2018年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編第二期專(zhuān)題21全等三角形試題含解析

全等三角形一.選擇題 1. （2018遂寧4分）下列說(shuō)法正確的是（）A有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形C矩形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分D六邊形的內(nèi)角和是540【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理【解答】解：A.有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，錯(cuò)誤，必須是兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；B.正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，正確；C.矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.六邊形的內(nèi)角和是720，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵2. （2018貴州安順3分） 如圖，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，與相交于點(diǎn)，已知，現(xiàn)添加以下哪個(gè)條件仍不能判定（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：欲使ABEACD，已知AB=AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可詳解：AB=AC，A為公共角，A.如添加B=C，利用ASA即可證明ABEACD；B.如添AD=AE，利用SAS即可證明ABEACD；C.如添BD=CE，等量關(guān)系可得AD=AE，利用SAS即可證明ABEACD；D.如添BE=CD，因?yàn)镾SA，不能證明ABEACD，所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件故選D點(diǎn)睛：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形判定定理的理解和掌握，此類(lèi)添加條件題，要求學(xué)生應(yīng)熟練掌握全等三角形的判定定理3. （2018黑龍江龍東地區(qū)3分）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AC=5，DAB=DCB=90，則四邊形ABCD的面積為（）A15B12.5C14.5D17【分析】過(guò)A作AEAC，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，判定ACDAEB，即可得到ACE是等腰直角三角形，四邊形ABCD的面積與ACE的面積相等，根據(jù)SACE=55=12.5，即可得出結(jié)論【解答】解：如圖，過(guò)A作AEAC，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，DAB=DCB=90，D+ABC=180=ABE+ABC，D=ABE，又DAB=CAE=90，CAD=EAB，又AD=AB，ACDAEB，AC=AE，即ACE是等腰直角三角形，四邊形ABCD的面積與ACE的面積相等，SACE=55=12.5，四邊形ABCD的面積為12.5，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形4.（2018貴州黔西南州4分）下列各圖中A.B.c為三角形的邊長(zhǎng)，則甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)ABC全等的是（）A甲和乙B乙和丙C甲和丙D只有丙【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法得出乙和丙與ABC全等，甲與ABC不全等【解答】解：乙和ABC全等；理由如下：在ABC和圖乙的三角形中，滿(mǎn)足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和ABC全等；在ABC和圖丙的三角形中，滿(mǎn)足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和ABC全等；不能判定甲與ABC全等；故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS、HL注意：AAA.SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角5（2018年湖南省婁底市）如圖，ABC中，AB=AC，ADBC于D點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E，BFAC于點(diǎn)F，DE=3cm，則BF=6cm【分析】先利用HL證明RtADBRtADC，得出SABC=2SABD=2ABDE=ABDE=3AB，又SABC=ACBF，將AC=AB代入即可求出BF【解答】解：在RtADB與RtADC中，RtADBRtADC，SABC=2SABD=2ABDE=ABDE=3AB，SABC=ACBF，ACBF=3AB，AC=AB，BF=3，BF=6故答案為6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，利用面積公式得出等式是解題的關(guān)鍵6. （2018遂寧4分）下列說(shuō)法正確的是（）A有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形C矩形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分D六邊形的內(nèi)角和是540【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理【解答】解：A.有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，錯(cuò)誤，必須是兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；B.正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，正確；C.矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.