高一物理競賽第2講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.教師版

第二講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用上講回憶如果你學(xué)完上一講有隔岸觀火、霧里看花的感覺，甚至有神魂顛倒、飄飄欲仙的感覺，請(qǐng)不要害怕，不要彷徨，因?yàn)榘ㄅｎD在內(nèi)的大師們當(dāng)年的感覺，和你們是一樣一樣的。也不要害怕掌握不熟，對(duì)以后學(xué)習(xí)有什么影響，我們幫你把今后要用的東西給你準(zhǔn)備好了：； ；本講目標(biāo)在本講講詳細(xì)介紹導(dǎo)數(shù)的各種應(yīng)用。在練習(xí)中體會(huì)深化鞏固求導(dǎo)的概念和運(yùn)算。洛比達(dá)法則：這是計(jì)算極限的一種常用方法，也可以用來比較小量的階數(shù).函數(shù)求極值：掌握極值和最值的區(qū)別，體會(huì)能量取極值的意義。多元函數(shù)極值和條件極值：這是導(dǎo)數(shù)與實(shí)際生活聯(lián)系最緊密的領(lǐng)域。不僅物理問題，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，生活問題都可以用這些方法解決。小量展開：這是導(dǎo)數(shù)在物理競賽中應(yīng)用得最多的部分。小量展開體現(xiàn)的一種逐階展開、通過抓住主要矛盾來抽象物理本質(zhì)的思想。在使用小量展開中注意體會(huì)小量階數(shù)的比較與取舍的關(guān)系。講義的風(fēng)格與上將類似，一個(gè)類目的純數(shù)學(xué)例題盡量只有一個(gè)，但復(fù)雜的提供自學(xué)例題課后復(fù)習(xí)提高。知識(shí)模塊第一部分 洛比達(dá)法則知識(shí)點(diǎn)睛有時(shí)候會(huì)遇到0/0型的極限式，即分子分母的極限分別為0，例如。當(dāng)?shù)臅r(shí)候，可見的高階量相對(duì)于低階量可以忽略。對(duì)于多項(xiàng)式求導(dǎo)可以降低階數(shù)，當(dāng)階數(shù)降到0的時(shí)候，極限不再是0，可以直接計(jì)算了。按照這條思路前人發(fā)明了洛比達(dá)法則：；如果我們不打算證明這個(gè)定理，只做如下說明：如果；，則。當(dāng)然，如果分子分母的一階導(dǎo)數(shù)是0，可以繼續(xù)使用洛比達(dá)法則，直到不再是0/0型為止。例題精講【例1】 利用洛比達(dá)法則計(jì)算下列極限：;；解析 第二部分 函數(shù)的單調(diào)性和極值知識(shí)點(diǎn)睛如果函數(shù)在某點(diǎn)切線斜率為正，導(dǎo)數(shù)大于0，則顯然在這個(gè)點(diǎn)附近函數(shù)是增函數(shù)，反之如果函數(shù)在某點(diǎn)切線斜率為負(fù)，導(dǎo)數(shù)小于0，則在這個(gè)點(diǎn)附近函數(shù)是減函數(shù)。利用求導(dǎo)數(shù)的辦法可以判定函數(shù)的增減性。在畫復(fù)雜函數(shù)圖像的時(shí)候可以先畫一個(gè)特殊點(diǎn)，然后判定函數(shù)的增減性，從而畫出函數(shù)的大致形狀。xy0xy0如果一個(gè)連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間上有最大值，則在函數(shù)取最大值那一點(diǎn)，一定型如下圖，最大值在一個(gè)“山包的頂上”。這一點(diǎn)的切線顯然是0，換句話說這一點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為0。如若不然，設(shè)，則；設(shè)，則，均與函數(shù)在那一點(diǎn)取最大值矛盾。同理，如果一個(gè)連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間上有最小值，則函數(shù)取最大值那一點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)為0。注意，如果給定的是閉區(qū)間，則還有另一種可能性：函數(shù)的最大最小值在邊界取到。這時(shí)候并不能得出結(jié)論：最大最小值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為0。反過來，如果函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為0，并不意味著函數(shù)取最大最小值。如圖所示。