【精品】六年級(jí)下冊數(shù)學(xué)第四單元《 比例》講義

第四單元 比例1.比例的意義和基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一 比例的意義和基本性質(zhì)一、 比例的意義1. 如5:6=，15:18=，所以5:6=15:18。 像“5:6=15:18”，表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。2. 判斷兩個(gè)比能否組成比例的方法：看兩個(gè)比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能組成比例；否則不能組成比例。二、比例的各部分名稱1. 組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。例如：3.6 : 3=4.8 : 4內(nèi)項(xiàng) 外項(xiàng)三、比例的基本性質(zhì)1. 在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的基本性質(zhì)。2. 如果（a、b、c、d均不為0），那么ad=bc?！境脽岽蜩F】1. 能與15 ：9組成比例的比是（ ）。A. 13 ：15 B. 3：5 C. 5：3 D. 15 ：115 2. 能與： 組成比例的是（）。A. 2：3 B. C. D. 3. 在比例1.2：2.1 = 4：7中，和是外項(xiàng)，和 是內(nèi)項(xiàng)，將這個(gè)比例改寫成分?jǐn)?shù)形式是 = 4. 在一個(gè)比例里，兩個(gè)外項(xiàng)互為倒數(shù)，其中一個(gè)內(nèi)項(xiàng)是3.5，另一個(gè)內(nèi)項(xiàng)是（ ）。5. 如果a：b=5：9 ,那么a：5=（ ）：（ ）。6. A的相當(dāng)于B的，A：B=（ ）：（ ）7. 如果2a=6b，則，a：8=（ ）：（ ）。8. 如果6x=7y，寫成比例是（ ） A. 6:7=y:x B. x:y=6:7 C. 6:x=7:y D. 6:y=7:x9. 用3、7、9、21這四個(gè)數(shù)組成的比例式，下面的哪個(gè)式子是正確的（ ）。A. 21:3=7:9 B. 3:7=9:21 C. 9:3=7:21 D. 321=79拓展1. 根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求比例中的某一項(xiàng)（1） （2） （3） （4）2. 運(yùn)用例舉法把乘法等式改寫成比例（1）380=460 （2）3. 判斷四個(gè)數(shù)能否組成比例（1）判斷3，6，9，18這四個(gè)數(shù)能否組成比例（2）小強(qiáng)3分鐘走了180米，小剛1小時(shí)走了3.6千米。小強(qiáng)說：“我倆各自左走的路程和時(shí)間的比能組成比例。”小剛說：“不能組成比例?！彼麄冋l說得對(duì)？知識(shí)點(diǎn)二 解比例1. 解比例的意義：求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例2. 方法：（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)把比例轉(zhuǎn)化成乘法算式（2）解方程求出未知項(xiàng)的值【趁熱打鐵】1.解比例：=：X 2. 根據(jù)條件列比例解比例（1）36與X的比等于4與0.2的比 （2）一個(gè)數(shù)和8的比等于的比，這個(gè)數(shù)是多少？（3）比的兩個(gè)外項(xiàng)是4.6和5，兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)是X和2.33.一種農(nóng)藥，用藥液和水按1：1500配制而成，現(xiàn)有3千克藥液，能配制這種農(nóng)藥多少千克？4.隆興嘉園11號(hào)樓的實(shí)際高度是38米，它的高度與模型高度的比試500:1.那么模型的高度是多少厘米？2.正比例和反比例知識(shí)點(diǎn)一 正比例一、 正比例的意義1. 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。