排列組合經(jīng)典例題透析

組合經(jīng)典例題透析類型一：組合數(shù)公式及其性質(zhì)1計(jì)算： （1）；（2）.思路點(diǎn)撥：可以直接依據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算，也可以先利用性質(zhì)化簡(jiǎn)后再計(jì)算解析：（1）方法一：； 方法二：；（2）方法一：； 方法二：.總結(jié)升華：當(dāng)時(shí)，利用性質(zhì)計(jì)算比較簡(jiǎn)便性質(zhì)2表達(dá)組合數(shù)的遞推性質(zhì)，它可用于計(jì)算求值，更重要的是用于恒等式的證明。舉一反三：【變式1】計(jì)算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）或（2）或（3）【變式2】計(jì)算：（1）；（2）【答案】（1）=（2）=【變式3】求證：證明：右邊 左邊2解方程：.解析：原方程可化為，整理得:，解得或（不合題意舍去）經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根總結(jié)升華：解含組合數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意組合數(shù)中，且這些限制條件，要注意含組合數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；應(yīng)強(qiáng)調(diào)解組合數(shù)方程要驗(yàn)根。舉一反三：【變式1】解方程：【答案】原方程為2xx4 或2x21-x解得：x4 或x7經(jīng)檢驗(yàn)x4，x7都是原方程的根。【變式2】已知，求、的值【答案】依題意得， 整理得，解得：.類型二：組合的應(yīng)用3平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)， （1）以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？（2）以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？思路點(diǎn)撥：線段不考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是組合問題；有向線段考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是排列問題解析：（1）以每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)， 即以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有（條）（2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)，一個(gè)是終點(diǎn)， 以每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)， 即以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共(條)總結(jié)升華： 一個(gè)問題是排列問題還是組合問題，在于取出的元素之間有沒有順序，交換其中兩個(gè)元素是否改變所得的結(jié)果舉一反三：【變式1】下面的問題是排列問題？還是組合問題？并計(jì)算結(jié)果。（1）從1，3，5，9中任取兩個(gè)數(shù)相加，可以得到多少個(gè)不同的和？（2）從1，3，5，9中任取兩個(gè)數(shù)相除，可以得到多少個(gè)不同的商？（3）10個(gè)同學(xué)畢業(yè)后互相通了一次信，一共寫了多少封信？（4）10個(gè)同學(xué)畢業(yè)后見面時(shí)，互相握了一次手，共握了多少次手？【答案】（1）組合問題，可以得到個(gè)不同的和；（2）排列問題，可以得到個(gè)不同的商；（3）排列問題，一共寫了封信；（4）組合問題，共握了次手.【變式2】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中恰有1個(gè)黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？【答案】（1）56；從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是（2）21；從口袋內(nèi)取出3個(gè)球恰有1個(gè)黑球，也就是除黑球外還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)， 取法種數(shù)是。（3）35；由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是。4在100張獎(jiǎng)券中，有1張一等獎(jiǎng)，3張二等獎(jiǎng)，6張三等獎(jiǎng)，從中任意抽出2張 （1）一共有多少種不同的抽法？（2）其中恰好有1張是二等獎(jiǎng)的抽法有多少種？（3）其中至少有1張是二等獎(jiǎng)的抽法有多少種？思路點(diǎn)撥：“2張中恰好有1張是二等獎(jiǎng)”即為“1張是二等獎(jiǎng)1張非二等獎(jiǎng)”，可以分步完成；“2張中至少有1張是二等獎(jiǎng)”即為“2張中恰好有1張是二等獎(jiǎng)”或“2張都是二等獎(jiǎng)”，可以從對(duì)立面解決。解析：（1）所求就是從100張獎(jiǎng)券中取出2張的組合數(shù)，為；（2）分兩步完成： 第一步，從3張二等獎(jiǎng)中抽出1張二等獎(jiǎng)的抽法有種， 第二步，從97張非二等獎(jiǎng)中抽出1張的抽法有種 因此共有種。