數(shù)學(xué)思想方法

1、“方程”的思想數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的，初中最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系，其次是不等量關(guān)系。最常見的等量關(guān)系就是“方程”。比如等速運動中，路程、速度和時間三者之間就有一種等量關(guān)系，可以建立一個相關(guān)等式：速度時間=路程，在這樣的等式中，一般會有已知量，也有未知量，像這樣含有未知量的等式就是“方程”，而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程。我們在小學(xué)就已經(jīng)接觸過簡易方程，而初一則比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解一元一次方程，并總結(jié)出解一元一次方程的五個步驟。如果學(xué)會并掌握了這五個步驟，任何一個一元一次方程都能順利地解出來。初二和初三我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程、二元二次方程組、簡單的三角方程;到了高中我們還將學(xué)習(xí)指數(shù)方程、對數(shù)方程、線性方程組、參數(shù)方程、極坐標方程等。解這些方程的思維幾乎一致，都是通過一定的方法將它們轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五個步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決。物理中的能量守恒，化學(xué)中的化學(xué)平衡式，現(xiàn)實中的大量實際應(yīng)用，都需要建立方程，通過解方程來求出結(jié)果。因此，同學(xué)們一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學(xué)好，進而為學(xué)好其它形式的方程打好基礎(chǔ)。所謂的“方程”思想就是對于數(shù)學(xué)問題，特別是現(xiàn)實當(dāng)中碰到的未知量和已知量的錯綜復(fù)雜的關(guān)系，善于用“方程”的觀點去構(gòu)建有關(guān)的方程，進而用解方程的方法去解決它。2、“數(shù)形結(jié)合”的思想大千世界，“數(shù)”與“形”無處不在。任何事物，剝?nèi)ニ馁|(zhì)的方面，只剩下形狀和大小這兩個屬性，就交給數(shù)學(xué)去研究了。初中數(shù)學(xué)的兩個分支代數(shù)和幾何，代數(shù)是研究“數(shù)”的，幾何是研究“形”的。但是，研究代數(shù)要借助“形”，研究幾何要借助“數(shù)”，“數(shù)形結(jié)合”是一種趨勢，越學(xué)下去，“數(shù)”與“形”越密不可分，到了高中，就出現(xiàn)了專門用代數(shù)方法去研究幾何問題的一門課，叫做“解析幾何”。在初三，建立平面直角坐標系后，研究函數(shù)的問題就離不開圖象了。往往借助圖象能使問題明朗化，比較容易找到問題的關(guān)鍵所在，從而解決問題。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要重視“數(shù)形結(jié)合”的思維訓(xùn)練，任何一道題，只要與“形”沾得上一點邊，就應(yīng)該根據(jù)題意畫出草圖來分析一番，這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強，容易找出切入點，對解題大有益處。嘗到甜頭的人慢慢會養(yǎng)成一種“數(shù)形結(jié)合”的好習(xí)慣。3、“對應(yīng)”的思想“對應(yīng)”的思想由來已久，比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對應(yīng)一個抽象的數(shù)“1”，將兩只眼睛、一對耳環(huán)、雙胞胎對應(yīng)一個抽象的數(shù)“2”;隨著學(xué)習(xí)的深入，我們還將“對應(yīng)”擴展到對應(yīng)一種形式，對應(yīng)一種關(guān)系，等等。比如我們在化簡求值計算中，將式子中有關(guān)字母或某個整體的值,對應(yīng)代入，直接算出原式的結(jié)果。又比如我們到初三綜合學(xué)習(xí)了與圓有關(guān)的角，圓心角、圓周角、弦切角的數(shù)量關(guān)系必須“對應(yīng)”同一段弧才能成立。這就是運用“對應(yīng)”的思想和方法來解題。初二、初三我們還看到數(shù)軸上的點與實數(shù)之間的一一對應(yīng)，直角坐標平面上的點與一對有序?qū)崝?shù)之間的一一對應(yīng)，函數(shù)與其圖象之間的對應(yīng)?？傊皩?yīng)”的思想在今后的學(xué)習(xí)中將會發(fā)揮越來越大的作用。4、“轉(zhuǎn)化”的思想解數(shù)學(xué)題最根本的途徑是“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”，也就是把復(fù)雜繁難的數(shù)學(xué)問題通過一定的數(shù)學(xué)思維、方法和手段，逐漸將它轉(zhuǎn)變成一個大家熟知的簡單的數(shù)學(xué)形式，然后通過大家所熟悉的數(shù)學(xué)運算把它解決。比如，我們學(xué)校要擴大校園，需要向某村征地。而某村給了一塊形狀不規(guī)則的地，如何丈量它的面積呢?首先，使用適當(dāng)?shù)臏y量工具，依據(jù)一定的比例，將實際地形繪制成紙上圖形，然后將紙上圖形分割成若干塊梯形、長方形、三角形，利用學(xué)過的面積計算方法，計算出這些圖形的面積之和，也就得到了這塊不規(guī)則地形的總面積。