高中數(shù)學(xué)4 相似三角形的判定與性質(zhì)（二）新人教A版選修4-1

高二數(shù)學(xué)選修4-1學(xué)案4 相似三角形的判定與性質(zhì)（二）主備： 審核 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 時(shí)間教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì)，證明直角三角形射影定理。過程與方法：以“平行線分線段成比例定理”為起點(diǎn)，給出相似三角形定義后，逐步討論相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理等等。情感態(tài)度價(jià)值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理等等。教學(xué)難點(diǎn)：相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理等等。課時(shí)3課時(shí)一基礎(chǔ)知識(shí)回顧1、如圖15-14，ABC中，1=B，則 此時(shí)若AD=3，BD=2，則AC= 答案: ACD，ABC，； 2、兩個(gè)三角形相似，它們的周長(zhǎng)分別是12和18，周長(zhǎng)較小的三角形的最短邊長(zhǎng)為3，則另一個(gè)三角形的最短邊長(zhǎng)為 答案:.3、如圖15-15，CD是RtABC的斜邊上的高（1）若AD=9，CD=6，則BD= ；（2）若AB=25，BC=15，則BD= 答案:4；9.4、如圖15-16，已知1=2，請(qǐng)補(bǔ)充條件： （寫一個(gè)即可），ACB圖15-16E12ACBD1圖15-14使得ABCADEABCD圖15-15D答案:B=D（或C=E，或）二典型例題講解例1如圖15-17，A、B、C、D在一條直線上，EAAD，垂足為A，AB=BC=CD=AE求證：BCEBEDABCDE圖15-17 分析：BCE與BED有一個(gè)公共角，因此只要再找一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等或證明夾這個(gè)公共角的兩邊成比例 證明：設(shè)AB=a，在RtABE中，AB=AE=a， BE=a 在BCE和BED中， ， 又CBE=EBD， BCEBED 評(píng)析：三角形相似的證明方法很多，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)條件，結(jié)合圖形選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄒ话愕乃伎汲绦蚴牵合日覂蓪?duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等；若只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，再判定夾這個(gè)角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；若無角對(duì)應(yīng)相等，就證明三邊對(duì)應(yīng)成比例例2如圖15-18，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且求證：AEF=FBD分析：AEF是RtAEF的一個(gè)銳角，因此要證明AEF=FBD，可以通過證明ABCDMFE圖15-18 三角形相似得到證明：過點(diǎn)F作FMBD于點(diǎn)M設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則BD=a ，EB=AF=a，AE=DF=a 在RtDMF中，EM=DM=DF=a， BM=aa=a 在RtAEF和RtMBF中， ， A=BMF=90， AEFMBFAEF=FBD評(píng)析：本題的難點(diǎn)是構(gòu)造含AEF和FBD的相似三角形在含正方形的有關(guān)證明中，常借助正方形的性質(zhì)采用計(jì)算法證明ABDCEFGH圖15-19例3如圖15-19，AD、BE是ABC的兩條高，DFAB，垂足為F，直線FD交BE于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線于H求證：DF2=GFHF分析：由于DF，GF，HF三條線段在同一條直線上，因此想直接得到關(guān)系式比較困難，考慮用第三個(gè)量作代換證明：在AFH與GFB中， HBAC=90，GBFBAC=90， H=GBFAFH=GFD=90，AFHGFB ，AFBF=GFHF 在RtABD中，F(xiàn)DAB， DF2=AFBFDF2=GFHF評(píng)析：本題涉及兩個(gè)基本圖形：含斜邊上高的直角三角形，含兩條高的銳角三角形含兩條高的銳角三角形是相似形中的基本圖形，圖中有多對(duì)相似三角形，在解題時(shí)要充分利用圖形提供的有效信息，選擇有用的條件和結(jié)論另外直角三角形的射影定理是相似三角形的性質(zhì)在直角三角形中的應(yīng)用，在解題中使用十分頻繁三精選試題演練1、已知，如圖15-20，在平行四邊形ABCD中，DB是對(duì)角線，E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE且延長(zhǎng)和DA的延長(zhǎng)線交于F，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（ ）A2 B3 C4 D大于4 答案: D. 2、如圖15-21，已知ABC中，BC=30，高AD=18，EFGH是ABC的內(nèi)接矩形，EF=12，則GF=（ ）A7.2 B10.8 C12 D9 答案:B. AFEBCGD圖15-20圖15-21ABCDEFGHADECBFG圖15-223、如圖15-22，EDFGBC，且DE，F(xiàn)G把ABC的面積分為相等的三部分，若BC=15，則FG的長(zhǎng)為（ ）A5 B10 C4 D7.5 答案:A. 4、如圖15-23，已知矩形ABCD中，AEF=90，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）AABFAEF BABFCEF CCEFDAE DADEAEF 答案:C. ABCDEF圖15-23DACBE圖15-245、如圖15-24，在RtABC中，C=90，D是BC中點(diǎn)，DEAB，垂足為E，B=30，AE=7求DE的長(zhǎng) 答案:.6、如圖15-25，四邊形ACBD中，E是CD上一點(diǎn)，且DAB=EAC，DBA=ECA圖15-25DACBE求證：ADEABC提示：先證明ABDACE，可得，再證明DAE=BAC；圖15-26CAMBD7、如圖15-26，在ABC中，ACB=90，M是BC的中點(diǎn)，CDAM，垂足為D求證：AMBBMD提示：由直角三角形射影定理得CM2=DMAM，從而有BM2= DMAM，即，又AMB是公共角，可得結(jié)論；8、如圖15-27，已知RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，在該直角三角形中作內(nèi)接正方形，使其頂點(diǎn)均在ABC的邊上，求正方形的邊長(zhǎng)ACB圖15-27提示：要分兩種情況，（1）正方形的一個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上，一個(gè)頂點(diǎn)與C點(diǎn)重合，正方形的邊長(zhǎng)為cm；（2）正方形的一條邊在斜邊上，正方形的邊長(zhǎng)為cm；9、如圖15-28，已知直角梯形ABCD中，A=B=90，設(shè)AB=a，AD=b，BC=2b，作DEDC，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EC（1）對(duì)于DCE與ADE；ADE與BCE，試判斷各組的三角形是否一定相似；（2）如果兩個(gè)三角形一定相似，請(qǐng)加以證明；（3）如果不一定相似，請(qǐng)指出它們相似時(shí)，a，b應(yīng)滿足什么關(guān)系A(chǔ)EDCB圖15-28答案:（1）DCE與ADE一定相似，ADE與BCE不一定相似；（2）提示：作DFBC，垂足為F，利用RtADERtFDC得到，則AE=，用勾股定理可以計(jì)算得ED=，從而可以得到，可以證得RtDCE與RtADE；（3）提示：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以計(jì)算得，當(dāng)ADEBCE時(shí)，a=四教學(xué)反思相似三角形的定義、判定和性