2. 如果用字母y和x表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值（一定），那么正比例關(guān)系可以表示為例：正方形的周長與邊長；速度一定時(shí)的路程與時(shí)間；單價(jià)一定時(shí)的總價(jià)與數(shù)量。注：判斷兩種量是否成正比例，要做到“兩判”：一判這兩種量是不是相關(guān)聯(lián)的量，二判兩個(gè)量的比值是否一定。二、正比例圖像的特點(diǎn)正比例圖像是一條從原點(diǎn)出發(fā)的射線。從圖像中可以直觀地看到兩種量的變化情況，可以不用計(jì)算，由一個(gè)量的值就能直接找到相對(duì)應(yīng)的另一個(gè)量的值【趁熱打鐵】1. 判斷下面每題中的兩種量是否成比例。（1） 筆記本單價(jià)一定，數(shù)量和總價(jià) （ ）（2） 工作效率一定，工作時(shí)間和工作總量 （ ）（3） 一袋大米的重量一定，吃了的和剩下的 （ ）（4） 正方形的周長和邊長 （ ）（5） 人的身高和體重 （ ）2. 公共汽車?yán)锏耐稁畔滟N有“2元/人”（1）把下表填寫完整 上車的人數(shù)/人1246投幣箱的車費(fèi)/元2610（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在下圖中描出車費(fèi)和上車的人數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再把它們按順序連起來。（3）你發(fā)現(xiàn)哪個(gè)量與哪個(gè)量成什么比例？請說明理由。3. 媽媽去買蘋果，蘋果的總價(jià)和購買的數(shù)量如下：數(shù)量（千克）24581012總價(jià)（元）81624324048（1）媽媽買蘋果的總價(jià)和所買數(shù)量成正比例嗎？為什么？（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在下圖中描出總價(jià)和所買數(shù)量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再把它們用線連起來。（3）看上圖判斷，媽媽買5千克蘋果需要多少元？60元可以買多少千克蘋果？4. 同一時(shí)間，同一地點(diǎn)測得樹高和影長如下圖：（1）看圖填寫下表：樹高/m12345影長/m（2）樹高和影長成比例嗎？成什么比例？為什么？（3）根據(jù)圖象，估計(jì)8米高的樹，這時(shí)的影長是多少米？4. 甲、乙兩車行駛的路與時(shí)間的關(guān)系如圖：（1）甲車行駛的路程與時(shí)間是否成正比例關(guān)系？乙車呢？（2）3小時(shí)甲車行駛（ ）千米，乙車行駛（ ）千米。（3）從圖象上看，甲車的速度快還是乙車的速度快？（2）如果甲、乙兩車從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過5小時(shí)相遇則A、B兩地相距多少千米？5. 已知x和y成正比例關(guān)系，完成下面的表：X7618Y36248知識(shí)點(diǎn)二 反比例1. 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，那么這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。2. 如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的成績（一定），那么反比例關(guān)系可以表示為例：路程一定時(shí)的速度與時(shí)間；總價(jià)一定時(shí)的單價(jià)與數(shù)量。注：判斷兩種量是否成反比例，要做到“兩判”：一判這兩種量是不是相關(guān)聯(lián)的量，二判兩個(gè)量的乘積是否一定?！境脽岽蜩F】1. 判斷下面每題中的兩種量是否成比例。