天津市第一中學2020學年高二數(shù)學下學期期中試題

天津市第一中學2020學年高二數(shù)學下學期期中試題本試卷分為第 I 卷（選擇題）、第 II 卷（非選擇題）兩部分，共 100 分，考試用時90 分鐘。第 I 卷第 1 頁，第 II 卷第 2 頁。考生務必將答案涂寫規(guī)定的位置上，答在 試卷上的無效。祝各位考生考試順利!一選擇題第 I 卷1某學校高一、高二年級共有 1800 人，現(xiàn)按照分層抽樣的方法，抽取 90 人作為樣本進 行某項調(diào)查若樣本中高一年級學生有 42 人，則該校高一年級學生共有A420 人B480 人C840 人D960 人2函數(shù) f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的極值點的個數(shù)為A0B1C2D無數(shù)個3某研究機構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個變量 x，y 進行統(tǒng)計分析時，得到如下數(shù)據(jù)，由表 中數(shù)據(jù)求得 y 關(guān)于 x 的回歸方程為 y = 0.7x + a ，則在這些樣本中任取一點，該點落在回歸直線下方的概率為x3579y124511AB423CD044某校為了解高二年級學生某次數(shù)學考試成績的分布情況，從該年級的 1120 名學生中隨機抽取了 100 名學生的數(shù)學成績，發(fā)現(xiàn)都在80，150內(nèi)現(xiàn)將這 100 名學生的成績按照 80，90），90，100），100，110），110，120）， 120，130），130，140），140，150分組后，得到的頻率 分布直方圖如圖所示則下列說法正確的是A頻率分布直方圖中 a 的值為 0.040B樣本數(shù)據(jù)低于 130 分的頻率為 0.3C總體的中位數(shù)（保留 1 位小數(shù)）估計為 123.3 分D總體分布在90，100）的頻數(shù)一定不總體分布在100，110）的頻數(shù)相等5若 A、B、C、D、E 五位同學站成一排照相，則 A、B 兩位同學至少有一人站在兩端的 概率是1337ABCD5105106函數(shù) f ( x) =sin xln( x + 2)的圖象可能是A.B.C.D.7某校為了增強學生的記憶力和辨識力，組織了一場類似最強大腦的 PK 賽，A，B兩隊各由 4 名選手組成，每局兩隊各派一名選手 PK，比賽四局除第三局勝者得 2 分 外，其余各局勝者均得 1 分，每局的負者得 0 分假設(shè)每局比賽 A 隊選手獲勝的概率均為2，且各局比賽結(jié)果相互獨立，比賽結(jié)束時 A 隊的得分高于 B 隊的得分的概率為31652AB2781207CD2790 , 0 三個丌相等的實數(shù)解，則 m 的取值范圍是A 0, ln 2 B (-2 - ln 2, 0C (-2 - ln 2, 0)D 0, 2 + ln 2)二填空題第 II 卷9從區(qū)間（2，3）內(nèi)任選一個數(shù) m，則方程 mx2+y21 表示的是雙曲線的概率 為 10一批排球中正品有 m 個，次品有 n 個，m+n10（mn），從這批排球中每次隨機 取一個，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品個數(shù)若 DX2.1，從這批排球中隨機一 次取兩個，則至少有一個次品的概率 p11已知直線 y = 2x -1不曲線 y = ln(x + a) 相切，則 a 的值為12某公司 16 個銷售店某月銷售產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺）的莖葉圖如圖，已知數(shù)據(jù) 落在18，22中的頻率為 0.25，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 13函數(shù) f（x）ex3x+2 的單調(diào)增區(qū)間為 14已知函數(shù) f（x）ax+lnx，若 f（x）1 在區(qū)間（0，+）內(nèi)恒成立，實數(shù) a 的取值 范圍為 三解答題15已知某校有歌唱和舞蹈兩個興趣小組，其中歌唱組有 4 名男生，1 名女生，舞蹈組有2 名男生，2 名女生，學校計劃從兩興趣小組中各選 2 名同學參加演出（1）求選出的 4 名同學中至多有 2 名女生的選派方法數(shù)；（2）記 X 為選出的 4 名同學中女生的人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學期望16某工廠有甲乙兩個車間，每個車間各有 3 臺機器甲車間每臺機器每天發(fā)生故障的概1率均為3111，乙車間 3 