實(shí)變函數(shù)證明題大全(期末復(fù)習(xí))VIP

1、設(shè)有限的可測(cè)函數(shù)，證明：存在定義在上的一列連續(xù)函數(shù)，使得于E。證明：因?yàn)?在上可測(cè)，由魯津定理是，對(duì)任何正整數(shù)，存在的可測(cè)子集，使得， 同時(shí)存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有所以對(duì)任意的，成立由此可得，因此即，由黎斯定理存在的子列，使得，于E2、設(shè)上的連續(xù)函數(shù)，為上的可測(cè)函數(shù)，則是可測(cè)函數(shù)。證明：記，由于在上連續(xù)，故對(duì)任意實(shí)數(shù)是直線上的開(kāi)集，設(shè)，其中是其構(gòu)成區(qū)間（可能是有限個(gè)，可能為可有為）因此因?yàn)樵谏峡蓽y(cè)，因此都可測(cè)。故可測(cè)。3、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)，是一開(kāi)集，而總是一閉集。證明：若，因?yàn)槭沁B續(xù)的，所以存在，使任意， 即任意是開(kāi)集若且，由于連續(xù)，即，因此E是閉集。 4、（1）設(shè)求出集列的上限集和下限集證明：設(shè)，則存在N，使，因此時(shí)，即，所以屬于下標(biāo)比N大的一切偶指標(biāo)集，從而屬于無(wú)限多，得，又顯然若有，則存在N，使任意，有，因此若時(shí)，此不可能，所以（2）可數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零。證明：證明：設(shè)對(duì)任意，存在開(kāi)區(qū)間，使，且所以，且，由的任意性得5、設(shè)是E上的可測(cè)函數(shù)列，則其收斂點(diǎn)集與發(fā)散點(diǎn)集都是可測(cè)的。證： 顯然，的收斂點(diǎn)集可表示為 =.由可測(cè)及都可測(cè)，所以在上可測(cè)。從而，對(duì)任一自然數(shù)，可測(cè)。故 可測(cè)。既然收斂點(diǎn)集可測(cè)，那么發(fā)散點(diǎn)集也可測(cè)。6、設(shè)，存在兩側(cè)兩列可測(cè)集，,使得 且（-）0，（n）則可測(cè).證明：對(duì)于任意， ，所以 又因?yàn)?，所以對(duì)于任意，令 ，由0 得所以是可測(cè)的又由于可測(cè)，有也是可測(cè)的所以是可測(cè)的。7、設(shè)在上，而成立，則有設(shè)，則。所以因?yàn)?，所以?8、證明：。證明：因?yàn)?，所以，從而反之，?duì)任意，即對(duì)任意，有為無(wú)限集，從而為無(wú)限集或?yàn)闊o(wú)限集至少有一個(gè)成立，即或，所以，。綜上所述，。9、證明：若，（），則于。證明：由于，而，所以，由，（）得，。所以，從而，即于。10、證明：若，（），則（）。證明：對(duì)任意，由于，所以，由可得，和至少有一個(gè)成立。從而，所以，。又由，（）得，。所以，即（）。11、若（），則（）。證明：因?yàn)?，所以，?duì)任意，有，。又由（）得，。所以，即（）。12、證明：上的連續(xù)函數(shù)必為可測(cè)函數(shù)。證明：設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，對(duì)任意實(shí)數(shù)，是開(kāi)集，從而是可測(cè)集。所以，是上的可測(cè)函數(shù)。13、證明：上的單調(diào)函數(shù)必為可測(cè)函數(shù)。證明：不妨設(shè)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記，由單調(diào)函數(shù)的特點(diǎn)得，當(dāng)時(shí)，顯然是可測(cè)集；當(dāng)時(shí)，也顯然是可測(cè)集。故是上的可測(cè)函數(shù)。14、設(shè)，是的可測(cè)子集，且，若，則。證明：因?yàn)槭堑目蓽y(cè)子集，且，所以，從而由得，。又，由積分的絕對(duì)連續(xù)性，。15、設(shè)，若對(duì)任意有界可測(cè)函數(shù)都有，則于。證明：由題設(shè)，取，顯然為上的有界可測(cè)函數(shù)，從而。所以，于，即于。16、設(shè)，證明（1）；（2）。證明：由得，（1）。（2）由（1），注意到，由積分的絕對(duì)連續(xù)性得，從而注意到，所以，。17、若是上的單調(diào)函數(shù)，則是上的有界變差函數(shù)，且。證明：不妨設(shè)是上的單調(diào)增函數(shù)，任取的一個(gè)分割則 ，所以，。18、若在上滿足：存在正常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則 （1）是上的有界變差函數(shù)，且； （2）是上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。證明：（1）由題設(shè)，任取的一個(gè)分割則，所以，是上的有界變差函數(shù)，且。（2）在內(nèi)，任取有限個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間，。由于，于是，對(duì)任意，取，則當(dāng)時(shí)，有，即是上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。19、若是上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則是上的有界變差函數(shù)。證明：由是上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，取，存在，對(duì)任意有限個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間，只要時(shí)，有?，F(xiàn)將等分，記分點(diǎn)為，使得每一等份的長(zhǎng)度小于。易得，即是上的有界變差函數(shù)。又，所以，即是上的有界變差函數(shù)。20、若是上的有界變差函數(shù)，則（1）全變差函數(shù)是上的遞增函數(shù)；（2）也是上的遞增函數(shù)。證明：（1）對(duì)任意，注意到，有，即是上的遞增函數(shù)。（2）對(duì)任意，注意到，有 ，即是上的