數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)--知識講解（提高）

選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)知識講解（提高）知識講解（提高） 【考綱要求】【考綱要求】 1會從定義上判斷方程(組)的類型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程(組)和研究分式方程的增根情況； 2掌握解方程(組)的方法，明確解方程組的實質(zhì)是“消元降次” 、 “化分式方程為整式方程” 、 “化無理 式為有理式” ； 3理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式(組)的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集； 4列方程(組)、列不等式(組)解決社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題； 5. 解方程或不等式是中考的必考點(diǎn)，運(yùn)用方程思想與不等式(組)解決實際問題是中考的難點(diǎn)和熱點(diǎn) 【知識網(wǎng)絡(luò)】【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一、一元一次方程考點(diǎn)一、一元一次方程 1.1.方程方程 含有未知數(shù)的等式叫做方程. 2.2.方程的解方程的解 能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解. 3.3.等式的性質(zhì)等式的性質(zhì) （1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式. 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 （2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零） ，所得結(jié)果仍是等式. 4.4.一元一次方程一元一次方程 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a 是未知數(shù) x 的系數(shù)，b 是常數(shù)項.）為未知數(shù)，（0ax0bax 5.5.一元一次方程解法的一般步驟一元一次方程解法的一般步驟 整理方程 去分母 去括號 移項 合并同類項系數(shù)化為 1(檢驗方程的解). 6.6.列一元一次方程解應(yīng)用題列一元一次方程解應(yīng)用題 (1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題” 仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增 加，減少，配套” ，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與 量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程. (2)畫圖分析法：多用于“行程問題” 利用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使 圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最 后利用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ). 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 列方程解應(yīng)用題的常用公式： (1)行程問題： 距離=速度時間 ； 時間 距離 速度 速度 距離 時間 (2)工程問題： 工作量=工效工時 ； 工時 工作量 工效 工效 工作量 工時 (3)比率問題： 部分=全體比率 ； 全體 部分 比率 比率 部分 全體 (4)順逆流問題： 順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度； (5)商品價格問題： 售價=定價折 ，利潤=售價-成本， ； 10 1 %100 成本 成本售價 利潤率 (6)周長、面積、體積問題：C圓=2R，S圓=R2，C長方形=2(a+b)，S長方形=ab， C正方形=4a， S正方形=a2，S環(huán)形=(R2-r2)，V長方體=abh ，V正方體=a3，V圓柱=R2h ，V圓錐=R2h. 3 1 考點(diǎn)二、一元二次方程考點(diǎn)二、一元二次方程 1.1.一元二次方程一元二次方程 含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程. 2.2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 ，它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù) x 的二次多項式，等式右邊是)0(0 2 acbxax 零，其中叫做二次項，a 叫做二次項系數(shù)；bx 叫做一次項，b 叫做一次項系數(shù)；c 叫做常數(shù)項. 2 ax 3.3.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 （1）直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.