六邊形的內(nèi)角和是720，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵二.填空題1. （2018江蘇宿遷3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（x0）與正比例函數(shù)y=kx、 （k1）的圖象分別交于點(diǎn)A.B，若AOB45，則AOB的面積是_.【答案】2【分析】作BDx軸，ACy軸，OHAB（如圖），設(shè)A（x1，y1），B（x2 ， y2），根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得x1y1=x2y2=2；將反比例函數(shù)分別與y=kx，y=聯(lián)立，解得x1=，x2=，從而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根據(jù)SAS得ACOBDO，由全等三角形性質(zhì)得AO=BO，AOC=BOD，由垂直定義和已知條件得AOC=BOD=AOH=BOH=22.5，根據(jù)AAS得ACOBDOAHOBHO，根據(jù)三角形面積公式得SABO=SAHO+SBHO=SACO+SBDO=x1y1+ x2y2= 2+ 2=2.【詳解】如圖：作BDx軸，ACy軸，OHAB，設(shè)A（x1，y1），B（x2 ， y2），A.B在反比例函數(shù)上，x1y1=x2y2=2，解得：x1=，又，解得：x2=，x1x2=2，y1=x2， y2=x1，即OC=OD，AC=BD，BDx軸，ACy軸，ACO=BDO=90，ACOBDO（SAS），AO=BO，AOC=BOD，又AOB45，OHAB，AOC=BOD=AOH=BOH=22.5，ACOBDOAHOBHO，SABO=SAHO+SBHO=SACO+SBDO=x1y1+ x2y2= 2+ 2=2，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)等，正確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.2. （2018達(dá)州3分）如圖，RtABC中，C=90，AC=2，BC=5，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)且CD=1，點(diǎn)P是線(xiàn)段DB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為斜邊在AP的下方作等腰RtAOP當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 【分析】過(guò)O點(diǎn)作OECA于E，OFBC于F，連接CO，如圖，易得四邊形OECF為矩形，由AOP為等腰直角三角形得到OA=OP，AOP=90，則可證明OAEOPF，所以AE=PF，OE=OF，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分ACP，從而可判斷當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線(xiàn)段，接著證明CE=（AC+CP），然后分別計(jì)算P點(diǎn)在D點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)OC的長(zhǎng)，從而計(jì)算它們的差即可得到P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OECA于E，OFBC于F，連接CO，如圖，AOP為等腰直角三角形，OA=OP，AOP=90，易得四邊形OECF為矩形，EOF=90，CE=CF，AOE=POF，OAEOPF，AE=PF，OE=OF，CO平分ACP，當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線(xiàn)段，AE=PF，即ACCE=CFCP，而CE=CF，CE=（AC+CP），OC=CE=（AC+CP），當(dāng)AC=2，CP=CD=1時(shí)，OC=（2+1）=，當(dāng)AC=2，CP=CB=5時(shí)，OC=（2+5）=，當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=2故答案為2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡：靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)確定圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的幾何量，從而判定軌跡的幾何特征，然后進(jìn)行幾何計(jì)算也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)3. （2018湖州4分）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱(chēng)為格點(diǎn)弦圖例如，在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，此時(shí)正方形EFGH的而積為5問(wèn)：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是13或49（不包括5）【分析】當(dāng)DG=，CG=2時(shí)，滿(mǎn)足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=，可得正方形EFGH的面積為13當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿(mǎn)足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49【解答】解：當(dāng)DG=，CG=2時(shí)，滿(mǎn)足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=，可得正方形EFGH的面積為13當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿(mǎn)足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49故答案為13或49【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)、全等三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題4. （2018金華、麗水4分）如圖，ABC的兩條高AD ， BE相交于點(diǎn)F ，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得ADCBEC（不添加其他字母及輔助線(xiàn)），你添加的條件是_【解析】【解答】從題中不難得出ADC=BEC=90，而且ACD=BCE（公共角），則只需要加一個(gè)對(duì)應(yīng)邊相等的條件即可，所以從“CA=CB，CE=CD，BE=AD”中添加一個(gè)即可。