雖然在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，讓函數(shù)站在一個(gè)山頭上，但是一山更比一山高，的函數(shù)值更大。山頭的點(diǎn)雖然不是最大值，但是也確實(shí)不用于其他點(diǎn)。我們把一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)叫做函數(shù)的極值點(diǎn)。當(dāng)兩階導(dǎo)數(shù)大于0的時(shí)候叫做極小值，兩階導(dǎo)數(shù)小于0的時(shí)候叫極大值，兩階導(dǎo)數(shù)等于0的時(shí)候可能是極大值，可能是極小值，也可能什么都不是?？偨Y(jié)一下：求函數(shù)極值點(diǎn)只需要令其一階導(dǎo)數(shù)等于0；閉區(qū)間求有界函數(shù)最大值，需要先找出所有極值點(diǎn)，然后找出邊界點(diǎn)，比較這些點(diǎn)函數(shù)值，最大的是最大值；開區(qū)間求有界函數(shù)最大值，需要先找出所有極值點(diǎn)函數(shù)值，然后找出邊界上的函數(shù)的極限值，比較這些值，如果邊界極限最大，則開區(qū)間內(nèi)無最大值，否則是最大的那個(gè)極值點(diǎn)。舉一個(gè)物理中的例子。在保守力（例如重力、彈力等只和位置有關(guān)的力）的作用下，物體平衡的位置就是勢能取極值的位置。比如用一根勁度系數(shù)為k彈簧吊著一個(gè)質(zhì)量為m的物體，用x代表彈簧的伸長量。這樣可以把系統(tǒng)的勢能寫成x的函數(shù)。假設(shè)在一個(gè)外力作用下物體緩慢的從x移動(dòng)到了，這段時(shí)間內(nèi)外力（令方向?yàn)檎较颍┳龅墓κ恰Ｓ晒δ茉淼玫剑簞菽茏兓?。重力與彈力的合力應(yīng)當(dāng)與保持平衡的外力相反，所以。這就是勢能和對(duì)應(yīng)的力之間的一般公式。現(xiàn)在令x為豎直向上方向。于是有，顯然有。當(dāng)取極值時(shí)，正是所期待的力平衡方程。如果E是極大值，則是不穩(wěn)定平衡，如果E是極小值則是穩(wěn)定平衡。例題精講【例2】 判定下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是否有極值，求出極值并說明是否極大值、極小值。；，【答案】 1 極?。簒=0,y=0 2 極小：， 3 極?。?，極大： 4 極值：，不是極大也不是極小 4 極大：【例3】 求下列函數(shù)在各自區(qū)間上的最大值和最小值（自學(xué)）；【答案】 1 極值點(diǎn)：極小：，不在區(qū)間內(nèi)。邊界點(diǎn)；由于函數(shù)連續(xù)，有下界無上界，所以有最小值點(diǎn)，就在是邊界取到： 2 極值點(diǎn)：， 時(shí) 為最小值 時(shí) 為最小值【例4】 一個(gè)彈性繩套質(zhì)量為，勁度系數(shù)為，原長為，保持水平地套在頂角為的光滑圓錐上。求平衡時(shí)候繩套距離頂點(diǎn)高度。已知彈簧的彈性勢能為，是彈簧的伸長量。【解析】寫出能量表達(dá)式，取圓錐頂點(diǎn)為勢能零點(diǎn)。令得到【例5】 兩質(zhì)量為M的小球用勁度系數(shù)為k的彈簧連接，平衡時(shí)彈簧壓縮量為x，計(jì)算彈簧的原長，并在彈簧方向上討論平衡的穩(wěn)定性（例6過度題，主要例6的數(shù)學(xué)計(jì)算容易分散初學(xué)者注意力）?！窘馕觥?，所以方法一：設(shè)彈簧的長度由于擾動(dòng)增加dr，則引力變化而彈力變化當(dāng)即為穩(wěn)定，反之為不穩(wěn)定（這里還沒有講到展開，后面可以著重說明一下dr與r的區(qū)別）。方法二：寫出勢能解析式，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)，為正則為穩(wěn)定，反之不穩(wěn)定。將這個(gè)方法之前，可以先引入一個(gè)比較形象簡單的例子：一質(zhì)點(diǎn)在y=x2與y=-x2的頂點(diǎn)一個(gè)為穩(wěn)定平衡一個(gè)為不穩(wěn)定平衡?！纠?】 光滑的半徑為R的圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)。取一根原長為R的勁度系數(shù)為k的輕彈簧，從上方頂點(diǎn)連到一個(gè)質(zhì)量為m，套在圓環(huán)上的小球上。問系統(tǒng)的平衡位置，并討論是否為穩(wěn)定平衡?！窘馕觥?