專升本試題及解答(四川理工2015)

2015年四川理工學院專升本高等數(shù)學考試題（理工類）一、選擇題（每題3分，共15分）1、極限（ D ）（A） （B） （C） （D）【知識點】第二個重要極限。解析：。2、函數(shù)在處（ D ）（A） （B） （C） （D）不存在【知識點】導數(shù)的定義。解析：，即不存在。3、直線與直線的夾角為（ A ）（A） （B） （C） （D）【知識點】直線間的夾角公式（方向向量的夾角）。解析：由參數(shù)方程得對稱式方程：；于是，即。4、設，則（ D ）（A） （B） （C） （D）【知識點】湊微分法。解析：。5、設連續(xù)，交換二次積分的次序是（ C ）（A） （B）（C） （D）【知識點】交換二次積分次序。解析：新積分區(qū)域，所以，。二、填空題：（每題3分，共15分）6、函數(shù)的定義域是 ?！尽俊局R點】二元函數(shù)的定義域。解析：定義域為：。7、 ?！尽俊局R點】換元法、分部積分法。解析：令，。于是，。8、判定級數(shù)收斂還是發(fā)散，答： ；【收斂】【知識點】比值審斂法。解析：。9、微分方程的通解 。【】【知識點】可分離變量微分方程。解析：。10、曲面在點處的切平面 ?！尽俊局R點】曲面的切平面方程。解析：令，；過點的切平面方程的法向量，故，切平面方程為：，即。三、解答題（每小題8分，共56分）11、求極限?！局R點】等價替換。解析：。12、已知函數(shù)由方程確定，求?！局R點】參數(shù)方程的二階導數(shù)。解析：，。13、由元素法的思想寫出：由型區(qū)域，繞軸旋轉的旋轉體的體積公式，然后計算由，與軸所圍成圖形繞軸旋轉的體積?！局R點】元素法（微元法）。解析：在區(qū)間任取小區(qū)間，面積元素，而繞軸旋轉而成圓環(huán)（周長），其體積元素；（展開為長方體）于是，平面圖形繞軸旋轉而成立體的體積為：。由此公式得：。14、設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求?！局R點】二階偏導數(shù)（抽象函數(shù)）。解析：；。15、求曲線積分，其中取逆時針方向。【知識點】曲線積分（曲線積分與路徑無關）。解析：因，所以，曲線積分與路徑無關。取直線段（軸上）：，于是，。16、計算，其中由、和所圍成區(qū)域?！局R點】直角坐標系下的二重積分計算。解析：積分區(qū)域。17、求函數(shù)的極值。【知識點】二元函數(shù)的極值。解析：令得駐點；又，在點處，且，故，函數(shù)的極小值為。四、證明題：（每題7分，共14分）18、證明：設在上連續(xù)可導，則，使?！局R點】積分中值定理、羅爾定理。證明：由在上連續(xù)可導知，在上連續(xù)，由積分中值定理，使；又，即，由題設知在上連續(xù)可導，由羅爾定理，（即），使。19、證明：當時，有