（1） 比的前項(xiàng)一定，比的后項(xiàng)和比值 （ ） （2） 平行四邊形的面積一定，它的底和高 （ ） （3） 燒煤的天數(shù)一定，每天的燒煤量和煤的總量 （ ） （4） 長方形的周長一定，它的長和寬 （ ） （5） 被減數(shù)一定，減數(shù)與差 （ ） （6） 花生的出油率一定，花生的重量和油的重量 （ ） （7） 正方形的邊長與面積成 （ ）（8） 班級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)一定，出勤率與缺勤率 （ ）（9） 圓的周長與直徑 （ ）（10） 同時(shí)同地樹高與影長 （ ）2. 表示a和b這兩種量成反比例的關(guān)系式是（ ）Aa+b=8 Ba-b=8 Cab=8 Dab=83. x與y成反比例關(guān)系，根據(jù)條件完成下表。X152040Y4002401004. 想一想 ，填一填。（1）如果 = ，那么x和y成（ ）比例 ，（2）如果,那么a與b成( )比例。5. 3個(gè)人練習(xí)打同一份稿件，每人打字所用時(shí)間如下表，請?zhí)畋聿⒒卮饐栴}。 玲玲軍軍奇奇打字所用的時(shí)間（分）101220速度（字/分）847042（1） 不同的人在打同一份稿件的過程中，哪個(gè)量沒變？（2） 打字的速度和所用的時(shí)間有什么關(guān)系？（3） 張老師打這份稿件用了7分鐘，你知道她平均每分鐘打多少個(gè)字嗎？6. 一輛汽車準(zhǔn)備從甲地開往乙地。根據(jù)下表提供的信息，把表格填寫完整。（1）行駛的時(shí)間和速度成什么比例關(guān)系？說明理由。（2） 如果這一輛汽車從甲地到乙地用了18小時(shí)，根據(jù)上面表格估計(jì)這輛汽車的速度大約是多少？7. 看同一本書，每天看的頁數(shù)和所看天數(shù)的情況如下表：每天看的頁數(shù)48101620所看的天數(shù)8040（1）判斷：每天所看的頁數(shù)與所看天數(shù)成 比例。（2）把表格填完整。（3）哪一個(gè)量不變。 注：正比例和反比例的比較共同點(diǎn)不同點(diǎn)正比例兩種量相關(guān)聯(lián)，一種量變化，另一種量也隨著變化。兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，即 = k（一定）反比例兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，即 xy = k （一定）3.比例的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一 比例尺一、比例尺的意義 1.一幅圖的（ ）距離和（ ）距離的比，叫做這幅圖的比例尺。2.（ ）（ ）=比例尺 或 =（ ）3.比例尺與一般的尺不同，它是一個(gè)（ ），不應(yīng)帶有計(jì)量單位4.求比例尺時(shí)，前、后項(xiàng)的單位長度一定要化成同級(jí)單位例1：一張地圖上2厘米的距離表示實(shí)際距離1000米。求圖上距離和實(shí)際距離的比。例2：一個(gè)機(jī)器零件的長為3毫米,畫在紙上的長為18厘米，求這幅圖的比例尺。練習(xí)：1. 用圖上距離5厘米，表示實(shí)際距離200米，這幅圖的比例尺是（ ）2. 圖上距離：實(shí)際距離 = 1cm：50km = 1cm:( )cm = 1:( ) 3. 在一幅地圖上，用3厘米的線段表示18千米的實(shí)際距離，這幅地圖的比例尺是（ ）。4. 長4毫米的零件，畫在圖紙上是4厘米，這幅圖的比例尺是（ ）5. 一個(gè)手表零件長2毫米，畫在一幅圖上長4厘米，這幅圖的比例尺。6. 一張地圖上，用3厘米表示實(shí)際距離600米，求這張地圖的比例尺。二、比例尺的分類1.按表現(xiàn)形式分：（1）線段比例尺：（2）數(shù)值比例尺：圖上距離：實(shí)際距離=比例尺 或 （3）文字比例尺：圖上1厘米代表實(shí)地距離40千米 2.按將實(shí)際距離縮小還是放大分：（1）縮小比例尺：像1:2000,1:50這樣前項(xiàng)是“1”的比例尺，稱為縮小比例尺。（2）放大比例尺：像4:1，60:1這樣后項(xiàng)是“1”的比例尺，稱為放大比例尺。 例3：（1）說一說下面兩幅圖中比例尺所代表的含義。（2）你能將第二個(gè)線段比例尺改寫成數(shù)值比例尺嗎?練習(xí)：1.AB兩地間的直線距離是150千米，在地圖上只有5厘米，該地圖的比例尺是多少？用三種表示方法表示。2.