故答案為：CA=CB，CE=CD（答案不唯一）?！痉治觥颗袛鄡蓚€(gè)三角形全等，判定定理有“AAS，SSS，SAS，ASA，HL”， 只需要添加一個(gè)條件，那么就要從題目中找出其他兩個(gè)條件， 再根據(jù)判定定理，缺什么就添什么條件。5. （2018達(dá)州3分）如圖，RtABC中，C=90，AC=2，BC=5，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)且CD=1，點(diǎn)P是線(xiàn)段DB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為斜邊在AP的下方作等腰RtAOP當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 【分析】過(guò)O點(diǎn)作OECA于E，OFBC于F，連接CO，如圖，易得四邊形OECF為矩形，由AOP為等腰直角三角形得到OA=OP，AOP=90，則可證明OAEOPF，所以AE=PF，OE=OF，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分ACP，從而可判斷當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線(xiàn)段，接著證明CE=（AC+CP），然后分別計(jì)算P點(diǎn)在D點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)OC的長(zhǎng)，從而計(jì)算它們的差即可得到P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OECA于E，OFBC于F，連接CO，如圖，AOP為等腰直角三角形，OA=OP，AOP=90，易得四邊形OECF為矩形，EOF=90，CE=CF，AOE=POF，OAEOPF，AE=PF，OE=OF，CO平分ACP，當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線(xiàn)段，AE=PF，即ACCE=CFCP，而CE=CF，CE=（AC+CP），OC=CE=（AC+CP），當(dāng)AC=2，CP=CD=1時(shí)，OC=（2+1）=，當(dāng)AC=2，CP=CB=5時(shí)，OC=（2+5）=，當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=2故答案為2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡：靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)確定圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的幾何量，從而判定軌跡的幾何特征，然后進(jìn)行幾何計(jì)算也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)三.解答題1. （2018湖北江漢油田、潛江市、天門(mén)市、仙桃市10分）問(wèn)題：如圖，在RtABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AE，連接EC，則線(xiàn)段BC，DC，EC之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系式為BC=DC+EC；探索：如圖，在RtABC與RtADE中，AB=AC，AD=AE，將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線(xiàn)段AD，BD，CD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ACB=ADC=45若BD=9，CD=3，求AD的長(zhǎng)【分析】（1）證明BADCAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，ACE=B，得到DCE=90，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）作AEAD，使AE=AD，連接CE，DE，證明BADCAE，得到BD=CE=9，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可【解答】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：BAC=DAE=90，BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE，在BAD和CAE中，BADCAE，BD=CE，BC=BD+CD=EC+CD，故答案為：BC=DC+EC；（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：連接CE，由（1）得，BADCAE，BD=CE，ACE=B，DCE=90，CE2+CD2=ED2，在RtADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，BD2+CD2=2AD2；（3）作AEAD，使AE=AD，連接CE，DE，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAD，在BAD與CAE中，BADCAE（SAS），BD=CE=9，ADC=45，EDA=45，EDC=90，DE=6，DAE=90，AD=AE=DE=6【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵2. （2018湖南懷化10分）已知：如圖，點(diǎn)AF，EC在同一直線(xiàn)上，ABDC，AB=CD，B=D（1）求證：ABECDF；（2）若點(diǎn)E，G分別為線(xiàn)段FC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接EG，且EG=5，求AB的長(zhǎng)【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出A=C，進(jìn)而利用全等三角形的判定證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)解答即可【解答】證明：（1）ABDC，A=C，在ABE與CDF中，ABECDF（ASA）；（2）點(diǎn)E，G分別為線(xiàn)段FC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，ED=CD，EG=5，CD=10，ABECDF，AB=CD=10【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出A=C3.