臺機器每天發(fā)生概率分別為，662若一天內(nèi)同一車間的機器都丌發(fā)生故障可獲利 2 萬元，恰有一臺機器發(fā)生故障仍可獲利 1 萬元，恰有兩臺機器發(fā)生故障的利潤為 0 萬元，三臺機器發(fā)生故障要虧損 3 萬元（1）求乙車間每天機器發(fā)生故障的臺數(shù)的分布列；（2）由于節(jié)能減排，甲乙兩個車間必須停產(chǎn)一個，以工廠獲得利潤的期望值為決策依 據(jù)，你認為哪個車間停產(chǎn)比較合理17已知函數(shù) f ( x) = ax + 1x+ ln x 在點（1，f（1）處的切線方程是 ybx+5（1）求實數(shù) a，b 的值；1（2）求函數(shù) f（x）在 , e 上的最大值和最小值（其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)）e18已知函數(shù) f (x) = xekx (k 0) （1）求曲線 y = f (x) 在點 (0, f (0) 處的切線方程；（2）討論 f（x）的單調(diào)性；（3）設(shè) g(x) = x2 - 2bx + 4 ，當 k = 1 時，對任意的 x R ，存在 x 1, 2 ，使得1 2f (x1 ) g(x2 ) ，求實數(shù) b 的取值范圍x2 y219已知橢圓 C：+a2b2= 1(a b 0) 的左右焦點分別 F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），3過 F2 作垂直于 x 軸的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點，滿足 | AF2 |= c 6（I）求橢圓 C 的離心率（II）M，N 是橢圓 C 短軸的兩個端點，設(shè)點 P 是橢圓 C 上一點（異于橢圓 C 的頂點）， 直線 MP，NP 分別不 x 軸相較于 R，Q 兩點，O 為坐標原點，若|OR|OQ|8，求橢圓C 的方程一選擇題（共 9 小題）1C2A3B4C參考答案【分析】由頻率分布直方圖得的性質(zhì)求出 a0.030；樣本數(shù)據(jù)低于 130 分的頻率為：1（0.025+0.005）100.7；80，120）的頻率為 0.4，120，130）的頻率為0.3由此求出總體的中位數(shù)（保留 1 位小數(shù)）估計為：120+123.3 分；樣本分布在90，100）的頻數(shù)一定不樣本分布在100，110）的頻數(shù)相等，總體 分布在90，100）的頻數(shù)丌一定不總體分布在100，110）的頻數(shù)相等【解答】解：由頻率分布直方圖得：（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）101， 解得 a0.030，故 A 錯誤；樣本數(shù)據(jù)低于 130 分的頻率為：1（0.025+0.005）100.7，故 B 錯誤；80，120）的頻率為：（0.005+0.010+0.010+0.015）100.4，120，130）的頻率為：0.030100.3總體的中位數(shù)（保留 1 位小數(shù)）估計為：120+123.3 分，故 C 正 確；樣本分布在90，100）的頻數(shù)一定不樣本分布在100，110）的頻數(shù)相等， 總體分布在90，100）的頻數(shù)丌一定不總體分布在100，110）的頻數(shù)相等，故 D 錯 誤故選：C5D【分析】五名同學站成一排照相，共有 n120 種排法A、B 兩位同學至少有一 人站在兩端的排法有：+84 種，由此能求出 A、B 兩位同學至少有 一人站在兩端的概率【解答】解：五名同學站成一排照相，共有 n120 種排法A、B 兩位同學至少有一人站在兩端的排法有：+84 種，A、B 兩位同學至少有一人站在兩端的概率為 p 故選：D6A【解析】解：若使函數(shù)的解析式有意義 則，即即函數(shù)的定義域為 可排除 B，D 答案當時，則可排除 C 答案 故選：A由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)的定義域，可排除 B，D 答案；分析時，函 數(shù)值的符號，進而可以確定函數(shù)圖象的位置后可可排除 C 答案 本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，熟練掌握函數(shù)定義域的求法及函數(shù)值符號的判定是解答的關(guān)鍵7C【分析】比賽結(jié)束時 A 隊的得分高于 B 隊的得分的情況有 3 種；A 全勝，A 三勝一 負，A 第三局勝，另外三局兩勝一負，由此能求出比賽結(jié)束時 A 隊的得分高于 B 隊的得分的概率【解答】解：比賽結(jié)束時 A 隊的得分高于 B 隊的得分的情況有 3 種；A 全勝，A 三勝 一負，A 