設(shè)彈簧與豎直方向夾角 寫出能量表達(dá)式 令得到解得因?yàn)橐笏援?dāng)，平衡點(diǎn)在穩(wěn)定當(dāng)平衡點(diǎn)在不穩(wěn)定；穩(wěn)定【例7】 兩個(gè)星體質(zhì)量為固定在相距的位置，求兩星體中垂線上一點(diǎn)，質(zhì)量為m物體受到引力最大的一點(diǎn)位于什么位置?！窘馕觥壳髮?dǎo)，知道在有極大值。第三部分 偏導(dǎo)數(shù)與條件極值知識(shí)點(diǎn)睛物理代表著一種思考與處理問題的方式：觀察現(xiàn)象，提出一個(gè)模型解釋問題；如果不同問題模型有共同點(diǎn)，那么就可以總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)公式甚至定律或者原理。熟練掌握了這樣建模解模的能力，不僅能處理物理問題，各類實(shí)際生活相關(guān)的問題都能觸類旁通。特別是到了當(dāng)代，物理學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的影響越來越大，摩根大通等大財(cái)團(tuán)紛紛開始雇用具有物理背景的專業(yè)人士從事風(fēng)險(xiǎn)管理等工作。日常生活中以至于經(jīng)濟(jì)學(xué)中，需要的函數(shù)經(jīng)常關(guān)于幾個(gè)變量的同時(shí)變化，例如矩形面積，這時(shí)候叫是關(guān)于的二元函數(shù)。固定其中一個(gè)變量為常數(shù)，則函數(shù)退化為一個(gè)一元函數(shù)：。對(duì)著這個(gè)一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，結(jié)果叫做對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為，有時(shí)候也簡記為。同理定義。對(duì)于二元函數(shù)可以形象的觀察其幾何意義：函數(shù)圖象是在一個(gè)二維平面上畫出的一個(gè)地形圖。固定一個(gè)變量，相當(dāng)于用這個(gè)面去截這個(gè)圖形得到的曲線。多元函數(shù)求極值的方法和一元函數(shù)很類似。把一個(gè)變量作為自變量，其它變量當(dāng)常數(shù)，得到一個(gè)一元函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)。聯(lián)立求解對(duì)所有變量的求導(dǎo)數(shù)得到的方程后解得的點(diǎn)叫做穩(wěn)定點(diǎn)?？梢宰C明，如果極值點(diǎn)存在，則一定在穩(wěn)定點(diǎn)上。實(shí)際情況還可能對(duì)些自變量有限制條件，例如另矩形周長為常數(shù)。這種情況叫做條件極值。條件極值的一般方法是拉格朗日乘值法：需要求極值的目標(biāo)函數(shù)是：限制條件設(shè)一個(gè)參數(shù)然后構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)然后對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)求求偏導(dǎo)數(shù)，和限制條件一起聯(lián)立得到的方程的解就是穩(wěn)定點(diǎn)。然后綜合判斷邊界條件決定最值的位置。如果限制條件有個(gè)，類似的設(shè)s個(gè)參數(shù)，造出新的目標(biāo)函數(shù)，再求偏導(dǎo)數(shù)即可。例題精講【例8】 求下列多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；【解析】1、；2、；3、；【例9】 求下列多元函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)；【解析】1、；解得：，所以極值點(diǎn)為 2、聯(lián)立得到。即到原點(diǎn)距離為的點(diǎn)都是穩(wěn)定點(diǎn)?！纠?0】 造一個(gè)有底無頂?shù)膱A柱形水桶，保持體積一定的時(shí)候表面積最小。問圓柱的高與底面半徑的比例應(yīng)為多少?！窘馕觥苛畎霃綖?，高度為。限制條件為，目標(biāo)函數(shù)為。 引入?yún)?shù)，則新的目標(biāo)函數(shù)為 解得: 【例11】 范德華氣體?？紤]到分子間距較遠(yuǎn)時(shí)分子之間有吸引力，以及氣體分子有體積，兩個(gè)效應(yīng)疊加，理想氣體方程被修改成為，其中是與氣體性質(zhì)有關(guān)的兩個(gè)參數(shù)，此方程被稱為范德華方程。這個(gè)方程比理想氣體狀態(tài)方程更為接近真實(shí)氣體。其等溫線如圖所示?？