甘肅省白銀市會(huì)寧縣第一中學(xué)屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題理 (1)

甘肅省白銀市會(huì)寧縣第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a等于A. -2B. 2C. D. -1【答案】C【解析】是純虛數(shù),所以，選C.2.已知集合,則集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的定義，解方程組得出集合的結(jié)果【詳解】解：集合，則集合，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了交集的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題3.“”是“直線與圓相切”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線和圓相切的等價(jià)條件求出k的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，得，得，即“”是“直線與圓相切”的充要條件，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合直線和圓相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵4.等差數(shù)列中，則數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為（ ）A. 504B. 505C. 506D. 507【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知求得數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列正負(fù)交界法求數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的公差，令，得.又，取最大值時(shí)的值為505.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計(jì)算和等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.5.如圖，我們從這個(gè)商標(biāo)中抽象出一個(gè)函數(shù)圖象，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】直接利用排除法和函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性及函數(shù)的定義域的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的圖象，對(duì)于選項(xiàng)和：當(dāng)時(shí)，所以與圖象相矛盾，故均舍去對(duì)于選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在時(shí)為函數(shù)的圖象的漸近線相矛盾故舍去故選項(xiàng)正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的圖象的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型6.已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，成立，若，則a，b，c的大小關(guān)系是()A. aB. C. D. c【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)h（x）xf（x），則ah（20.6），bh（ln2），c（）f（）h（3），分析可得h（x）為奇函數(shù)且在（，0）上為減函數(shù)，進(jìn)而分析可得h（x）在（0，+）上為減函數(shù)，分析有0ln2120.6，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，令h（x）xf（x），h（x）（x）f（x）xf（x）h（x），則h（x）為奇函數(shù)；當(dāng)x（，0）時(shí)，h（x）f（x）+xf（x）0，則h（x）在（，0）上為減函數(shù)，又由函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，則h（x）在（0，+）上為減函數(shù)，所以h（x）在R上為減函數(shù)，a（20.6）f（20.6）h（20.6），b（ln2）f（ln2）h（ln2），c（）f（）h（）h（3），因?yàn)?ln2120.6，則有；故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h（x）xf（x），并分析h（x）的奇偶性與單調(diào)性7.設(shè)，分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且，給出下列四個(gè)命題:三棱錐的體積為定值;異面直線與所成的角為;平面;直線與平面所成的角為.其中正確命題為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出三棱錐的體積為定值；根據(jù)，轉(zhuǎn)化為與所成的角；利用反正法判與平面不垂直；平面即為平面,故直線與平面所成的角是為【詳解】解：如圖所示，三棱錐的體積為為定值，正確；，是異面直線與所成的角為，正確；若平面，則，而故,而與所成角為，錯(cuò)誤；平面即為平面,故直線與平面所成的角是為，錯(cuò)誤綜上，正確的命題序號(hào)是故選：【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的線線，線面的位置關(guān)系和體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題8.已知直線3xy+1=0的傾斜角為，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率求出tan的值，再利用三角恒等變換，求出要求式子的值【詳解】直線3x-y+1=0的傾斜角為，tan=3，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線傾斜角和斜率，三角恒等變換，屬于中檔題9.若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】要使的值域?yàn)?，得到的范圍要求，則要在其范圍內(nèi)，然后得到的范圍，找到最小值.【詳解】而值域?yàn)椋l(fā)現(xiàn)，整理得，則最小值為，選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)圖像與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.10.若把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位,沿軸向下平移1個(gè)單位,然后再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍(縱坐標(biāo)保持不變),得到函數(shù)的圖象,則的一個(gè)對(duì)稱中心為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的對(duì)稱中心【詳解】解：將的圖象，把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)保持不變），得到的圖象，再將函數(shù)的圖象向上平移一個(gè)單位得到再將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到，令，解得，當(dāng)時(shí)，所以一個(gè)對(duì)稱中心為，故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型11.已知不等式表示的平面區(qū)域?yàn)?，若?duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.A. 1B. -1C. -4D. -5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知不等式組畫出可行域，可通過直線平移求得直線的縱截距最大時(shí)，最小，代入點(diǎn)坐標(biāo)求得，則，即可得到結(jié)果【詳解】由已知不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖中陰影部分所示：可求得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，z最小，故選【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求解的最值的問題，屬于基礎(chǔ)題12.