在這里，我們把無法計算的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成了可以計算的規(guī)則圖形，從而解決了土地丈量問題。另外，我們前面提到的各種多元方程、高次方程，利用“消元”、“降次”等方法，最終都可以把它們轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程，然后用已知的步驟或公式把它們解決。“轉(zhuǎn)化和替代”的思想，是解題的最重要的思維習(xí)慣。面對難題，面對沒有見過的題，首先就要想到“轉(zhuǎn)化”，也總是能夠“轉(zhuǎn)化”的。平時，要多留心老師是怎樣解題的，是怎樣“化難為易、化繁為簡、化未知為已知”的。同學(xué)之間也應(yīng)多交流交流“成功轉(zhuǎn)化”的體會，深入理解“轉(zhuǎn)化”的真正含義，切實掌握“轉(zhuǎn)化”的思維和技巧。一、什么是數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的一種結(jié)果.它是數(shù)學(xué)中處理問題的基本觀點，是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本方法本質(zhì)的概括，是創(chuàng)造性地發(fā)展數(shù)學(xué)的指導(dǎo)方針。數(shù)學(xué)思想比一般說的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象概括水平，后者比前者更具體更豐富，而前者比后者更本質(zhì)更深刻。數(shù)學(xué)方法是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法兩者既統(tǒng)一又有區(qū)別。例如.在初中代數(shù)中，解多元方程組，用的是“消元法”;解高次方程，用的是“降次法”;解雙二次方程.用的是“替換法”。這里的“消元”、“降次”、“替換”都是具體的數(shù)學(xué)方法，但它們不是數(shù)學(xué)思想，這三種方法共同體現(xiàn)出“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想，即把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的思想。具體的數(shù)學(xué)方法，不能冠以“思想”二字。如“配方法”，就不能稱為數(shù)學(xué)思想.它的實質(zhì)是恒等變形，體現(xiàn)了“變換”的數(shù)學(xué)思想。然而，每一種數(shù)學(xué)方法.都體現(xiàn)了一定的數(shù)學(xué)思想;每一種數(shù)學(xué)思想在不同的場合又通過一定的手段表現(xiàn)出來，這里的手段就是數(shù)學(xué)方法。也就是說，數(shù)學(xué)思想是理性認識.是相關(guān)的數(shù)學(xué)方法的精神實質(zhì)和理論依據(jù)。數(shù)學(xué)方法是指向?qū)嵺`的.是工具性的，是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段。因此.人們通常將數(shù)學(xué)思想和方法看成一個整體概念數(shù)學(xué)思想方法。一般來說，數(shù)學(xué)思想方法具有三個層次:低層次的數(shù)學(xué)思想方法(如消元法、換元法、代人法等)，較高層次的數(shù)學(xué)思想方法(如分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等)，高層次的數(shù)學(xué)思想方法(如轉(zhuǎn)化、分類、數(shù)形結(jié)合等)。較低層次的數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)抽象概括可上升為較高層次的數(shù)學(xué)思想方法，各層次間沒有明確的界限。二、為什么要研究初中數(shù)學(xué)思想方法1.教學(xué)本身的需要初中數(shù)學(xué)教材體系包括兩條主線。其一是數(shù)學(xué)知識，這是編寫教材的一條明線;其二是數(shù)學(xué)思想方法，這是編寫教材的指導(dǎo)思想，它是大都不能明確寫進教材的一條暗線。前者容易理解，后者不易看明;前者是教材寫什么，后者則明確為什么要這樣寫;只有理解后者才能真正從整體上、本質(zhì)上理解教材。九年制義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出:“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法?！边@就要求我們在數(shù)學(xué)知識教學(xué)的同時，必須注意數(shù)學(xué)思想方法的有機滲透和統(tǒng)帥作用。只有這樣.才能有助于學(xué)生形成一個既有肉體又有靈魂的活的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，推動學(xué)生思維一般品質(zhì)乃至整個素質(zhì)的全面提高。2.數(shù)學(xué)發(fā)展的需要翻開數(shù)學(xué)史，從算術(shù)到代數(shù)，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，從偶然數(shù)學(xué)到必然數(shù)學(xué)，從“明晰”數(shù)學(xué)到“模糊”數(shù)學(xué)，以及從手工證明到機器證明等，歷史上的這幾次重大轉(zhuǎn)折，首先是數(shù)學(xué)思想方法的轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變還表明了數(shù)學(xué)的發(fā)展不僅是量的發(fā)展.