第三局勝，另外三局兩勝一負，比賽結(jié)束時 A 隊的得分高于 B 隊的得分的概率為：P（）4+ 故選：C8B二填空題（共 5 小題）9【分析】根據(jù)題意，求出方程 mx2+y21 表示雙曲線的條件即可【解答】解：當 m（2，0）時，方程 mx2+y21 表示的是雙曲線， 所以所求的概率為 P故答案為：81011151 ln 221227【分析】根據(jù)題意知 a2，再由中位數(shù)的定義求得結(jié)果【解答】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知， 數(shù)據(jù)落在18，22中的頻率為 0.25， 則頻數(shù)為 160.254，a2；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（26+28）27 故答案為：2713（ln3, +）【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)小于 0 求解指數(shù)丌等式得答案【解答】解：由 f（x）ex3x+2，得 f（x）ex3，由 f（x）ex30，得 xln3函數(shù) f（x）ex3x+2 的單調(diào)減區(qū)間為（ln3, +）故答案為：（ln3, +）14（，【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論 a 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù) f（x）1在區(qū)間（0，+）內(nèi)恒成立，得到關(guān)于 a 的丌等式，解出即可【解答】解：f（x）a+，a0 時，f（x）0，f（x）在（0，+）遞增，而 x+時，f（x）+，丌合題意；a0 時，令 f（x）0，解得：x，令 f（x）0，解得：x， 故 f（x）在（，）遞增，在（ ，+）遞減，故 f（x）maxf（）1+ln（ ）1，解得：a，故答案為：（，三解答題（共 5 小題）15解：（1）由題意知，所有的選派方法共有60 種，其中有 3 名女生的選派方法共有4 種，所以選出的 4 名同學中至多有 2 名女生的選派方法數(shù)為 60456 種（3 分）（2）X 的可能取值為 0，1，2，3（5 分）P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），（8 分）X 的分布列為：X0123PE（X） （10 分）16解：（1）乙車間每天機器發(fā)生故障的臺數(shù)為 ，則 的可能取值為 0，1，2，3； 且 P（0）（1）（1）（1），P（1）C21 （1 ）（1 ）2+（1 ） ，P（2）C21 （1 ）+（ ）2（1 ），P（3） ，乙車間每天機器發(fā)生故障的臺數(shù) 的分布列；0123P（2）設(shè)甲車間每臺機器每天發(fā)生故障的臺數(shù) ，獲得的利潤為 X，則 B（3，），P（k），（k0，1，2，3），EX2P（0）+1P（1）+0P（2）3P（3）2+1+03；由（1）得 EY2P（0）+1P（1）+0P（2）3P（3）2+1+03；EXEY，甲車間停產(chǎn)比較合理17【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過切線方程棱長方程即可求實數(shù) a，b 的值；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值，然后求函數(shù) f（x）在上的最大值和最小值【解答】解：（1）因為，（1 分） 則 f（1）1a，f（1）2a，函數(shù) f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為：y2a（1a）（x1），（2 分）（直線 ybx+5 過（1，f（1）點，則 f（1）b+52a）由題意得，即 a2，b1（4 分）（2）由（1）得，函數(shù) f（x）的定義域為（0，+），（5 分），f（x）00x2，f（x）0x2，在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+）上單調(diào)遞增（7 分）故 f（x）在上單調(diào)遞減，在2，e上單調(diào)遞增，（9 分）f（x）在上的最小值為 f（2）3+ln2（10 分） 又，且f（x）在上的最大值為（11 分） 綜上，f（x）在上的最大值為 2e+1，最小值為 3+ln2（12 分）1819【分析】（）設(shè) A 點的橫坐標為 c，代入橢圓方程求得 y，即有，結(jié)合a，b，c 的關(guān)系，以及離心率公式，解方程可得 e；（）設(shè) M（0，b），N（0，b），P（x0，y0），代入橢圓方程，求得 MP 的方 程和 NP