自相關函數為,.,81,激勵為白噪聲時激勵與響應的互相關函數,在白噪聲激勵下激勵與響應的互相關函數與系統的脈沖響應成正比。在實際中可以用這個性質來測定系統的脈沖響應。,.,82,激勵與響應的互譜,.,83,例5-6：求單自由度系統的基礎以白噪聲運動時響應的自譜和均方值,解：基礎運動的自譜為,基礎運動時系統的頻響函數為,因此響應的自譜為,.,84,響應的均方值為：,.,85,大作業(yè)1：汽車的二自由度模型,為懸掛質量（車身質量