（2018江蘇宿遷8分）如圖，在ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊CB.AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BEDF，EF分別與AB.CD交于點(diǎn)G、H，求證：AGCH.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得ADBC，AD=BC，A=C，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得E=F，再結(jié)合已知條件可得AF=CE，根據(jù)ASA得CEHAFG，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得證.【詳解】在四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AD=BC，A=C，E=F，又BEDF，AD+DF=CB+BE，即AF=CE，在CEH和AFG中，CEHAFG，CH=AG.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.4.已知四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)論斷：OA=OC，AB=CD，BAD=DCB，ADBC請(qǐng)你從中選擇兩個(gè)論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結(jié)論，完成下列各題：構(gòu)造一個(gè)真命題，畫(huà)圖并給出證明；構(gòu)造一個(gè)假命題，舉反例加以說(shuō)明【分析】如果結(jié)合，那么這些線(xiàn)段所在的兩個(gè)三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的對(duì)邊平行；如果結(jié)合，和結(jié)合的情況相同；如果結(jié)合，由對(duì)邊平行可得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的對(duì)邊也相等，那么是平行四邊形；最易舉出反例的是，它有可能是等腰梯形【解答】解：（1）為論斷時(shí)：ADBC，DAC=BCA，ADB=DBC又OA=OC，AODCOBAD=BC四邊形ABCD為平行四邊形（2）為論斷時(shí)，此時(shí)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，可以構(gòu)成等腰梯形【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的判定，學(xué)生注意常用等腰梯形做反例來(lái)推翻不是平行四邊形的判斷5.（2018江蘇無(wú)錫8分）如圖，平行四邊形ABCD中，E.F分別是邊BC.AD的中點(diǎn)，求證：ABF=CDE【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可求出答案【解答】解：在ABCD中，AD=BC，A=C，E.F分別是邊BC.AD的中點(diǎn)，AF=CE，在ABF與CDE中，ABFCDE（SAS）ABF=CDE【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形，本題屬于中等題型6.（2018江蘇淮安8分）已知：如圖，ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC.BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別與AD.BC相交于點(diǎn)E.F求證：AE=CF【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO，ADBC，進(jìn)而得出EAC=FCO，再利用ASA求出AOECOF，即可得出答案【解答】證明：ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，AO=CO，ADBC，EAC=FCO，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵7.（2018江蘇蘇州6分）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在一條直線(xiàn)上，ABDE，AB=DE，AF=DC求證：BCEF【分析】由全等三角形的性質(zhì)SAS判定ABCDEF，則對(duì)應(yīng)角ACB=DFE，故證得結(jié)論【解答】證明：ABDE，A=D，AF=DC，AC=DF在ABC與DEF中，ABCDEF（SAS），ACB=DFE，BCEF【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考?？碱}型6.（2018江蘇宿遷12分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E.F分別在邊AB.CD上，將正方形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A.D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE=x，（1）當(dāng)AM= 時(shí)，求x的值；（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不變，請(qǐng)求出該定值；（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值. 【分析】（1）由折疊性質(zhì)可知BE=ME=x，結(jié)合已知條件知AE=1-x，在RtAME中，根據(jù)勾股定理得（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，且為定值2.連接BM、BP，過(guò)點(diǎn)B作BHMN，根據(jù)折疊性質(zhì)知BE=ME，由等邊對(duì)等角得EBM=EMB，由等角的余角相等得MBC=BMN，由全等三角形的判定AAS得RtABMRtHBM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AM=HM，AB=HB=BC，又根據(jù)全等三角形的判定HL得RtBHPRtBCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得HP=CP，由三角形周長(zhǎng)和等量代換即可得出PDM周長(zhǎng)為定值2.