常見(jiàn)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)_第1頁(yè)
常見(jiàn)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)_第2頁(yè)
常見(jiàn)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)_第3頁(yè)
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泰勒級(jí)數(shù)的定義：若函數(shù)f（x）在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)具有直到（n+1）階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)f（x）的n階泰勒公式為：其中：，稱為拉格朗日余項(xiàng)。以上函數(shù)展開(kāi)式稱為泰勒級(jí)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)展開(kāi)中的作用：在泰勒公式中，取，得：這個(gè)級(jí)數(shù)稱為麥克勞林級(jí)數(shù)。函數(shù)f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)是x的冪級(jí)數(shù)，那么這種展開(kāi)是唯一的，且必然與f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)一致。注意：如果f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)收斂，它不一定收斂于f（x）。因此，如果f（x）在處有各階導(dǎo)數(shù)，則f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能做出來(lái)，但這個(gè)級(jí)數(shù)能否在某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂，以及是否收斂于f（x）都需要進(jìn)一步驗(yàn)證。 幾個(gè)重要的泰勒級(jí)數(shù)。參數(shù)x 為復(fù)數(shù)時(shí)它們依然成立。 指數(shù)函數(shù)和自然對(duì)數(shù): 幾何級(jí)數(shù): 二項(xiàng)式定理: 三角函數(shù): 雙曲函數(shù): 朗伯W函數(shù):

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