（3）方法一：直接法 分兩類： 第一類：“2張中恰好有1張是二等獎(jiǎng)”的抽法有； 第二類：“2張都是二等獎(jiǎng)” 的抽法有； 故共有方法種。 方法二：間接法 抽出的2張中至少有1張二等獎(jiǎng)的抽法的種數(shù)， 就是從100張中抽出2張的抽法種數(shù)減去2張都是非二等獎(jiǎng)的抽法的種數(shù)， 即總結(jié)升華：1組合問題的解法，既要注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，還要恰當(dāng)?shù)剡x擇直接法或間接法2“至少”的問題可以從正面用直接法來計(jì)算，也可以從反面用間接法計(jì)算。舉一反三：【變式1】在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件（1）一共有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？【答案】（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)， 為（2）第一步從2件次品中抽出1件次品的抽法有種， 第二步從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種 因此抽出的3件中格有1件是次品的抽法的種數(shù)是（3）方法一：間接法 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)， 就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法的種數(shù)， 即 方法二：直接法 分兩類： 恰有一件次品； 恰有兩件次品 故共有（種）?！咀兪?】某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)要挑選5名隊(duì)員參加比賽，種子選手有且僅有一個(gè)在內(nèi)，那么不同的選法共有多少種？【答案】70；分兩步完成：第一步，選種子選手有種，第二步，選非種子選手有種，共有種。【變式3】有11個(gè)工人，其中5人只會(huì)當(dāng)鉗工，4人只會(huì)當(dāng)車工，還有甲、乙2人既會(huì)當(dāng)鉗工又會(huì)當(dāng)車工現(xiàn)在要從這11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，一共有多少種選法？【答案】185；分為以下三類完成：第一類：甲、乙都沒有被選在內(nèi)的方法有5種第二類：甲、乙中恰有一人被選在內(nèi)甲、乙中有一人被選當(dāng)鉗工的方法有種甲、乙中有一人被選當(dāng)車工的方法有種第三類：甲、乙都被選在內(nèi)甲、乙都被選當(dāng)鉗工的方法有種甲、乙都被選當(dāng)車工的方法有種甲、乙中有一人當(dāng)鉗工，另一人當(dāng)車工的方法有種所以一共有：種選法類型三：分配問題5. 教育局將11個(gè)夏令營(yíng)指標(biāo)分配給8所不同的學(xué)校，要求每校至少分到1個(gè)名額，共有多少種不同的分配結(jié)果？ 思路點(diǎn)撥：夏令營(yíng)指標(biāo)是相同的元素，分配的不同方法是指各校獲得的數(shù)量不同解析：方法一：由各校至少分到1個(gè)名額，可先給每校1個(gè)名額，只需考慮余下3個(gè)名額的分配方法有多少種不同情況。第一類：將3個(gè)余額分給3所不同的學(xué)校，共有種方法；第二類：將3個(gè)余額分給2所不同的學(xué)校，共有種方法；第三類：將3個(gè)余額分給1所學(xué)校，共有種方法，不同分配結(jié)果的總數(shù)為方法二：可將11個(gè)名額分成非零的8份，將8所學(xué)?？闯墒欠胖眠@8份名額的位置。11個(gè)名額排一列，共有12個(gè)空檔，去掉兩端的空檔，還有10個(gè)空檔，從中任取7個(gè)空檔，則11個(gè)名額被取到的空檔分成了8份，每一份對(duì)應(yīng)地放在學(xué)校的位置上，即不同分配結(jié)果共有舉一反三：【變式1】電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法？【答案】分2步完成：第一步，先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種；第二步，選擇10層中的四層下樓有【變式2】有6本不同的書按下列分配方式分配，問各有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；（非均勻分組）（2）分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；（3）分成每組都是2本的三個(gè)組；（均勻分組）（4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本?！敬鸢浮浚?）先選出1本的方法有種， 再由剩下的5本中選出2本的方法有種， 剩下的3本為一組有種， 依分步計(jì)數(shù)原理得分組的方法有種。（2）把上面分好的三組分給甲、乙、丙三人有種。（3）選2本為一組有種，剩下4本再選2本為另一組有種，最后2本為一組有種， 又每種分法只能算一種，所以不同的分法有（種）。 （重復(fù)情況列舉如下：記6本書為a、b、c、d、e、f。 以下種分法只能算一種：ab / cd / ef；ab / ef / cd； cd / ef / ab；cd / ab / ef；ef / cd / ab；ef / ab / cd。）（4）把上面分好的三組分給甲、乙、丙三人有種。 （或甲先選有種，接著乙選有，最后丙選有種。共種。）經(jīng)典例題透析類型一：排列數(shù)公式1解不等式： 思路點(diǎn)撥：依據(jù)排列數(shù)公式化簡(jiǎn)后解答。