兩城的實(shí)際距離是120千米，在一幅地圖上的圖上距離為4厘米，該地圖的比例尺是多少？將數(shù)值比例尺改寫成線段比例尺。3.填寫表格數(shù)字式文字式線段式1：2000000圖上1厘米等于實(shí)際距離3千米1：450000三、已知比例尺和圖上距離，求實(shí)際距離方法一：根據(jù)“”列方程，用解比例的方法解答方法二：根據(jù)“實(shí)際距離 = 圖上距離比例尺”直接列式解答例4：在比例尺1:2000的平面圖上，量得一座大橋的長度是7.2厘米。這座大橋的實(shí)際長度是多少米？方法一：方法二：練習(xí)：1.判斷 實(shí)際距離一定比圖上距離大。 （ ） 在比例尺是10：1的圖紙上，2厘米的線段表示零件實(shí)際長度是20厘米。（ ）2.在比例尺是1：6000000的地圖上，量得重慶到上海的距離是24厘米，重慶到上海的實(shí)際距離是多少千米？ 3.在比例尺是的地圖上，量得一間房屋地基長8厘米，寬5厘米。這間房屋實(shí)際的長和寬分別是多少？ 思維突破1：在比例尺是的地圖上，量得一所學(xué)校的平面圖長6厘米，寬4厘米。這所學(xué)校實(shí)際占地面積是多少平方米？過關(guān)精煉：在比例尺是1:400的圖紙上，量得長方形的長是4厘米，寬是3厘米。長方形的實(shí)際面積是多少平方米？思維突破2：在比例尺是1：5000000的地圖上，量得沈陽和重慶兩地相距6厘米。如果甲、乙兩輛汽車同時(shí)從兩地相對(duì)出發(fā)，甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行42千米。幾小時(shí)后兩車能相遇？ 過關(guān)精煉：1.在比例尺是13000000的地圖上，量的A、B兩地的距離是50厘米。如果甲、乙兩列客車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，經(jīng)過10小時(shí)相遇，甲客車每小時(shí)行76千米，乙客車每小時(shí)行多少千米？2.在比例尺是1：2000000的地圖上，量得濟(jì)南到煙臺(tái)的距離是3.6厘米。如果汽車以每小時(shí)30千米的速度于上午9時(shí)整從濟(jì)南出發(fā)，走完這段路程到達(dá)煙臺(tái)時(shí)是什么時(shí)刻？四、已知實(shí)際距離和比例尺，求圖上距離（應(yīng)用比例尺畫圖）方法一：用方程解。1.解，設(shè)圖上距離為x厘米。2、換算單位。實(shí)際距離與圖上距離單位一致。3、利用“圖上距離：實(shí)際距離=比例尺”列比例，解比例。方法二：算術(shù)法。利用“圖上距離=實(shí)際距離比例尺”直接列式計(jì)算。例5：一個(gè)長方形操場，長110米，寬90米。把它畫在比例尺是的圖紙上，長和寬各應(yīng)畫多少厘米？過關(guān)精煉：實(shí)際距離240千米，畫在比例尺是1：8000000的地圖上，應(yīng)畫多少厘米？思維突破：在比例尺是1：6000000的地圖上，量得南京到北京的距離是15厘米。如果把南京到北京的距離畫在比例尺是1：5000000的地圖上，應(yīng)該畫多少厘米？過關(guān)精煉：1.原比例尺為1：50000的一幅地圖，現(xiàn)在改為用的比例尺重新繪制，原地圖中4.8cm的距離，在新地圖中應(yīng)該畫多少厘米？2.在一幅地圖上，用5厘米的距離表示實(shí)際距離1500千米。在這幅地圖上量得A、B兩地的距離是3.5厘米，A、B兩地的實(shí)際距離是多少千米？一條640千米的高速公路，在這幅地圖上是多少厘米?五、應(yīng)用比例尺畫圖步驟：1.確定比例尺。 2.根據(jù)自己選擇的比例尺計(jì)算出平面圖上的距離。 3.畫圖。例6：小明家在學(xué)校正西方向，距學(xué)校200m；小亮家在小明家正東方向，距小明家400m；小紅家在學(xué)校正北方向，距學(xué)校250m，在下圖中畫出他們?nèi)液蛯W(xué)校的位置平面圖。 學(xué)校過關(guān)精煉：1、籃球場長120m，寬90m。用1：2000的比例尺在下面畫出它的平面圖（只畫出邊界）2、小明家正西方向500是街心公園，街心公園正北方向300是科技館，科技館正東方向1是動(dòng)物園，動(dòng)物園正南方向400是醫(yī)院。先確定比例尺，再畫出上述地點(diǎn)的平面圖。