還有質(zhì)的飛躍，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法日益豐富。如果說歷史上是數(shù)學(xué)思想方法推進了數(shù)學(xué)科學(xué)，那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是數(shù)學(xué)思想方法在傳導(dǎo)著數(shù)學(xué)的精神，在塑造著人的靈魂，在對一代人的數(shù)學(xué)素質(zhì)實施著深刻、穩(wěn)定而持久的影響。3.國民素質(zhì)的需要當(dāng)今世界，青少年只有具備很強的適應(yīng)能力，才能參與社會競爭。對數(shù)學(xué)來說，就是具備運用所學(xué)基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力，根據(jù)需要去自學(xué)新知識的能力。因此，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)比只教會學(xué)生幾個數(shù)學(xué)公式更為重要，它將使學(xué)生獲得自學(xué)數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)的本領(lǐng)，獲得把數(shù)學(xué)思想方法遷移為解決其它問題的能力.從而形成更什的智能結(jié)構(gòu).讓學(xué)生終生受益。正如德閏學(xué)者馮勞厄說的:“教育尤非是一切學(xué)過的東西都忘掉時所剩下的東西?！边@種使人終身受用的東西.數(shù)學(xué)教學(xué)中指數(shù)學(xué)思想方法有資料表明.我國的中學(xué)生畢業(yè)后直接用到的數(shù)學(xué)知識并不多，更多的是受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶與啟迪4.教學(xué)改革的需要當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，過于強調(diào)對定義、定理、法則、公式的灌輸與記憶，不注意這些概念、知識的發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用過程的揭示與解釋，不善于將這一過程中豐富的思想方法進行抽象和概括，存在著“掐頭去尾燒中段”的狀況，即使有應(yīng)用過程.也只是在解題過程中.強調(diào)對問題一招一式、一題-解、一法一題的個別解決，定勢套路的總結(jié)，而輕視思路分析.忽視解題的思維過程，不能將具體的知識和個別的數(shù)學(xué)方法上升到數(shù)學(xué)思想的高度.揭示方法的實質(zhì)和規(guī)律，長此以往，嚴重阻礙r學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)和發(fā)展，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是把傳統(tǒng)的知識型教學(xué)轉(zhuǎn)化為能力型教學(xué)的關(guān)鍵，是培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的良好手段和渠道。三、初中數(shù)學(xué)思想方法主要有哪些根據(jù)“大綱精神，初中數(shù)學(xué)的基本思想主要指轉(zhuǎn)化、分類、數(shù)形結(jié)合等基本方法主要指待定系數(shù)法、消兒法、配方法、換元法、圖象法等由于數(shù)學(xué)方法在教材中大都有具體陳述，而數(shù)學(xué)思想?yún)s是隱含在知識系統(tǒng)之中.這為強化數(shù)學(xué)思想方法帶來了一定困難_為此.下面談?wù)勣D(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等在初中數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)1.轉(zhuǎn)化思想所謂轉(zhuǎn)化思想是指一種研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對象的思維方式轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心，其它數(shù)學(xué)思想方法都是轉(zhuǎn)化的手段或策略)初中數(shù)學(xué)中運用轉(zhuǎn)化思想具體表現(xiàn)在以下三個方面:(l)把新問題轉(zhuǎn)化為原來研究過的問題如有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法，除法轉(zhuǎn)化為乘法等(助把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題(，新問題用已有的方法不能或難以解決時，建立新的研究方式如引進負數(shù)，建立數(shù)軸;變利用逆運算的性質(zhì)解方程為利用等式的性質(zhì)解方程，等等。2.分類討論思想所謂分類討論是指對于復(fù)雜的對象，為了研究的需要.根據(jù)對象本質(zhì)屬性的相同點和差異性，將對象區(qū)分為不同種類，通過研究各類對象的性質(zhì)，從而認識整體的性質(zhì)的思想方式。在分類討論中要注意標準的同一性.即劃分始終是同一個標準、這個標準必須是科學(xué)合理的;分域的互斥性.即所分成的各類既要互不包含.義要使各類總和等于討論的全集;分域的逐級性，有的問題分類后還可在每，類中丙繼續(xù)分類。