設(shè)定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷出該函數(shù)在上為增函數(shù)，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性得出自變量值的關(guān)系從而解出不等式即可【詳解】解：，（3），（3），定義在的函數(shù)，令，不等式（3），即為（3），單調(diào)遞增，又因?yàn)橛缮峡芍?），故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的解法：利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，每小題5分共20分.13.若直線：()與直線：的距離為，則_.【答案】【解析】【分析】觀察式子可知，兩直線平行，再采用平行直線距離公式求解即可.【詳解】直線：()與直線：平行，直線：可化為，利用兩直線平行的距離公式：，可求得或，因?yàn)楣蚀鸢笧椤军c(diǎn)睛】本題考查兩平行直線的距離求法，解題時(shí)需注意在一般式中，的系數(shù)需化成一致，以免造成誤解.14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_.【答案】.【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)15.在直三棱柱內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球O1，同時(shí)在三棱柱外有一個(gè)外接球.若,，,則球的表面積為_.【答案】【解析】【分析】先求出球O1的半徑，再求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】由題得AC=5,設(shè)球O1的半徑為，由題得.所以棱柱的側(cè)棱為2.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題，考查球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16.已知函數(shù)，記為函數(shù)圖像上的點(diǎn)到直線的距離的最大值，那么的最小值為_.【答案】【解析】【分析】如解析中的圖所示，我們研究平行直線系與函數(shù)圖象的關(guān)系，其中函數(shù)圖象完全在某相鄰的兩條平行直線與之間，圖象上的個(gè)別點(diǎn)在直線上設(shè)兩條平行直線與之間的距離為我們發(fā)現(xiàn)只有經(jīng)過點(diǎn)，與圖象相切于點(diǎn)時(shí)，的最小值求出即可【詳解】我們研究平行直線系與函數(shù)圖象的關(guān)系，其中函數(shù)圖象完全在某相鄰的兩條平行直線與之間，圖象上的個(gè)別點(diǎn)在直線上設(shè)兩條平行直線與之間的距離為我們發(fā)現(xiàn)只有經(jīng)過點(diǎn)，與圖象相切于點(diǎn)時(shí)，的最小值設(shè)，解得，直線的方程為：（點(diǎn)到直線距離）的最小值的最小值為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線的斜率、平行線之間的距離、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題三、解答題：共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟.第1721題為必考題，第22、23題為選考題.（一）必考題：共60分17.已知直線： ().（1）證明：直線過定點(diǎn)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的最小值并求此時(shí)直線的方程【答案】（1）證明見解析（2），此時(shí)直線的方程為【解析】【分析】（1）將直線變形化簡(jiǎn)即可求得（2）根據(jù)題意表示出，結(jié)合三角形面積公式和均值不等式進(jìn)行求解即可【詳解】解:(1)證明：直線的方程可化為， 令，解得：， 無論取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn). (2)解：由題意可知，再由的方程，得，依題意得：，解得，當(dāng)且僅當(dāng) ，即，取“”，此時(shí)直線的方程為【點(diǎn)睛】本題考查直線過定點(diǎn)的判斷問題，直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積結(jié)合不等式求最值的問題，同時(shí)考查了解析幾何中基本的運(yùn)算能力18.的內(nèi)角，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且.（1）求角的大小；（2）若角,點(diǎn)為邊上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）將已知等式右邊提取，利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，然后利用正弦定理化簡(jiǎn)，求出的值，由為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出的度數(shù)；（2）結(jié)合（1）知三角形為等腰三角形，在三角形中利用余弦定理求出，利用三角形的面積公式即可求出三角形的面積【詳解】解：（1），又為三角形的內(nèi)角，；（2）結(jié)合（1）知三角形為等腰三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)為邊上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)則，在三角形中利用余弦定理，解得，則【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題19.如圖，在三棱柱側(cè)面(1)求證：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】(1)要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面AB，即證，；(2) 以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸正方向，以的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.分別求出兩個(gè)半平面的法向量，代入公式即可得到結(jié)果.【詳解】(1)如圖，設(shè)，連接AG.因?yàn)槿庵膫?cè)面為平行四邊形，所以G為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以為等腰三角形，所以，又因?yàn)锳B側(cè)面，且平面，所以又因?yàn)?，所以平面AB，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）由（1）知平面AB，所以B以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸正方向，以的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.由B易知四邊形為菱形，因?yàn)樗裕瑒t可得，所以設(shè)平面的法向量，由得：，取z=1，所以，由（1）知=為平面AB的法向量，則易知二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20.已知數(shù)列滿足，（1）證明：，；（2）求和：【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由遞推式，取為，兩式做差即可得證； （2）由（1）得為公差為3，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】解：（1） 得 ，即命題得證；（2）由（1）得為公差為3的等差數(shù)列，又由，解得，故.【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列遞推式求解數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬中檔題.21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求證：.【答案】(1) (2)證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定的范圍即可（2）利用（1）可判，要證只需證，利用極值點(diǎn)偏移證出，構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性即可.【詳解】（1）作題，是在上的兩個(gè)零點(diǎn)令，若，在上遞增，至多有個(gè)零點(diǎn)，不合題意若，在上遞減，至多有個(gè)零點(diǎn)，不合題意若，在遞減，遞增，而，（2）由（1）知，要證只需證又因?yàn)槎谶f減從而只需證，又只需證，令，為遞增，即有【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)偏移問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做則按所做的第一題記分.22.已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)是.（1）求直線的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)到直