第10章-常微分方程數(shù)值解 2

1、常微分方程與解,為n階常微分方程。,如果函數(shù)在區(qū)間a,b內(nèi)n階可導(dǎo)，稱方程,為方程滿足定解條件的解。,第10章常微分方程的數(shù)值解,10.1引言,科學(xué)研究和工程技術(shù)中的問(wèn)題往往歸結(jié)為求某個(gè)常微分方程的定解問(wèn)題.常微分方程的理論指出，除少數(shù)簡(jiǎn)單情況能獲得初值問(wèn)題的初等解（用初等函數(shù)表示的解）外，絕大多數(shù)情況下是求不出初等解的.有些初值問(wèn)題即便有初等解，也往往由于形式過(guò)于復(fù)雜而不便處理。常微分方程的數(shù)值解法常用來(lái)求近似解，由于它提供的算法能通過(guò)計(jì)算機(jī)便捷地實(shí)現(xiàn)，因此近年來(lái)得到迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。,10.2初值問(wèn)題解法的基本概念,科學(xué)技術(shù)中常常需要求解常微分方程的定解問(wèn)題.這類問(wèn)題最簡(jiǎn)單的形式，是本章將著重考察的一階方程的初值問(wèn)題,我們知道，只有f(x,y)適當(dāng)光滑譬如關(guān)于y滿足利普希茨(Lipschitz)條件,理論上就可以保證初值問(wèn)題的解yf(x)存在并且唯一.我們以下的討論，都在滿足上述條件下進(jìn)行。,雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來(lái)求解一些特殊類型的方程，實(shí)際問(wèn)題中歸結(jié)出來(lái)的微分方程主要靠數(shù)值解法.,所謂數(shù)值解法,就是尋求解y(x)在一系列離散節(jié)點(diǎn),上的近似值y1,y2,yn,yn+1,.相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距hn=xn+1-xn稱為步長(zhǎng).今后如不特別說(shuō)明，總是假定hi=h(i=1,2,)為定數(shù),這時(shí)節(jié)點(diǎn)為xn=x0+nh(i=0,1,2,)(等距節(jié)點(diǎn)).,常微分方程數(shù)值解是一組離散的函數(shù)值數(shù)據(jù)，它的精確表達(dá)式很難求解得到，但可以進(jìn)行插值計(jì)算后用插值函數(shù)逼近y(x),初值問(wèn)題的數(shù)值解法的基本特點(diǎn)：都采取“步進(jìn)式”，即求解過(guò)程順著節(jié)點(diǎn)排列的次序一步一步地向前推進(jìn).,首先，要對(duì)微分方程離散化，建立求解數(shù)值解的遞推公式.一類是計(jì)算yn+1時(shí)只用到xn+1，xn和yn，即前一步的值。因此，有了初值以后就可以逐步往下計(jì)算，其代表是龍格庫(kù)塔法稱為單步法.另一類是用到y(tǒng)n+1前面k點(diǎn)的值yn,yn-1,yn-k+1，稱為多步法.其次，要研究公式的局部截?cái)嗾`差和階，數(shù)值解yn與精確解y(xn)的誤差估計(jì)及收斂性，還有遞推公式的計(jì)算穩(wěn)定性等問(wèn)題.,數(shù)值解的思想,（1）將連續(xù)變量離散為,（2）用代數(shù)的方法求出解函數(shù)在點(diǎn)的近似值,如果找不到解函數(shù)數(shù)學(xué)界還關(guān)注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動(dòng)性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性,第一步：連續(xù)變量離散化,第二步：用直線步進(jìn),1、Euler格式,10.3簡(jiǎn)單單步法,10.3.1歐拉(Euler)方法,過(guò)做以為切線斜率的方程,當(dāng),時(shí)，得,，取,當(dāng),時(shí)，得,，取,過(guò),做以,為切線斜率的方程,一般地，過(guò),做以,為切線斜率的方程,當(dāng),時(shí)，得,，取,例1用歐拉公式求解初值問(wèn)題,解取步長(zhǎng)h=0.1，歐拉公式的具體形式為,其中xn=nh=0.1n(n=0,1,10),已知y0=1,由此式可得,依次計(jì)算下去，部分計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表.,與準(zhǔn)確解相比，可看出歐拉公式的計(jì)算結(jié)果精度很差.,歐拉公式具有明顯的幾何意義,就是用折線近似代替方程的解曲線，因而常稱公式(3.1)為歐拉折線法.,還可以通過(guò)幾何直觀來(lái)考察歐拉方法的精度.假設(shè)yn=y(xn),即頂點(diǎn)Pn落在積分曲線y=y(x)上，那么，,按歐拉方法做出的折線PnPn+1便是y=y(x)過(guò)點(diǎn)Pn的切線.從圖形上看,這樣定出的頂點(diǎn)Pn+1顯著地偏離了原來(lái)的積分曲線，可見(jiàn)歐拉方法是相當(dāng)粗糙的.,12,方法一化導(dǎo)數(shù)為差商的方法,由于在逐步求解的過(guò)程中，y(xn)的準(zhǔn)確值無(wú)法求解出來(lái)，因此用其近似值代替。