運用分類討論思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生歸納、總結(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，使之系統(tǒng)化、條理化.并逐步形成一個完整的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，這有利于學(xué)生嚴密、清晰、合理地探索解題思路，提高數(shù)學(xué)思維能力。在初中數(shù)學(xué)中需要分類討淪的問題主要表現(xiàn)個方而:(扮有的數(shù)學(xué)概念、定理的論證包含多種情況.這類問題需要分類討論。如平面兒何中二角形的分類、四邊形的分類、角的分類、圓周角定理、圓冪定理、弦切角定理等的證明，都涉及到分類i寸論(約解含字毋參數(shù)或絕對值符號的為一程、不等式、討論算術(shù)根、正比例和反比例的數(shù)中二次項系數(shù)、，與圖象的開L:方向等，由于這些參數(shù)的取位不同或要去掉絕對值符號就有不同的結(jié)果.這類問題需要分類討論(3)有的數(shù)學(xué)問題.雖結(jié)論惟一但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同.這類問題也要分類討論3一效形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合是指抽象的數(shù)學(xué)語言與形象直觀的圖形結(jié)合起來.從而實現(xiàn)由抽象向具體轉(zhuǎn)化的一種思維方式。華羅庚說過:“數(shù)缺形時不直觀，形少數(shù)時難人微”有些數(shù)最關(guān)系.借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念和復(fù)雜的關(guān)系直觀化、形象化、簡單化，而圖形的一些性質(zhì).借助于數(shù)量的計算和分析.得以嚴謹化。在初中階段，數(shù)形結(jié)合的“形”可以是數(shù)軸、函數(shù)的圖象和幾何圖形等等.它們都具有形象化的特點數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中主要表現(xiàn)在以下兩個方面;(l)以形助數(shù)，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念如教師可以用數(shù)軸上點和實數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系來講清相反數(shù)、絕對值的概念以及比較兩個數(shù)大小的方法;運用函數(shù)圖象的性質(zhì)討淪一元三次方程的根以及討論一7乙一次小等式等等(2)以數(shù)助形，幫助學(xué)生簡化解題方法。初中數(shù)學(xué)中還滲透了類比、歸納、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法這些思想力一法之間，是相互滲透、互相促進的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有機地結(jié)合起來四、如何加強初中數(shù)學(xué)思想方法的滲透1.把握數(shù)學(xué)思想方法的層次性根據(jù).大綱”精神.在初中要求了解”的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比等要求“了解”的方法有分類法、類比垮、反證法;要求理解”或“會應(yīng)用”的方法有待定系數(shù)法、消兀法、降次法、配方法、換元法、圖象法。這吸“了解”、“理解”、“會運用”是教學(xué)要求的具體尺子.隨便提高或降低都會給這一基礎(chǔ)知識的教學(xué)帶來災(zāi)難2.加強知識的發(fā)生過程.適時滲透數(shù)學(xué)思想方法萊布尼茲有一句名言:“沒有什么比看到發(fā)明的源泉(過程)比發(fā)明本身吏重要了”。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)是數(shù)學(xué)活動結(jié)果的教學(xué).而應(yīng)是數(shù)學(xué)活動思維活動)過程的教學(xué)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程.實際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程。我們在教學(xué)中不僅要告訴學(xué)且有哪些數(shù)學(xué)思想和力一法.它們各有什么用.而且更重要的是向?qū)W生展現(xiàn)概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、方法的思考過程、問題的被發(fā)現(xiàn)過程、思路的探索過程、規(guī)律的被揭示過程等。否則學(xué)生遇到新問題時，盡管頭腦中也知道要在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下解決，但仍然不知從何處人手3.既要突出重點.又要逐步滲透在教學(xué)過程的不同階段，對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)的側(cè)重點應(yīng)有所不同。在低年級介紹較低層次，在高年級介紹較高層次;新授課階段介紹低層次的，復(fù)習(xí)鞏固階段介紹較高層次的。下面以二元一次方程組的解法的教學(xué)為例加以說明:開始講代入消元法和加減消元法，讓學(xué)生明確兩者雖然不同，但作用卻是一致的都把二元一次方程組化為一元一次方程，兩者統(tǒng)一稱為消元法。消元的思想是解二元一次方程組的基本思想;在復(fù)習(xí)階段則讓學(xué)生理解消元思想實施的結(jié)果是化二元