解析：原不等式等價(jià)于，因?yàn)樗?，化?jiǎn)得：，解得或，又，且，所以，原不等式的解集為總結(jié)升華：1當(dāng)均為已知時(shí)，公式常用來求值；公式=常用來 證明或化簡(jiǎn)；2解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)中，且這些限制條件，要注意含排 列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍。舉一反三：【變式1】計(jì)算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）3360；（2）720；（3）360.【變式2】（1）若，則_，_（2）若用排列數(shù)符號(hào)表示為_【答案】（1）17，14；（2）若則【變式3】計(jì)算：(1)；(2)【答案】（1）原式=；（2）原式【變式4】解方程：3【答案】由排列數(shù)公式得：， ， 即，解得或， ，且，原方程的解為【變式5】求證： 證明：類型二：應(yīng)用2 （1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解析：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)， 對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列， 因此不同送法的種數(shù)是：， 所以，共有60種不同的送法.（2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法， 因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：， 所以，共有125種不同的送法.總結(jié)升華：本例題兩小題的區(qū)別在于元素是否可以重復(fù)，第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書不同，其中的元素不能重復(fù)，屬于求排列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，其中的元素可以重復(fù)，只能用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算。舉一反三：【變式1】從這五個(gè)數(shù)字中，任取2個(gè)數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？【答案】20；問題可以看作5個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列；【變式2】5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？【答案】120；問題可以看作5個(gè)元素的全排列；【變式3】某年全國(guó)足球甲級(jí)（A組）聯(lián)賽共有14隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比賽1次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【答案】182；問題可以看作14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列.【變式4】7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？【答案】5040；方法一：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：；方法二：?jiǎn)栴}可以看作7個(gè)元素的全排列?！咀兪?】某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？【答案】15；分3類：第一類用1面旗表示的信號(hào)有種；第二類用2面旗表示的信號(hào)有種；第三類用3面旗表示的信號(hào)有種，由分類計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)種數(shù)是：。類型三：有限制條件的排列應(yīng)用題3有6個(gè)隊(duì)員排成一列進(jìn)行操練，其中隊(duì)員甲不能站排頭，也不能站排尾，有多少種不同的站法？ 思路點(diǎn)撥： “隊(duì)員甲不能站排頭，也不能站排尾”中可以優(yōu)先考慮特殊的元素：隊(duì)員甲，也可以優(yōu)先考慮特殊的位置：頭與尾，還可以從事件的對(duì)立面解決。解法一：特殊元素優(yōu)先考慮 第一步：要使甲不在排頭和排尾，可先讓甲在中間4個(gè)位置中任選1個(gè)位置，有種站法； 第二步：對(duì)其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有種站法。 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法（種）。解法二：特殊位置優(yōu)先考慮 第一步：由于甲不站排頭和排尾,這兩個(gè)位置只能在其余5個(gè)人中,選2個(gè)人站，有種站法； 第二步：對(duì)于中間的四個(gè)位置，4個(gè)人有種站法 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法（種）。