【狀元之路】2020屆高中數(shù)學(xué) 直線、平面、簡單幾何體精品作業(yè)10-9 文 大綱人教版

對應(yīng)學(xué)生書P265一、選擇題1長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A.B.C.D.解析：建立坐標(biāo)系(如圖)則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案：B2在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E為A1C1中點(diǎn)，則直線CE垂直于()AAC BBD CA1D DA1A解析：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x，y，z軸建系，設(shè)正方體棱長為1，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1，1)，(0,0，1)顯然00，即CEBD.答案：B3在90的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直于棱AB，已知AB5，AC3，CD5，則BD()A4 B5 C6 D7解析：由條件知ACAB，BDAB，ACBD.又，2()2|2|2|23252|2(5)2，|216，BD4.答案：A4若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()A120 B60 C30 D以上均錯解析：設(shè)l與所成角為，則sin|cos120|.又090，30.答案：C5已知長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，則直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為()A. B. C. D.解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)顯然AC平面BB1D1D.(4,4,0)為平面BB1D1D的一個法向量又(0,4,2)，cos，.即BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為.答案：C6二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為()A150 B45 C60 D120解析：由題意，知與所成角即為該二面角的平面角，2222222.(2)26242822|cos，116268cos，cos，.，120，60.該二面角的大小為60.答案：C7平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，則AC1的長為()A. B. C. D.解析：|. 答案：B8如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，若E、F分別是BC、DD1的中點(diǎn)，則B1到平面ABF的距離為()A. B. C. D.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,1)，B1(1,1,0)，設(shè)F，E，B(1,1,1)，(0,1,0)，.0，.又，平面ABF，平面ABF的法向量為，(0,1，1)B1到平面ABF的距離為. 答案：D二、填空題9(2020上海模擬)設(shè)平面與向量a(1,2，4)垂直，平面與向量b(2,3,1)垂直，則平面與位置關(guān)系是_解析：由已知，得a、b分別是平面、的法向量ab2640，ab，.答案：垂直10如圖，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一個點(diǎn)Q滿足PQQD，則a的值等于_解析：方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，設(shè)Q(1，x,0)，則據(jù)題意，可得AQQD，0，即(1，x,0)(1，ax,0)0，x2ax10.又Q點(diǎn)唯一，故方程x2ax10有兩個相等的解，a240，a2，或a2(舍去)a2.方法二：由PA平面ABCD得PAQD.又QDPQ，PAPQP，QD平面PAQ.QDAQ.又BC上只有一個點(diǎn)Q滿足QDPQ，1，a2.答案：211矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G為BC中點(diǎn)，K為AFD的外心，沿EF將矩形折成120的二面角AEFB，則此時KG的長是_解析：如圖，過K作KMEF，M為垂足，則向量與的夾角為120.，22222222222，21100211cos60002cos180213.|.答案：12(2020濱州模擬)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角為_解析：以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)2.cos，.EF和BC1所成角為60. 答案：60三、解答題13如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CACBCDBD2，ABAD.解析：(1)連接OC，BODO，ABAD，AOBD.BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，而AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.(2)以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，E，(1,0,1)，(1，0)cos，.AB與CD所成角的余弦值為.14如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC.(1)求證：PCAB；(2)求二面角BAPC的余弦值解析：(1)ACBC，APBP，PCPC，APCBPC.又PCAC，PCBC.ACBCC，PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB.(2)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)設(shè)P(0,0，t)，PBAB2，t2.P(0,0,2)取AP中點(diǎn)E，連接BE、CE.ACPC，ABBP，CEAP，BEAP.BEC是二面角BAPC的平面角E(0,1,1)，(0，1，1)，(2，1，1)，cosBEC.二面角BAPC的余弦值為.15如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA11，ACB90.(1)求異面直線A1B與CB1所成角的余弦值(2)問：在A1B1邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面QBC與平面A1BC所成的角為30？若存在，請求點(diǎn)Q的位置，若不存在，請說明理由解析：(1)分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則A1(，0,1)，B(0，0)，C(0,0,0)，B1(0，1)，(，1)，|，(0，1)，|2，cos，.異面直線A1B與CB1所成角的余弦值為.(2)方法一：ABCA1B1C1是直三棱柱，ACB90，BCCA1，BCCC1，A1CC1是二面角A1BCC1的平面角在RtA1C1C中，可求A1CC160，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得平面QBC與平面A1BC成30角在平面A1B1C1中過點(diǎn)Q作QPB1C1，交A1C1于P，連PC，則P、Q、B、C共面，A1CP就是二面角QBCA1的平面角，且為30.3060，故存在點(diǎn)P，在A1CC1的平分線上，在RtPC1C中，可得PC1，又A1B1，由相似比可求得QB1.Q在距A1點(diǎn)處(或距B1點(diǎn)處)方法二：假設(shè)存在這樣的