直接開平方法適用于 解形如的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，是 b 的平方根，當(dāng)時，bax 2 )(ax 0b ，當(dāng) b0； (2)試比較 A、B、C 的大小關(guān)系，并說明理由. 【答案】 （1）A-B= 22 2222(21)aaaaaa ，1a0, 210aa A-B0 (2) C-B= 222 24222(1)10aaaaa CB A-C= 222 22242(2)(1)aaaaaaaa 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 ，1a20,10aa ACB 【高清課程名稱：方程與不等式綜合復(fù)習(xí) 高清 ID 號： 405277 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例 3】 【變式變式 2 2】如圖，要使輸出值y大于 100，則輸入的最小正整數(shù)x是_ 【答案】 解：設(shè)n為正整數(shù)，由題意得 解得 .1001342 ,100) 12(5 n n 8 87 n 則n可取的最小正整數(shù)為 11 若x為奇數(shù)，即x21 時，y105； 若x為偶數(shù)，即x22 時，y101 滿足條件的最小正整數(shù)x是 21 類型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用類型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用 4宏志高中高一年級近幾年來招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)到 550 名，其中有面向全省招收的“宏 志班”學(xué)生，也有一般普通班的學(xué)生由于場地、師資等限制，今年招生最多比去年增加 100 人，其 中普通班學(xué)生可多招 20%， “宏志班”學(xué)生可多招 10%，問今年最少可招收“宏志班”學(xué)生多少名? 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)招生人數(shù)列等式，根據(jù)今年招生最多比去年增加 100 人列不等式. 【答案與解析】 設(shè)去年招收“宏志班”學(xué)生 x 名，普通班學(xué)生 y 名，由條件得 550, 10%20%100. xy xy 將 y550-x 代入不等式，可解得 x100，于是(1+10%)x110 故今年最少可招收“宏志班”學(xué)生 110 名 【總結(jié)升華】本題屬于列方程與不等式組綜合題. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】為了加強(qiáng)學(xué)生的交通安全意識，某中學(xué)和交警大隊聯(lián)合舉行了“我當(dāng)一日小交警”活動，星 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 期天選派部分學(xué)生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維持交通秩序，若每一個路口安排 4 人， 那么還剩下 78 人；若每個路口安排 8 人，那么最后一個路口不足 8 人，但不少于 4 人求這 個中學(xué)共選派值勤學(xué)生多少人?共有多少個交通路口安排值勤? 【答案】 設(shè)這個學(xué)校選派值勤學(xué)生 x 人，共到 y 個交通路口值勤根據(jù)題意得 478, 48(1)8. xy xy 由可得 x4y+78，代入，得 478+4y-8(y-1)8，解得 19.5y20.5 根據(jù)題意 y 取 20，這時 x 為 158，即學(xué)校派出的是 158 名學(xué)生，分到了 20 個交通路口安排值 勤 5已知關(guān)于x的一元二次方程 . .（其中m為實數(shù)） 2 (2)(1)0mxmxm （1）若此方程的一個非零實數(shù)根為k， 當(dāng)k = m時，求m的值； 若記為y，求y與m的關(guān)系式； 1 ()25m kk k （2）當(dāng)m2 時，判斷此方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由. . 1 4 【思路點(diǎn)撥】 （1）由于 k 為此方程的一個實數(shù)根，故把 k 代入原方程，即可得到關(guān)于 k 的一元二次方程， 把 k=m 代入關(guān)于 k 的方程，即可求出 m 的值； 由于 k 為原方程的非零實數(shù)根，故把方程兩邊同時除以 k，便可得到關(guān)于 y 與 m 的關(guān)系 式； （2）先求出根的判別式，再根據(jù) m 的取值范圍討論的取值即可 【答案與解析】 （1） k為的實數(shù)根， 2 (2)(1)0mxmxm . 2 (2)(1)0mkmkm 當(dāng)k = m時， k為非零實數(shù)根， m 0，方程兩邊都除以m，得.(2)(1)10mmm 整理，得 . 2 320mm 解得 ，. 1 1m 2 2m 是關(guān)于x的一元二次方程， 2 (2)(1)0mxmxm m 2. m= 1. k為原方程的非零實數(shù)根， 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 將方程兩邊都除以k，得.(2)(1)0 m mkm k 整理，得 . 1 ()21m kkm k . 1 ()254ym kkm k （2）解法一： . 22 (1)4 (2)3613 (2)1mm mmmm m 當(dāng)m2 時，m0，0. 