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)溫度小于一定值的時(shí)候，等溫線變得不再是單調(diào)函數(shù)。求出【例12】 阿茲卡板的囚徒（選講）兩個(gè)食死徒被抓了。奧羅門干的第一件事情就是隔離，讓他們老死不再相見。他們倆面臨著是否招供和被判刑的問題。表格內(nèi)的兩個(gè)數(shù)分別表示A、B二人會(huì)被判刑的年數(shù)：（A被判年數(shù)，B被判年數(shù)）。假設(shè)二者都足夠理性，可以選擇招或者不招。為了迫使兩人都招供，政府給出了如下左表的承諾。問二人會(huì)做什么選擇。AB招不招招（8，8）（10，1）不招（10，1）（2，2）解析 /* 段子 納什均衡 年輕的男性數(shù)學(xué)、物理工作者要做點(diǎn)成就出來，動(dòng)力往往跟女人有關(guān)。納什這家伙也不例外。納什很有才，二十多歲就當(dāng)上了教授，但是還是單身。一天他和一群狐朋狗友一起去酒吧喝酒，看見了一位漂亮mm，于是大家都想搭訕。別人都在想怎樣搭訕才能成功，此時(shí)納什的天賦表現(xiàn)出來了：他想，如果大家一擁而上一起搭訕，mm必然憤怒，大家都失?。蝗绻屢粋€(gè)人搭訕，其他人幫腔，成功概率就會(huì)大得多，然后每次去酒吧大家輪流來，每人都有好處。由此出發(fā)他提出了著名的納什均衡理論，大體意思是說每人都以自己利益最大化為標(biāo)準(zhǔn)，最后團(tuán)體必然會(huì)形成一個(gè)穩(wěn)定的策略。然后呢然后納什就瘋了直到幾十年后他被授予了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)才好一點(diǎn)。具體的情況推薦大家看美麗心靈，不看人生不完整*/考慮A。他先假設(shè)從B招，那么招是8年，不招10年；假設(shè)B不招，招是1年，不招2年?？梢姡徽揃策略如何，A一定選擇不招。同理可以分析B也一定不招。所以最后二者一定會(huì)選擇都招供。雖然他們都選擇不招會(huì)使得二者利益都上升。變化 情況二A某法官為了摧殘二人的心智，給出了右表的承諾。問二人會(huì)做什么選擇？如果兩人都以一定概率選擇招，問最后二者選的概率是什么？B招不招招（9，6）（8，2）不招（5，5）（7，5）先解釋期望。例如賭錢，50%可能輸10塊，50%概率可能贏18塊，則賭一次收到錢的平均值則是：，受益的平均值就叫做期望。如果還是延續(xù)第一問的情景，限制兩人只能招或者不招，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們可能取在右上的位置，也可能在左下的位置。糾結(jié)了。 設(shè)主犯選擇概率招供，從犯選擇概率招供。這樣最后各種情況發(fā)生概率如圖：AB招不招招（9，6）（8，2）不招（5，5）（7，5）最后A被判年限的期望值為：最后B被判年限的期望值為：由于A和B都足夠理性，他們一定會(huì)選擇函數(shù)的極值：最后解得：這個(gè)結(jié)果應(yīng)當(dāng)這么理解：兩人都為自己考慮，而且知道對(duì)方也只為自己考慮，結(jié)果計(jì)算出每人都能夠計(jì)算出兩人的概率?！纠?3】 寡頭模型（選講）假設(shè)有兩個(gè)商家生產(chǎn)和銷售同一種產(chǎn)品。產(chǎn)品的成本為，商家有足夠的生產(chǎn)能力，他們產(chǎn)量為?？偖a(chǎn)量為，產(chǎn)品價(jià)格為。定義商家的利潤為：，。兩商家都足理性，追求利益最大化。情景一：兩商家針對(duì)定價(jià)問題，簽訂了一個(gè)協(xié)議，并按照協(xié)議執(zhí)行定價(jià)，問他們協(xié)議中的定價(jià)會(huì)是怎樣，各獲得多少利潤？ 情景二：如果商家都是自私的，可以自由選擇是否遵守協(xié)議，自由制訂價(jià)格。問他們會(huì)選擇如何制訂價(jià)格，利潤為多少？這時(shí)候協(xié)議是否有效？情景三：為了保證協(xié)議的有效性，協(xié)議規(guī)定，如果一方違反協(xié)議價(jià)格，一方遵守協(xié)議價(jià)格，那么違反協(xié)議一方須向另一方繳納違約金。為了保證商家都遵守協(xié)議，違約金應(yīng)至少為多少？/*段子： 這個(gè)模型當(dāng)然是很粗糙的。經(jīng)濟(jì)學(xué)相比物理學(xué)而言就是很粗糙的！物理學(xué)透之后再學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)就是小兒科！但是做金融的拿的錢是做物理的拿的錢的n倍！搞物理的說搞經(jīng)濟(jì)的連給搞物理的擦皮鞋都不配！