為避免混淆，以下學(xué)習(xí)簡(jiǎn)記：,y(xn)：待求函數(shù)y(x)在xn處的精確函數(shù)值yn：待求函數(shù)y(x)在xn處的近似函數(shù)值,歐拉(Euler)方法（幾種推導(dǎo)法）,13,代入初值問(wèn)題表達(dá)式可得：,根據(jù)y0可以一步步計(jì)算出函數(shù)y=y(x)在x1,x2,x3x4,上的近似值y1,y2,y3,y4,為了分析計(jì)算公式的精度，通?？捎锰├照归_將y(xn+1)在xn處展開，則有,在yn=y(xn)的前提下，f(xn,yn)=f(xn,y(xn)=y(xn).于是可得歐拉法(3.1)的公式誤差為,稱為此方法的局部截?cái)嗾`差.,方法二泰勒級(jí)數(shù)展開法,15,方法三數(shù)值積分法,同樣以近似值yn代替精確值y(xn)可得：,將微分方程y=f(x,y)在區(qū)間xn,xn+1上積分：,16,2.隱式歐拉法(后退),在數(shù)值積分法推導(dǎo)中，積分的近似值取為積分區(qū)間寬度與右端點(diǎn)處的函數(shù)值乘積，即：,這樣便得到了隱式歐拉法：,（3.3）,隱式歐拉公式與歐拉公式有著本質(zhì)的區(qū)別,后者是關(guān)于yn+1的一個(gè)直接計(jì)算公式，這類公式稱作是顯式的；前者公式的右端含有未知的yn+1，它實(shí)際上是關(guān)于yn+1的一個(gè)函數(shù)方程,這類方程稱作是隱式的.,顯式與隱式兩類方法各有特點(diǎn)，考慮到數(shù)值穩(wěn)定性等其他因素，人們有時(shí)需要選用隱式方法，但使用顯式算法遠(yuǎn)比隱式方便.,隱式方程通常用迭代法求解，而迭代過(guò)程的實(shí)質(zhì)是逐步顯式化.,設(shè)用歐拉公式,給出迭代初值，用它代入(3.1)式的右端，使之轉(zhuǎn)化為顯式，直接計(jì)算得,然后再用代入(3.1)式，又有,如此反復(fù)進(jìn)行，得,由于f(x,y)對(duì)y滿足Lipschitz條件(2.1).由(3.4)減(3.3)得,由此可知，只要hLn)上產(chǎn)生的擾動(dòng)為，如果：,定義：設(shè)在節(jié)點(diǎn)xn處用數(shù)值算法得到的理想數(shù)值解為yn，而實(shí)際計(jì)算得到的近似解為，稱差值：,為第n步的數(shù)值解的擾動(dòng)。,則稱該數(shù)值方法是穩(wěn)定的。,下面以歐拉法為例考察計(jì)算穩(wěn)定性.,例4用歐拉公式求解初值問(wèn)題,解用歐拉法解方程y=-100y得,其準(zhǔn)確解是一個(gè)按指數(shù)曲線衰減很快的函數(shù).,若取步長(zhǎng)h=0.025，則歐拉公式的具體形式為,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表,明顯計(jì)算過(guò)程不穩(wěn)定,但取h=0.005,yn+1=-1.5yn,則計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定.,對(duì)后退的歐拉公式，取h=0.025時(shí)，則計(jì)算公式為yn+1=-(1/3.5)yn.計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表,這時(shí)計(jì)算過(guò)程是穩(wěn)定的.,例題表明穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長(zhǎng)h有關(guān)，當(dāng)然與方程中的f(x,y)有關(guān).為了只考察數(shù)值方法本身，通常只檢驗(yàn)數(shù)值方法用于解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為,其中為已知實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)(Re()0)，這個(gè)方程分析較簡(jiǎn)單，對(duì)一般方程可以通過(guò)局部線性化化為這種形式。,50,定義6單步法（4.2）用于解模型方程（4.4），若得到的解，滿足，則稱方法（4.1）是絕對(duì)穩(wěn)定的.,在的平面上，使的變量圍成的區(qū)域，稱為絕對(duì)穩(wěn)定域，,它與實(shí)軸的交稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間.,51,歐拉法：,考察模型方程：,即：,假設(shè)在節(jié)點(diǎn)值yn上有擾動(dòng)n，在節(jié)點(diǎn)值yn+1上有擾動(dòng)n+1，且n+1僅由n引起（即：計(jì)算過(guò)程中不再引起新的誤差）,52,歐拉法穩(wěn)定,即：,歐拉法穩(wěn)定的條件：,針對(duì)模型方程：的顯式歐拉法：,化簡(jiǎn)得：,53,隱式歐拉法：,考察模型方程：,即：,化簡(jiǎn)為：,假設(shè)yn上有擾動(dòng)，則yn+1的擾動(dòng)為：,隱式歐拉法穩(wěn)定,，上式均成立，所以：,隱式歐拉法穩(wěn)定是恒穩(wěn)定的,54,故,對(duì)有，,故絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)榈淖蟀肫矫妫?梯形法的穩(wěn)定性,絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為，即時(shí)梯形法均是穩(wěn)定的.,隱式歐拉法與梯形方法的絕對(duì)穩(wěn)定域均為在具體計(jì)算中步長(zhǎng)的選擇只需考慮計(jì)算精度及迭代收斂性要求而不必考慮穩(wěn)定性，