知識(shí)點(diǎn)二 圖形的放大與縮小一、 圖形的放大與縮小1. 圖形的放大：保持圖形原來的形狀不變，但是和原圖相比，圖形變大了，叫做圖形的放大。2. 圖形的縮?。罕３謭D形原來的形狀不變，但是和原圖相比，圖形變小了，叫做圖形的縮小。二、在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小的方法1. 步驟：一看二算三畫2. 放大或縮小后的圖形與原來的圖形相比，形狀相同，但是大小發(fā)生了變化。3. 圖形按一定的比放大時(shí)，這個(gè)比的比值比1（ ）；圖形按一定的比縮小時(shí)，這個(gè)比的比值比1（ ）。拓展多次放大或縮小一個(gè)長方形，先按2:1放大，再按1:4縮小，和原來的長方形相比，最終的到的長方形各邊是擴(kuò)大了還是縮小了？【趁熱打鐵】1. 先按 4 : 1 把下面的三角形放大，再把放大后的圖形按 1 : 2 縮小。2. 一個(gè)長方形，長是12厘米，寬是6厘米，（1）按一定比例放大后，長是36厘米，寬是18厘米，它是按（ ）：（ ）的比擴(kuò)大的。（2）按一定比例縮小后，長是6厘米，寬是3厘米，它是按（ ）：（ ）的比縮小的。3. 把一個(gè)長是3cm，寬是2cm的長方形按2：1的比擴(kuò)大后，長是（ ）cm，寬是（ ）cm，面積將擴(kuò)大到原來的（ ）。4. 把一個(gè)邊長是24cm的正方形按1:8縮小后，邊長是（ ），縮小后的正方形的面積與原來正方形的面積的比是（ ）。5. 一個(gè)圓的半徑是4厘米，按1：2縮小后，得到的圖形的面積是（ ）。6. 一個(gè)圓按3:1放大后，半徑是12cm，原來的圓的半徑是（ ）。7. 若將直角三角形的兩條直角邊都擴(kuò)大到原來的3倍，則斜邊（ ）。A.不變 B.擴(kuò)大到原來的3倍 C.縮小到原來的8. 用放大鏡看一個(gè)45的角，這個(gè)角的度數(shù)是（ ）。知識(shí)點(diǎn)三 用比例解決問題一、 用正比例解決問題步驟：（1）分析題意，找到兩種相關(guān)聯(lián)的量，判斷他們是否成正比例（2）如果成正比例關(guān)系，根據(jù)正比例的意義列出比例式（3）解比例（4）檢驗(yàn)并答二、用反比例解決問題步驟：（1）分析題意，找到兩種相關(guān)聯(lián)的量，判斷他們是否成反比例（2）如果成反比例關(guān)系，根據(jù)反比例的意義列出比例式（3）解比例（4）檢驗(yàn)并答【趁熱打鐵】1. 下面各題中的兩個(gè)量成不成比例，如果成比例，那么成什么比例？（1） 圓的面積和半徑 （ ） （2） 訂數(shù)學(xué)報(bào)的份數(shù)與總價(jià) （ ） （3） 長方形的周長一定，長與寬 （ ） （4） 在沒有余數(shù)的除法中，被除數(shù)一定，除數(shù)和商 （ ） （5） 鋪底面積一定，方磚面積與所需塊數(shù) （ ） （6） 貨車的載重量一定，運(yùn)送貨物的總量和輛數(shù) （ ） 2. 食堂買3桶油用了780元，照這樣計(jì)算，買10桶油需要多少元？（1）因?yàn)椋?）一定，相關(guān)聯(lián)的兩種量是（ ）和（ ）（2）得數(shù)量關(guān)系式： =（3）所以（ ）和（ ）成（ ）比例關(guān)系。3. 生產(chǎn)一批自行車，計(jì)劃每天生產(chǎn)30輛，需要生產(chǎn)20天；實(shí)際每天生產(chǎn)了50輛，實(shí)際生產(chǎn)了幾天？（1）因?yàn)椋?）一定，相關(guān)聯(lián)的兩種量是（ ）和（ ）（2）得數(shù)量關(guān)系式： =（3）所以（ ）和（ ）成（ ）比例關(guān)系。4. 一種大豆，每20千克可以榨油5.5千克。照這樣計(jì)算。(1)30噸大豆可以榨油多少噸？ (2)要榨22噸油，需要這樣的大豆多少噸？5. 我國發(fā)射的人造地球衛(wèi)星，在空中繞地球運(yùn)行3周需要5.7小時(shí)。照這樣計(jì)算，運(yùn)行12周需要多少小時(shí)？6. 測量小組測得一座電視發(fā)射塔的影長是100米。同時(shí)把一根長2米長的竹竿直立在地上，測得影長是1.6米。電視發(fā)射塔高多少米？7. 一個(gè)曬鹽場用100克海水可以曬出3克