搞經(jīng)濟(jì)的說只要我愿意，我可以讓你連皮鞋都買不起！所以某物理學(xué)家說：經(jīng)濟(jì)學(xué)的存在的意義就是使得占星術(shù)看起來不那么扯淡實(shí)際上好多本科學(xué)物理的后來都去搞金融了*/解析 情景一 由于兩商家地位對(duì)等，所以應(yīng)當(dāng)平分天下。二者總利潤為令得到，兩者利潤為 情景二 兩商家分別的收益為；令； ；解得：，此時(shí)兩者利潤為，比原先都要低1類似于囚徒困境可以畫出收益與策略的圖表，可見最后產(chǎn)量一定會(huì)變成2。21.521.54.5, 4.55, 3.7523.75, 54, 4 情景三 商家二遵守協(xié)議，產(chǎn)量為1.5，設(shè)商家一產(chǎn)量調(diào)整為則，令，得利潤為，比遵守協(xié)議多，可見違約金至少為 變化 成本為c，生產(chǎn)能力足夠，價(jià)格由商家決定，而顧客根據(jù)價(jià)格是否購買。顧客購買量商家1產(chǎn)品的量，購買商家2產(chǎn)品的量。商家的利潤定義為。兩商家都足理性，追求利益最大化。再問情景一、二、三選講背后的模型：假設(shè)每個(gè)人都對(duì)商品的價(jià)格有一個(gè)心理極限，只要價(jià)格低于這個(gè)極限就會(huì)購買，如果有兩個(gè)商品價(jià)格都小于心理極限，則會(huì)隨機(jī)購買一個(gè)。再假設(shè)所有人的心理價(jià)格是從0到M均勻分布的 令 令 解得：，利潤 情景二由于兩商家地位對(duì)等，所以協(xié)議中的價(jià)格一定是一樣的，設(shè)為。則令得到，利潤 情景三如果商家2遵守協(xié)議價(jià)格，商家1的價(jià)格定義令，得到，比按照協(xié)議獲得利潤多，所以協(xié)議中違約金至少為鞏固練習(xí)3 某公司推出同一系列的兩種產(chǎn)品，單位產(chǎn)量成本為，產(chǎn)量為，受到生產(chǎn)條件限制，單位時(shí)間產(chǎn)量。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)銷量分別為，該品牌的聲譽(yù)定義為。如果定價(jià)分別為，銷量預(yù)計(jì)為，。問產(chǎn)品應(yīng)當(dāng)如何定價(jià)。【解析】先解出，代入利潤表達(dá)式令解得：；對(duì)應(yīng)的聲譽(yù)；銷量：；，利潤第四部分 小量展開知識(shí)點(diǎn)睛小量展開核心的想法是：多項(xiàng)式總是比一般函數(shù)簡單的。如果能用多項(xiàng)式在代替原來復(fù)雜的函數(shù)，那么問題處理起來會(huì)簡單很多。這樣做好處跳出具體繁復(fù)的方程，凸顯物理圖像。這么做的代價(jià)是我們得到的是近似解。下面我們可以看到這樣的誤差是可以受到控制的，在一定條件下這樣的誤差是完全可以忽略的。如果某函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)有左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)（我們?cè)谖锢砝锩嬉姷降?，看起來“正常”的函?shù)都滿足這樣的性質(zhì)），這時(shí)候我們又叫原函數(shù)可導(dǎo)，或者可微。如果函數(shù)在x點(diǎn)可微，那么在x點(diǎn)附近，函數(shù)圖像幾乎是一條直線。其中代表的二階小量，也經(jīng)常寫為。n階小量的定義是：而存在并不等于0，也就是說當(dāng)?shù)臅r(shí)候，小量的階數(shù)越高，就越快的趨緊于0。顯然，當(dāng)取極限的時(shí)候，高階小量/低階小量都是等于0的，計(jì)算高階小量+低階小量的極限的時(shí)候，高階小量一般可以忽略。我們可以對(duì)導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)，只要導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在。兩次求導(dǎo)之后的結(jié)果叫做兩階導(dǎo)數(shù)，記做：這時(shí)候我們叫原函數(shù)兩階可導(dǎo)。類似的只要一個(gè)函數(shù)的n-1階導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)，則可以定義n階導(dǎo)數(shù)，記做我們不加證明的給出如下公式：如果某個(gè)函數(shù)階可導(dǎo)，則這個(gè)公式叫做泰勒公式，當(dāng)時(shí)又叫做麥克勞琳公式。