（3）過(guò)F作FQAB，連接BM，由折疊性質(zhì)可知：BEF=MEF,BMEF，由等角的余角相等得EBM=EMB=QFE，由全等三角形的判定ASA得RtABMRtQFE，據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AM=QE；設(shè)AM長(zhǎng)為a，在RtAEM中，根據(jù)勾股定理得（1-x）2+a2=x2,從而得AM=QE= ,BQ=CF=x- ，根據(jù)梯形得面積公式代入即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式；又由（1-x）2+a2=x2,得x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0a1），代入梯形面積公式即可轉(zhuǎn)為關(guān)于a的二次函數(shù)，配方從而求得S的最小值.【詳解】解：（1）由折疊性質(zhì)可知：BE=ME=x，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，AE=1-x，在RtAME中，AE2+AM2=ME2 ， 即（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，且為定值2.連接BM、BP，過(guò)點(diǎn)B作BHMN，BE=ME，EBM=EMB，又EBC=EMN=90，即EBM+MBC=EMB+BMN=90，MBC=BMN，又正方形ABCD，ADBC，AB=BC，AMB=MBC=BMN，在RtABM和RtHBM中， ,RtABMRtHBM（AAS），AM=HM，AB=HB=BC，在RtBHP和RtBCP中， , RtBHPRtBCP（HL），HP=CP，又CPDM=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2.PDM的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，且為定值2.（3）解：過(guò)F作FQAB，連接BM，由折疊性質(zhì)可知：BEF=MEF,BMEF，EBM+BEF=EMB+MEF=QFE+BEF=90,EBM=EMB=QFE，在RtABM和RtQFE中， ,RtABMRtQFE（ASA），AM=QE，設(shè)AM長(zhǎng)為a，在RtAEM中，AE2+AM2=EM2,即（1-x）2+a2=x2,AM=QE= ,BQ=CF=x- ，S= （CF+BE）BC = （x- +x）1= （2x- ）,又（1-x）2+a2=x2, x= =AM=BE，BQ=CF= -a，S= （ -a+ ）1= （a2-a+1）= （a- ）2+ ，0a1，當(dāng)a= 時(shí)，S最小值= . 【點(diǎn)睛】二次函數(shù)的最值，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問(wèn)題）. 8.（2018江蘇蘇州10分）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，AD垂直于過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)，垂足為D，CE垂直AB，垂足為E延長(zhǎng)DA交O于點(diǎn)F，連接FC，F(xiàn)C與AB相交于點(diǎn)G，連接OC（1）求證：CD=CE；（2）若AE=GE，求證：CEO是等腰直角三角形【分析】（1）連接AC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和已知得：ADOC，得DAC=ACO，根據(jù)AAS證明CDACEA（AAS），可得結(jié)論；（2）介紹兩種證法：證法一：根據(jù)CDACEA，得DCA=ECA，由等腰三角形三線(xiàn)合一得：F=ACE=DCA=ECG，在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5，可得結(jié)論；證法二：設(shè)F=x，則AOC=2F=2x，根據(jù)平角的定義得：DAC+EAC+OAF=180，則3x+3x+2x=180，可得結(jié)論【解答】證明：（1）連接AC，CD是O的切線(xiàn)，OCCD，ADCD，DCO=D=90，ADOC，DAC=ACO，OC=OA，CAO=ACO，DAC=CAO，CEAB，CEA=90，在CDA和CEA中，CDACEA（AAS），CD=CE；（2）證法一：連接BC，CDACEA，DCA=ECA，CEAG，AE=EG，CA=CG，ECA=ECG，AB是O的直徑，ACB=90，CEAB，ACE=B，B=F，F(xiàn)=ACE=DCA=ECG，D=90，DCF+F=90，F(xiàn)=DCA=ACE=ECG=22.5，AOC=2F=45，CEO是等腰直角三角形；證法二：設(shè)F=x，則AOC=2F=2x，ADOC，OAF=AOC=2x，CGA=OAF+F=3x，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，CEAG，AE=EG，CA=CG，EAC=CGA，DAC=EAC=CGA=3x，DAC+EAC+OAF=180，3x+3x+2x=180，x=22.5，AOC=2x=45，CEO是等腰直角三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)此題難度適中，本題相等的角較多，注意各角之間的關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用9. （2018杭州12分）23.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AG，作DEAG，于點(diǎn)E，BFAG于點(diǎn)F，設(shè) 。（1）求證：AE=BF； （2）連接BE，DF，設(shè)EDF= ，EBF= 求證： （3）設(shè)線(xiàn)段AG與對(duì)角線(xiàn)BD交于點(diǎn)H，AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2 ， 求 的最大值 【答案】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BAF+EAD=90，又因?yàn)镈EAG，所以EAD+ADE=90，所以ADE=BAF，又因?yàn)锽FAG，所以DEA=AFB=90，又因?yàn)锳D=AB所以RtDAERtABF，所以AE=BF（2）易知RtBFGRtDEA，所以 在RtDEF和RtBEF中，tan= ，tan= 所以ktan= = = = =tan所以 （3）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則BG=k，所以ABG的面積等于 k因?yàn)锳BD的面積等于 又因?yàn)?