數(shù)學(xué)物理方程的基本知識(shí).ppt

數(shù)學(xué)物理方法,數(shù)學(xué)物理定解問題,數(shù)學(xué)物理方程的一般分類,一般分類按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線性微分方程和非線性微分方程；按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程.線性偏微分方程的分類按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程,2元二階線性微分方程的分類,一般形式:auxx+buxy+cuyy+d1ux+d2uy+eu=f(x,y)特征方程：ax2+bxy+cy2=0判別式=b24ac分類0為雙曲型，如波動(dòng)方程；=0為拋物線型，如熱傳導(dǎo)方程；0為橢圓型，如泊松方程和Laplace方程.,定解問題,問題的提出定解條件初始條件邊界條件定解問題初值問題邊值問題混合問題,初始條件,意義反映系統(tǒng)的特定歷史分類初始狀態(tài)（位置），用u|t=0=f(x)表示；初始變化（速度），用ut|t=0=g(x)表示.,邊界條件,意義反映特定環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的影響分類按條件中未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的次數(shù)分：線性邊界條件和非線性邊界條件；線性邊界條件中按給出的是函數(shù)值或?qū)?shù)值分：第一、二、三類邊界條件；按所給數(shù)值是否為零分：齊次邊界條件和非齊次邊界條件.,定解問題,定解問題的組成泛定方程：反映同一類現(xiàn)象的普遍性；定解條件：描述具體對(duì)象的特殊性.定解問題的分類初值問題(CauchyProblem)無邊界條件（環(huán)境對(duì)問題的影響可以忽略不計(jì)）邊值問題無初始條件（歷史對(duì)問題的影響可以忽略不計(jì)）第一邊值問題(DirichletProblem)第二邊值問題(NeumannProblem)第三邊值問題(RobinProblem)混合問題同時(shí)有邊界條件和初始條件.,定解問題,定解問題的適定性適定性的意義定解問題是實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，適定性是對(duì)模型能否反映實(shí)際問題的一般要求.適定性的內(nèi)容存在性唯一性穩(wěn)定性不適定問題舉例一般來說，方程的階數(shù)對(duì)應(yīng)于定解條件的個(gè)數(shù)；條件多了，將會(huì)破壞解的存在性；條件少了，將會(huì)破壞解的唯一性.,波動(dòng)方程輸運(yùn)方程拉普拉斯方程泊松方程第一類第二類第三類周期性有界性,演化方程穩(wěn)定方程線性邊界條件自然邊界條件初始狀態(tài)初始速度,泛定方程邊界條件初始條件,定解問題,本課程的主要內(nèi)容:,一、分離變量法,1.有界弦的自由振動(dòng)(第2.1節(jié)),2.有限長桿上的熱傳導(dǎo)(第2.2節(jié)),3.拉普拉斯方程-圓形區(qū)域(第2.3節(jié)),4.非齊次方程的解法(第2.4節(jié)),二、行波法,1.一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式(第3.1節(jié)),補(bǔ)充這個(gè)方程非齊次方程的解法(Duhamel原理).,三、積分變換法,1.無限桿上的熱傳導(dǎo)問題-Fourier變換法,2.半無限桿上的熱傳導(dǎo)問題-Laplace變換法,第3.3節(jié)例1,補(bǔ)充Fourier變換,第3.3節(jié)例2,補(bǔ)充Laplace變換,四、拉普拉斯方程的格林函數(shù)法(第四章),1.拉普拉肆方程邊值問題的提法(第