1 4 2m 0，10，0.3 (2)m m3 (2)1m m 當(dāng)m2 時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根. 1 4 解法二：直接分析m2 時，函數(shù)的圖象， 1 4 2 (2)(1)ymxmxm 該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交， 該拋物線必與x軸有兩個不同交點(diǎn). 當(dāng)m2 時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根. 1 4 解法三：. 222 (1)4 (2)3613(1)4mm mmmm 結(jié)合關(guān)于m的圖象可知， （如圖） 2 3(1)4m 當(dāng)m1 時，4； 1 4 37 16 當(dāng) 1m2 時，14. 當(dāng)m2 時，0. 1 4 當(dāng)m2 時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根. 1 4 【總結(jié)升華】和一元二次方程的根有關(guān)的問題往往可以借助于二次函數(shù)圖象解決，數(shù)形結(jié)合使問題簡 化. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式 1 1】已知：關(guān)于的一元二次方程（） x 2 220kxxk1k （1）求證：方程總有兩個實數(shù)根； （2）當(dāng)取哪些整數(shù)時，方程的兩個實數(shù)根均為整數(shù)k 【答案】 （1）證明證明：， 22 44 (2)4844(1)0kkkkk Q 方程恒有兩個實數(shù)根. 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 （2）解解： 方程的根為， 22 24(1)1(1) 2 kk x kk ，.1k Q 2 1(1)1 (1)kk x kk ，. 1 1x 2 2 1x k ，1k Q 當(dāng)或時，方程的兩個實數(shù)根均為整數(shù). 1k 2k 【高清課程名稱：方程與不等式綜合復(fù)習(xí) 高清 ID 號： 405277 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例 5】 【變式變式 2 2】已知：關(guān)于x的方程032 2 kxkx （1）求證：方程032 2 kxkx總有實數(shù)根； （2）若方程032 2 kxkx有一根大于 5 且小于 7，求k的整數(shù)值； (3)在的條件下，對于一次函數(shù)bxy 1 和二次函數(shù) 2 y=32 2 kxkx，當(dāng)71x 時，有 21 yy ，求b的取值范圍 【答案】 證明：=(k2)24(k3) =k24k+44k+12 = k28k+16 =(k4)20 此方程總有實根。 解：解得方程兩根為x1=1，x2=3k 方程有一根大于 5 且小于 7， 53k7， 4k2， k為整數(shù)， k=3. 解：由知k=-3， 65 2 2 xxy ， 21 yy 0 12 yy 即 066 2 bxx 在時，有71x 21 yy 1b 類型四、用不等式（組）解決決策性問題類型四、用不等式（組）解決決策性問題 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 6某服裝店老板到廠家選購 A、B 兩種型號的服裝，若購進(jìn) A 種型號服裝 9 件，B 種型號服裝 10 件，需要 1810 元；若購進(jìn) A 種型號服裝 12 件，B 種型號服裝 8 件，需要 1880 元 (1)求 A、B 兩種型號的服裝每件分別為多少元? (2)若銷售 1 件 A 種型號服裝可獲利 18 元，銷售 1 件 B 種型號服裝可獲利 30 元，根據(jù)市場需求， 服裝店老板決定，購進(jìn) A 種型號服裝的數(shù)量要比購進(jìn) B 種型號服裝數(shù)量的 2 倍還多 4 件，且 A 種型號 服裝最多可購進(jìn) 28 件，這樣服裝全部售出后，可使總的獲利不少于 699 元，問有幾種進(jìn)貨方案?如何 進(jìn)貨? 【思路點(diǎn)撥】 （1）根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是“A 種型號服裝 9 件，B 種型號服裝 10 件，需要 1810 元” 和“A 種型號服裝 12 件，B 種型號服裝 8 件，需要 1880 元” ，列方程組求解即可 （2）利用兩個不等關(guān)系列不等式組，結(jié)合實際意義求解 【答案與解析】 (1)設(shè) A 種型號的服裝每件為 x 元，B 種型號的服裝每件為 y 元 根據(jù)題意，得 9101810, 1281880, xy xy 解得 90, 100. x y 答：A、B 兩種型號的服裝每件分別為 90 元和 100 元 (2)設(shè) B 種型號服裝購進(jìn) m 件，則 A 種型號服裝購進(jìn)(2m+4)件，由題意，得 18(24)30699, 2428, mm m 解得 1 912 2 m m 為正整數(shù)， m10、11、12 2m+424、26、28 答：有三種進(jìn)貨方案：B 型服裝購買 10 件，A 型服裝購買 24 件；或 B 型服裝購買 11 件，A 型服 裝購買 26 件； 或 B 型服裝購買 12 件，A 型服裝購買 28 件 【總結(jié)升華】 本題屬于分類討論題，是中考常考題型. 利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給 出 2 個等量關(guān)系，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵像這種利用不等式組解決 方案設(shè)計問題時，往往是在解不等式組的解后，再利用實際問題中的正