這個(gè)公式的基本想法是：在某一個(gè)點(diǎn)附近，我們可以用一個(gè)多項(xiàng)式來擬合原函數(shù)，多項(xiàng)式的系數(shù)由函數(shù)在那一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)決定。也就是說某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上包含了附近其它點(diǎn)函數(shù)值的信息。用n次多項(xiàng)式擬合原函數(shù)，這樣做的誤差是一個(gè)n+1階小量。例如，對(duì)在點(diǎn)處做展開：我們把叫做的0階近似，也叫0階泰勒展開；叫做1階；叫做二階，以此類推。下面給出與其0-3階近似的對(duì)比圖?？梢孕蜗蟮乜匆?，隨著近似階數(shù)上升，泰勒展開逐步逼近原函數(shù)。 也可以這么理解這個(gè)公式，函數(shù)某一點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)，包含了其附近函數(shù)值的信息。當(dāng)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)存在，并且在所需要逼近的區(qū)域內(nèi)有“良好的定義”（比如連續(xù)、可導(dǎo)、有界），泰勒展開的結(jié)果總是逼近原函數(shù)的。但是當(dāng)考慮的區(qū)域越過函數(shù)的發(fā)散點(diǎn)時(shí)，泰勒展開就往往不成立了。例如函數(shù)，在點(diǎn)附近展開時(shí)，泰勒展開是成立的。但是考慮的區(qū)間擴(kuò)大到，即越過這個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，泰勒展開的結(jié)果就顯得荒謬了。在的區(qū)域，隨著展開階數(shù)的增大，展開式反而遠(yuǎn)離目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)我們考慮物理問題的時(shí)候，實(shí)際過程往往是繁復(fù)而雜亂的。為了突現(xiàn)主要矛盾，抽象出明晰的物理圖象，近似是一定需要的。其中一種近似方法就是基于泰勒展開。先考慮主要的、簡單的效應(yīng)，然后把剩余的部分作為小量，逐階加入方程求解。這樣的方法叫做微擾。例如在計(jì)算炮彈的軌跡的時(shí)候，先不考慮空氣阻力，這樣解出來是拋物線。然后用最簡單的形式表達(dá)空氣阻力，得到所謂彈道曲線，然后再把空氣阻力的各種修正項(xiàng)加上，逐漸逼近真實(shí)結(jié)果。微擾論是20世紀(jì)上半葉之前處理復(fù)雜體系最為有效的方法，幾乎在物理學(xué)的每個(gè)分支中都有應(yīng)用。然后隨著物理學(xué)的繼續(xù)發(fā)展，人們逐漸意識(shí)并不是所有問題都可以用微擾處理的。情況很類似于上面的例子，當(dāng)函數(shù)越過一個(gè)奇點(diǎn)，量的積累引發(fā)質(zhì)的變之后，泰勒展開就不再收斂了。例如湍流、斑圖、強(qiáng)相互作用，乃至于生命都是不能用微擾論處理的。于是人們發(fā)展了各種非微擾的辦法處理這樣的前沿學(xué)科。泰勒展開在競賽物理中的應(yīng)用常常表現(xiàn)小量展開。在一個(gè)表達(dá)式中如果某個(gè)量x遠(yuǎn)小于1，則把整個(gè)表達(dá)式看作x的函數(shù)，在x=0處作泰勒展開，把表達(dá)式寫成0階+1階+2階+的形式，然后根據(jù)具體需要，保留一定的階數(shù)。實(shí)際計(jì)算中不會(huì)真的每次都求導(dǎo)數(shù)，下面的公式是方便的，需要熟練使用： 90%的題目是用這個(gè)公式展開到第一階。一定要記??！;如圖考慮一個(gè)擺長為的單擺的受力情況。物體受到的合外力大小為，其水平方向分量為，豎直方向分量為。當(dāng)單擺的擺角足夠小的時(shí)候，做泰勒展開得到:水平方向最低階不為零的項(xiàng)是一階小量，所以保留到一階。類比偏離平衡位置的彈簧的作用力發(fā)現(xiàn)二者具有相同的形式，所以二者具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，都是簡協(xié)振動(dòng)。豎直方向的受力最低階不為零的項(xiàng)是二階小量，所以相比較于水平方向的運(yùn)動(dòng)，豎直方向可以忽略。再考慮這個(gè)體系的勢能。與平衡位置相比，體系勢能的變化為：做泰勒展開得到：最低階不為零的項(xiàng)是二階小量，所以我們下結(jié)論：考慮單擺的時(shí)候，能量需要計(jì)算到第二階。事實(shí)上，平衡位置附近做周期振蕩的體系，能量通常都需要算到第二階。