=k，所以S1= 所以S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= 因?yàn)?k1，所以當(dāng)k= ，即點(diǎn)G為BC中點(diǎn)時(shí)， 有最大值 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形 【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及垂直的定義，可證得ADE=BAF，ADE=BAF及AD=AB，利用全等三角形的判定，可證得RtDAERtABF，從而可證得結(jié)論。（2）根據(jù)已知易證RtBFGRtDEA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，再在RtDEF和RtBEF中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，分別表示出tan、tan，從而可推出tan=tan。（3）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則BG=k，分別表示出ABG、ABD的面積，再根據(jù) =k,求出S1及S2 ， 再求出S1與S2之比與k的函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)k的取值范圍，即可求解。10（2018臨安6分）已知：如圖，E.F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，AE=CF求證：（1）ADFCBE；（2）EBDF【分析】（1）要證ADFCBE，因?yàn)锳E=CF，則兩邊同時(shí)加上EF，得到AF=CE，又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，得出AD=CB，DAF=BCE，從而根據(jù)SAS推出兩三角形全等；（2）由全等可得到DFA=BEC，所以得到DFEB【解答】證明：（1）AE=CF，AE+EF=CF+FE，即AF=CE又ABCD是平行四邊形，AD=CB，ADBCDAF=BCE在ADF與CBE中，ADFCBE（SAS）（2）ADFCBE，DFA=BECDFEB【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA.HL注意：AAA.SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角11. （2018嘉興6分）已知：在ABC中，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，DEAB，DFBC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且DE=DF求證：ABC是等邊三角形【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】分析：由等腰三角形的性質(zhì)得到B=C再用HL證明RtADERtCDF，得到A=C，從而得到A=B=C，即可得到結(jié)論詳解：AB=AC， B=CDEAB， DFBC，DEA=DFC=RtD為的AC中點(diǎn)，DA=DC又DE=DF，RtAEDRtCDF(HL)，A=C，A=B=C，ABC是等邊三角形點(diǎn)睛：本題考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是證明A=C12. （2018廣西桂林8分） 如圖，點(diǎn)A.D.C.F在同一條直線(xiàn)上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求證：ABCDEF；(2)若A=55，B=88，求F的度數(shù).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）37【解析】分析：（1）先證明AC=DF，再運(yùn)用SSS證明ABCDEF；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求ACB=37，由（1）知F=ACB，從而可得結(jié)論.解析：（1）AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CFAC=DF在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）（2）由（1）可知，F(xiàn)=ACBA=55，B=88ACB=180（A+B）=180（55+88）=37F=ACB=37點(diǎn)睛：本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS、HL注意：AAA.SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角13. （2018黑龍江哈爾濱8分）已知：在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC.BD相交于點(diǎn)E，且ACBD，作BFCD，垂足為點(diǎn)F，BF與AC交于點(diǎn)C，BGE=ADE（1）如圖1，求證：AD=CD；（2）如圖2，BH是ABE的中線(xiàn)，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中四個(gè)三角形，使寫(xiě)出的每個(gè)三角形的面積都等于ADE面積的2倍【分析】（1）由ACBD.BFCD知ADE+DAE=CGF+GCF，根據(jù)BGE=ADE=CGF得出DAE=GCF即可得；（2）設(shè)DE=a，先得出AE=2DE=2A.EG=DE=A.AH=HE=A.CE=AE=2a，據(jù)此知SADC=2a2=2SADE，證ADEBGE得BE=AE=2a，再分別求出SABE.SACE.SBHG，從而得出答案【解答】解：（1）BGE=ADE，BGE=CGF，ADE=CGF，ACBD.BFCD，ADE+DAE=CGF+GCF，DAE=GCF，AD=CD；（2）設(shè)DE=a，則AE=2DE=2a，EG=DE=a，SADE=AEDE=2aa=a2，BH是ABE的中線(xiàn)，AH=HE=a，AD=CD.ACBD，CE=AE=2a，則SADC=ACDE=（2a+2a）a=2a2=2SADE；在ADE和BGE中，ADEBGE（ASA），BE=AE=2a，SABE=AEBE=（2a）2a=2a2，SACE=CEBE=（2a）2a=2a2，SBHG=HGBE=（a+a）2a=2a2，綜上，面積等于ADE面積的2倍的三角形有