解法三：對(duì)立面 若對(duì)甲沒有限制條件，共有種站法，其中包含三種情況：甲在排頭； 甲在排尾；甲不排頭，也不排尾 對(duì)立面：甲在排頭有種站法；甲在排尾有種站法，這都不符合題設(shè)條件， 從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)即得所求的站法數(shù)，共有：（種）總結(jié)升華：一般地，對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，可以有兩種不同的計(jì)算方法：1直接計(jì)算法：排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個(gè)（或某些）位置、某個(gè)（或某 些）位置只能放某些元素，因此進(jìn)行算法設(shè)計(jì)時(shí)，常優(yōu)先處理這些特殊要求。可以優(yōu)先處理特殊元 素或優(yōu)先處理特殊位置，這些統(tǒng)稱為“特殊元素（位置）優(yōu)先考慮法”本題的方法一就是先處理 特殊“隊(duì)員甲”，方法二則是先處理特殊位置“排頭”、“排尾”。2間接計(jì)算法：先不考慮限制條件，把所有的排列種數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)， 間接得出符合條件的排列種數(shù)這種方法也稱為“去雜法”在去雜時(shí)，特別注意要不重復(fù)，不遺 漏（去盡）。3. 對(duì)于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”,對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮。舉一反三：【變式1】7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？【答案】720；甲站的位置已經(jīng)固定，余下的6個(gè)元素有排法=720，故共有方法720種。 【變式2】7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？【答案】240；分二步完成：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，所以，共有=240種方法?！咀兪?】7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？【答案】2400；方法一：直接法第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種，所以共有2400種方法。方法二：排除法若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有2=2400種。45個(gè)人站成一排： （1）其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？（2）其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？解析：（1）48； 分二步完成： 第一步將甲、乙二人“捆綁”在一起，有種“捆綁”方法； 第二步，“捆綁”的甲、乙視為一個(gè)元素與其他3人有種排法， 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種排法。（2）72； 方法一：分二步完成： 第一步將甲、乙兩人外的其余3人有種排法， 第二步將甲、乙排在已有3人排列的空檔位置，有種排法， 所以共有種排法； 方法二：5人的總排法有種，甲、乙相鄰的排法有種， 故共有種?？偨Y(jié)升華：一般地，對(duì)于相鄰問題的排列應(yīng)用題，多用捆綁法；對(duì)于不相鄰問題的排列應(yīng)用題，常用插空法。舉一反三：【變式】求下列不同的排法種數(shù)：(1)6男2女排成一排，2女相鄰； (2)6男2女排成一排，2女不能相鄰；(3)5男3女排成一排，3女都不能相鄰. 【答案】(1)捆綁法： 把2女“捆綁”在一起看成一組，與6男共7組， 組外排列為，女生組內(nèi)排列為， 因此排法種數(shù)為. (2)法一：從總體排法數(shù)中除去2女相鄰的排法，即得2女不相鄰的排法種. 法二：插空法 6男先排實(shí)位，再在7個(gè)空位中排2女，共有種排法. (3)插空法： 5男先排實(shí)位，再在6個(gè)空位中排3女，共有種排法. 類型四：數(shù)字問題的排列應(yīng)用題4用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 思路點(diǎn)撥： 由于組成的是三位數(shù)，其百位數(shù)字就不能是0，這就是題中內(nèi)隱的限制條件，可以按照特殊元素（位置）分類（分布）解決，也可以從事件的對(duì)立面解決。解法一：用分步計(jì)數(shù)原理所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：。解法二：用分類計(jì)數(shù)原理符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個(gè)，個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個(gè)，由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是： 解法三：排除法從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，其中以0為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是.總結(jié)升華：1解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法。直接法：通過對(duì)問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植剑苯佑?jì)算符合條件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先