注意：對(duì)于周期振蕩的系統(tǒng)，描述體系的變量（例如）和其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)（例如，通常用表示）是同階的小量。所以體系的動(dòng)能寫出來：也是二階小量。我們現(xiàn)在做的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的小量展開，有時(shí)候我們需要對(duì)一些矢量或者幾何圖形里的量做小量展開。其核心想法是一樣的，留下最低階不是0的小量，忽略高階的。例如在考慮半徑為r，角速度的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，計(jì)算一小段時(shí)間內(nèi)物體速度的變化。實(shí)際速度變化的大小是，方向與初始時(shí)刻的法向夾角為。計(jì)算加速度的時(shí)候有， 所以只需要把計(jì)算到一階小量即可。把按展開有，。由于在法向投影需要乘以，切向分量需要乘以，所以法向分量是一個(gè)一階小量，而切向是一個(gè)二階小量。計(jì)算瞬時(shí)加速度取極限之后，法向加速度為，切向加速度為0?！纠?4】 求在點(diǎn)處無窮多階的泰勒展開【解析】逐階求導(dǎo)，總結(jié)規(guī)律 【例15】 已知函數(shù)（1）使用簡化的公式或求導(dǎo)數(shù)的辦法求在處一階泰勒展開（2）求在處二階泰勒展開（自學(xué)）【解析】1、， ， 使用簡化的公式：2、，使用簡化的公式：3、；使用簡化的公式：4、；使用簡化的公式：5、使用簡化的公式【例16】 相對(duì)論中一個(gè)物體靜止時(shí)質(zhì)量為m0，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)質(zhì)量變大為，并且一個(gè)物體的總能量滿足E=mC2，現(xiàn)在定義一個(gè)物體的動(dòng)能為總能量減去靜止時(shí)的能量，推導(dǎo)一個(gè)物體在低速時(shí)（vC）的動(dòng)能近似公式?！咎崾尽繍垡蛩固棺钜俗⒛康呢暙I(xiàn)之一在于給出了高速運(yùn)動(dòng)物體的總能：。這個(gè)式子顯然那太復(fù)雜。質(zhì)疑相對(duì)論的熱情洋溢的，嘴皮發(fā)達(dá)頭腦簡單的民間科學(xué)家們就會(huì)問，你這不是和經(jīng)典的牛頓力學(xué)里面的動(dòng)能公式矛盾了嗎？如果我們令物體速度，做了一個(gè)神奇的小量展開之后，上面的式子就會(huì)變得趨于這樣：回歸到了牛頓力學(xué)。這是物理學(xué)進(jìn)化的基本要求：新的理論一定要在解釋原理論能解釋的所有事實(shí)基礎(chǔ)上，能解釋或者預(yù)言新的現(xiàn)象，并自然得把原理論作為新理論在某些條件下的近似納入新的理論。【例17】 相對(duì)論的一個(gè)檢測方法是：在遙遠(yuǎn)的宇宙中經(jīng)常能觀察到超星的爆發(fā)（為了圖簡單姑且理解為爆炸吧，實(shí)際是膨脹，會(huì)持續(xù)一段時(shí)間，本題當(dāng)作瞬間爆炸），現(xiàn)在分析一種簡單的情景：距離地球100萬光年以外一超新星爆發(fā)時(shí)，兩片超新星爆發(fā)時(shí)的碎片，分別向著地球與反向地球以v=300km/s運(yùn)動(dòng)，它們發(fā)出的光在如果滿足類似慣性原理相對(duì)于地球的速度是不一樣的，那么在地球上看到這兩碎片的光的時(shí)間間隔會(huì)很長，而實(shí)際地球上觀察的超新星爆發(fā)的觀察時(shí)間與爆發(fā)的持續(xù)時(shí)間是一樣的，這說明所有方向上的超新星碎片發(fā)射的光相對(duì)地球的速度是精確一致的。計(jì)算在非相對(duì)論情況下，地球上觀察到超新星爆發(fā)持續(xù)時(shí)間。【解析】【例18】 大氣的折射率n與空氣密度以及距離地心距離r關(guān)系式為： 式中a為常數(shù)，為地球表面的大氣密度，大氣折射率隨高度的增加而遞減，要讓我們能向前看到自己的后腦勺（不考慮光能量在空氣中的損耗）即：光線能沿著地球表面的圓弧彎曲傳播，地表的空氣密度應(yīng)是實(shí)際密度的多少倍？已知地表空氣的實(shí)際折射率【提示】微繞一下，光程（或者時(shí)間不變）【例19】 在一個(gè)半徑為R的固態(tài)星球表面上覆蓋了一層高度為hR的海洋，密度為。發(fā)現(xiàn)從海底到海面的過程中，測得的重力加速度為g，幾乎沒有發(fā)生變化。求。外有引力常數(shù)為。解析 復(fù)習(xí)外有引力的計(jì)算。球殼對(duì)內(nèi)重力作用為0，對(duì)外相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)。則在距離海底為的位置，重力加速度為：要求幾乎不隨的變化而變化，即要求對(duì)展開之后一階小量為0，變化是高階小量，或者說隨的一階導(dǎo)數(shù)為0。做一階小量展開得到： 即；帶入得到【例20】 一個(gè)不倒翁，底面是一個(gè)半徑為r的球面，配重質(zhì)量為m位于距離下方頂點(diǎn)高度為hr的地方。忽略配重以外的質(zhì)量。講不倒翁放在粗糙水平桌面上。問當(dāng)不倒翁偏離平衡位置的角度為時(shí)體系的動(dòng)能和勢能表達(dá)式,精確到和的二階小量。hOOyxC解析 以原來的圓心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。計(jì)算新的質(zhì)心位置。 由于純滾動(dòng)，所以新的球心坐標(biāo)為 C相對(duì)于O的位置為，于是C的坐標(biāo)為計(jì)算勢能：，展開到二階有：計(jì)算動(dòng)能：x方向位移是一階小量，y方向位移是二階小量。由于周期運(yùn)動(dòng)速度和位移是同階小量，動(dòng)能需要精確到第二階，所以只需要考慮x方向位移到第一階即可。動(dòng)能類比簡諧振動(dòng)能量表達(dá)式可以得到這是一個(gè)簡諧振動(dòng)，可以計(jì)算周期。鞏固練習(xí)1利用洛比達(dá)法則計(jì)算下列極限：；（選做）解析 所以而，所以2 山外表面滿足，把一質(zhì)量，原長，彈性系數(shù)為的彈簧圍成一個(gè)圈套在光滑的山頂。求靜止時(shí)坐標(biāo)。新增3.從地面將一個(gè)球踢到離為，高度為的門柱上，用求導(dǎo)數(shù)的辦法計(jì)算所需的最小速度。提示公式（）【解析】寫出關(guān)于的導(dǎo)數(shù)即可。4 1mol理想氣體經(jīng)過如下過程從A到B。此過程中體系先吸熱再放熱。問體系放熱為多少？已知摩爾熱容量為。11AB你知道嗎？ 分析力學(xué)簡介從十八世紀(jì)開始，在力學(xué)發(fā)展史上又出現(xiàn)了與矢量力學(xué)并駕齊驅(qū)的另一力學(xué)體系，即分析力學(xué)。這個(gè)體系的特點(diǎn)是對(duì)能量與功的分析代替對(duì)力與力矩的分析。為了避免未知理想約束力的出現(xiàn)，分析力學(xué)的一種方法是在理想約束力與約束方程間建立起一種直接的關(guān)系，導(dǎo)出了比矢量力學(xué)一般方法程式化更為明顯的動(dòng)力學(xué)方程拉格朗日第一類方程。分析力學(xué)的另一種方法是從獨(dú)立坐標(biāo)出發(fā)，利用純數(shù)學(xué)分析方法，將用獨(dú)立坐標(biāo)描述的動(dòng)力學(xué)方程用統(tǒng)一的原理與公式進(jìn)行表達(dá)，克服了在矢量動(dòng)力學(xué)中建立這種方程依賴技巧的缺點(diǎn)。這種統(tǒng)一的方程即拉格朗日第二類方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)于1788年奠定的。以拉格朗日方程為基礎(chǔ)的分析力學(xué)，稱為拉格朗日力學(xué)。1834年哈密頓(Hamilton)將拉格朗日第二類方程變換成一種正則形式，將動(dòng)力學(xué)基本原理歸納為變分形式的哈密頓原理，從而建立了哈密頓力學(xué)。 對(duì)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，盡管建立該系統(tǒng)的拉格朗日第二類方程或哈密頓正則方程不依賴于技巧，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程相當(dāng)繁瑣，因此用來建立自由度比較多的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程相當(dāng)困難，并且容易出錯(cuò)。利用拉格朗日第一類方程解決系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，與矢量動(dòng)力學(xué)的一般方法一樣，盡管建立方程比較容易，但其求解規(guī)模很大。正是由于這個(gè)原因，在力學(xué)發(fā)展史上因拉格朗日第一類方程并不比矢量動(dòng)力學(xué)一般方法優(yōu)越，而被擱置一邊。隨著近代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，解決具有程式化特征的數(shù)學(xué)問題，規(guī)模再大也能迎刃而解。故解決動(dòng)力學(xué)問題的拉格朗日第一